베르마 가군

틀:위키데이터 속성 추적 리 대수의 표현론에서 베르마 가군(वर्मा加群, 틀:Llang)은 주어진 무게에 대한 가장 “일반적인” 최고 무게 가군이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 체 $K$
• $K$ 위의 리 대수 $𝔤$
• $𝔤$의 부분 리 대수 $𝔭\subset 𝔤$
• $𝔭$의 표현 $V$ (즉, $\mathrm{U}(𝔭)$의 왼쪽 가군)

그렇다면, 이에 대응되는 일반화 베르마 가군(一般化वर्मा加群, 틀:Llang)은 다음과 같다.

$\mathrm{U}(𝔤){\otimes }_{\mathrm{U}(𝔭)}V$

여기서

• $\mathrm{U}(-)$는 리 대수의 보편 포락 대수이다.
• $\mathrm{U}(𝔤)$의 오른쪽 $\mathrm{U}(𝔭)$-작용은 (푸앵카레-버코프-비트 정리에 의하여 $\mathrm{U}(𝔭)\subseteq \mathrm{U}(𝔤)$이므로) 보편 포락 대수의 오른쪽 곱셈 연산이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.

• $K$는 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이다.
• $𝔤$는 $K$ 위의 반단순 리 대수이다.
• $𝔭=𝔟$는 보렐 부분 대수이다.
• $V=ℂ$는 $𝔟$의 무게 $\lambda :𝕓\to 𝔟/[𝔟,𝔟]\to ℂ$를 이루는 1차원 표현이다.

이 경우를 베르마 가군이라고 한다.

등급

복소수체 위의 반단순 리 대수 $𝔤$ 및 그 포물형 부분 대수 $𝔭$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $𝔤$ 위에 자연스러운 등급

$𝔤=\underset{i=-k}{\overset{k}{⨁}}{𝔤}_i$

이 주어지며,

$𝔭=\underset{i=0}{\overset{k}{⨁}}{𝔤}_i$

$𝔥={𝔤}_0$

이다. 즉, $\mathrm{U}(𝔤)$는 등급 $\{-k,-k+1,\dots ,k-1,k\}$에 대한 복소수 등급 대수이며, $\mathrm{U}(𝔭)$는 그 가운데 음이 아닌 등급만을 취한 부분 대수이다.

임의의 $𝔭$의 표현 $V$에 대하여, $(𝔤,𝔭,V)$-일반화 베르마 가군은 (푸앵카레-버코프-비트 정리를 사용하면) 다음과 같다.

$\mathrm{U}(𝔤){\otimes }_{\mathrm{U}(𝔭)}V=\underset{i=-k}{\overset{-1}{⨁}}\mathrm{U}({𝔤}_i){\otimes }_{K}V$

성질

베르마 가군은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 반단순 리 대수 $𝔤$의 카르탕 부분 대수 $𝔥$의 무게 $\lambda \in {𝔥}^{\vee }$에 대응하는 $𝔤$-최고 무게 가군 $V$에 대하여, 유일한 전사 $𝔤$-표현 준동형

$M_{\lambda }\twoheadrightarrow V$

가 존재한다.

예

$𝔰𝔩(2;ℂ)$의 베르마 가군을 생각하자. 이는 기저

$𝔰𝔩(2;ℂ)={\mathrm{Span}}_{ℂ}\{a,a^{†},c\}$

$[a^{†},a]=c$

$[a^{†},c]=-2a^{†}$

$[a,c]=2a$

로 표현될 수 있다. 여기서 $𝔥={\mathrm{Span}}_{ℂ}\{c\}$를 카르탕 부분 대수로, $𝔟={\mathrm{Span}}_{ℂ}\{c,a^{†}\}$를 보렐 부분 대수로 잡자.

$𝔥$의 무게는 하나의 복소수 $\lambda \in ℂ$로 결정된다. 그 기저를 $|\lambda ⟩$로 적자. 즉,

$c|\lambda ⟩=\lambda |\lambda ⟩$

$a|\lambda ⟩=0$

이다.

그렇다면, 이 무게의 베르마 가군은 다음과 같은 기저를 갖는다.

$W_{\lambda }={\mathrm{Span}}_{ℂ}\{|\lambda ⟩,{\alpha }^{†}|\lambda ⟩,({\alpha }^{†}{)}^2|\lambda ⟩,\dots \}$

이 위의 $𝔰𝔩(2;ℂ)$의 작용은 구체적으로 다음과 같다.

$c(a^{†}{)}^n|\lambda ⟩=(\lambda -2n)(a^{†}{)}^n|\lambda ⟩$

$a(a^{†}{)}^n|\lambda ⟩=\{\begin{array}{cc}n(\lambda -n+1)(a^{†}{)}^{n-1}|\lambda ⟩& n>0\\ 0& n=0\end{array}$

만약 $\lambda \in \mathbb{N}$ (음이 아닌 정수)일 경우,

$a(a^{†}{)}^{\lambda +1}|\lambda ⟩=0$

이며, 따라서 베르마 가군 $W_{\lambda }$의 부분 공간

${\mathrm{Span}}_{ℂ}\{(a^{†}{)}^{\lambda +1}|\lambda ⟩,(a^{†}{)}^{\lambda +2}|\lambda ⟩,\dots \}\subseteq W_{\lambda }$

는 $W_{\lambda }$의 부분 가군을 이룬다. 이 경우, 위 부분 가군에 대한 몫을 취할 수 있으며, 이는 $𝔰𝔩(2;ℂ)$의 $n+1$차원 표현을 이룬다. 이 조건은 $\lambda$가 정수 우세 무게인 것에 해당한다.

역사

다야난드 베르마가 도입하였다.

같이 보기

• 리 대수의 표현

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab