불변 다항식

틀:위키데이터 속성 추적 리 대수 이론에서, 불변 다항식(不變多項式, 틀:Llang)은 어떤 리 대수의 원소를 변수로 가지며, 그 딸림표현 작용에 대하여 불변인 다항식이다.

정의

체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수 $𝔤$의 쌍대 공간 ${𝔤}^{*}$ 위의 대칭 대수

$\mathrm{Sym}({𝔤}^{*})$

를 생각하자. $\alpha \in {\mathrm{Sym}}^n{𝔤}^{*}$가 다음 조건을 만족시킨다면, $𝔤$의 $n$차 불변 다항식이라고 한다.

$\sum _{i=0}^{n-1}\alpha (x_0,x_1,\dots ,[x_i,x_{i+1}],\dots ,x_n)=0$

$𝔤$ 위의 불변 다항식은 각 차수들의 불변 다항식들의 합이다.

베유 대수

유한형 (즉, 각 차수의 차원이 유한한) L∞-대수 $𝔤$의 베유 대수(틀:Llang) $\mathrm{W}(𝔤)$는 다음과 같은 미분 등급 대수이다. 이는 미분 구조를 잊으면 자유 등급 가환 대수이며, ${𝔤}^{*}$의 동차 원소 기저를 $t^i$라고 할 때, $\mathrm{W}(𝔤)$의 생성원은 $t^i$ 및 $\delta t^i$이다 ($\mathrm{deg}\delta t^i=1+\mathrm{deg}{t}^i$). 또한, 그 미분은 다음과 같다.

$\mathrm{d}{t}^i={\mathrm{d}}_{\mathrm{C}\mathrm{E}}{t}^i+\delta t^i$

$\mathrm{d}\delta t^i=-\delta {\mathrm{d}}_{\mathrm{C}\mathrm{E}}{t}^i$

여기서 ${\mathrm{d}}_{\mathrm{CE}}$란 슈발레-에일렌베르크 대수 $\mathrm{CE}(𝔤)$의 미분이다. 즉, 이는 ${\delta }^2=\{\mathrm{d},\delta \}=0$을 따른다.

물론, 베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 전사 미분 등급 대수 준동형

$\mathrm{W}(𝔤)\to \mathrm{CE}(𝔤)$

$t^i\mapsto t^i$

$\delta t^i\mapsto 0$

이 존재한다.

L_∞-대수의 불변 다항식

유한형 L_∞-대수 $𝔤$의 불변 다항식은 베유 대수 $\mathrm{W}(𝔤)$의 원소 $\alpha \in \mathrm{W}(𝔤)$ 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.틀:Rp

$\alpha \in \bigwedge \delta {𝔤}^{*}\subseteq \mathrm{W}(𝔤)$

${\mathrm{d}}_{\mathrm{W}(𝔤)}\alpha =0$

즉, 베유 대수의 닫힌 원소 가운데, $\delta {𝔤}^{*}$만으로 생성되는 것이다.

이는 리 대수의 경우의 정의를 일반화한다. $𝔤$가 리 대수인 경우, 불변 다항식은

$\mathrm{Sym}({𝔤}^{*})\subseteq \mathrm{W}(𝔤)=\mathrm{Sym}({𝔤}^{*})\otimes \bigwedge ({𝔤}^{*})$

의 원소이며, 여기서 불변 다항식 조건은 이 원소가 닫힌 원소라는 조건과 동치이다.

성질

리 대수 $𝔤$에 대하여,

$\mathrm{inv}(𝔤)\to \mathrm{W}(𝔤)\to \mathrm{CE}(𝔤)$

는 리 군 $G$의 분류 공간

$\mathrm{B}G\leftarrow \mathrm{E}G\leftarrow G$

의 (표수 0 특이 코호몰로지의) 모형이다. 즉, 그 (공사슬 복합체로서의) 코호몰로지는 이 위상 공간들의 (꼬임을 제외한) 특이 코호몰로지와 같다.

