이차 리 대수

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 이차 리 대수(二次Lie代數, 틀:Llang)는 리 괄호와 호환되는 비퇴화 쌍선형 형식이 주어진 유한 차원 리 대수이다.

정의

가환환 $K$ 위의 이차 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $K$-리 대수 $𝔤$
• $K$-비퇴화 쌍선형 형식 $𝔤{\otimes }_K𝔤\to K$, $x\otimes y\mapsto ⟨x,y⟩$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$⟨[x,y]|z⟩=⟨y|[z,x]⟩$

아인슈타인 표기법을 사용하여, $𝔤$의 원소를 $t^i$와 같이 윗첨자로 표기하고, $𝔤$의 구조 상수를

$[t^i,t^j]=f^k{}_{ij}{t}^i{t}^j$

와 같이 적고 ($f^k{}_{ij}=-f_{ji}^k$), 쌍선형 형식을

$⟨t^i|t^j⟩=C_{ij}{t}^i{t}^j$

와 같이 적을 경우 ($C_{ij}=C_{ji}$), 위 조