다시 말해,

${\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{W}(𝔤))={\mathrm{H}}_{\text{sing}}^{\bullet }(\mathrm{E}G)=\{\begin{array}{cc}0& \bullet \ne 0\\ K& \bullet =0\end{array}$

${\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{CE}(𝔤))={\mathrm{H}}_{\text{sing}}^{\bullet }(G;K)={\mathrm{H}}_{\text{LieAlg}}^{\bullet }(𝔤;K)$

${\mathrm{inv}}^{\bullet }(𝔤)={\mathrm{H}}_{\text{sing}}^{\bullet }(\mathrm{B}G;K)$

이다. ($\mathrm{inv}(𝔤)$의 원소들은 정의에 따라 모두 닫힌 원소이므로, 코호몰로지를 취할 필요가 없다.) 여기서 ${\mathrm{H}}_{\text{LieAlg}}^{\bullet }(-)$는 리 대수 코호몰로지이다.

예

체 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$의 킬링 형식

$B\in {\mathrm{Sym}}^2{𝔤}^{*}$

은 2차 불변 다항식이다. 즉,

$B(x,[y,z])-B([x,y],z)=0\mathrm{\forall }x,y,z\in 𝔤$

이다.

단순 리 대수의 불변 다항식

계수 $n$의 단순 리 대수는 $n$개의 불변 다항식을 가진다. 그 차수는 다음과 같다.틀:Rp

단순 리 대수	불변 다항식의 차수
${𝔞}_n$	2, 3, …, n+1
${𝔟}_n$, ${𝔠}_n$	2, 4, 6, …, 2n
${𝔡}_n$	2, 4, 6, …, 2n−2, n
${𝔢}_6$	2, 5, 6, 8, 9, 12
${𝔢}_7$	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
${𝔢}_8$	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
${𝔣}_4$	2, 6, 8, 12
${𝔤}_2$	2, 6

위 표에서, 첫 2차 불변 다항식은 항상 킬링 형식이다. “차수”란 다항식의 차수를 뜻한다. 이를 L∞-대수로 해석할 경우, 각 변수의 등급이 2이므로, L∞-대수로서의 등급은 다항식 차수의 2배이다. 이 수들은 해당 리 대수의 콤팩트 형식의 유리수 계수 특이 코호몰로지 환을 결정한다. 즉, 만약 불변 다항식의 차수가 $d_1,d_2,\dots ,d_r$라면, 리 군의 특이 코호몰로지 환은 차수

$\mathrm{deg}{x}_i=2d_i-1$

의 $r$개의 생성원으로 생성되는 외대수이다. 특히,

$\dim G=\sum _{i=1}^r(2d_i-1)$

이다.

${𝔞}_n=𝔰𝔲(n+1)$의 경우, 그 불변 다항식은 다음과 같은 꼴이다. 리 대수의 원소를 $(n+1)\times (n+1)$ 무대각합 반 에르미트 행렬로 표현할 경우,

$p_k(M)={\mathrm{tr}}_{(n+1)\times (n+1)}(M^k)$

이다. 만약 $k=1$인 경우는 (행렬이 무대각합이므로) $p_1=0$이 되며, $k\ge n+2$인 경우는 더 낮은 차수의 불변 다항식들의 곱의 합으로 표현될 수 있다.

$𝔰𝔬(n)$의 경우, 그 리 대수의 원소는 반대칭 $n\times n$ 행렬이며, 따라서 다음과 같은 불변 다항식을 적을 수 있다.

$p_k(M)=\mathrm{tr}(M^k)$

이 경우 $k$가 홀수일 때 $p_k=0$이다. 즉, 짝수 차수만이 남게 된다. $n$이 홀수일 때 불변 다항식들은 $p_2,\dots ,p_{n-1}$로 구성된다. $n=2m$이 짝수일 때는 추가로 $m$차 불변 다항식

$q(M)={ϵ}^{i_1{j}_1{i}_2{j}_2\cdots i_m{j}_m}{M}_{i_1{j}_1}\cdots M_{i_m{j}_m}$

이 존재한다.

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
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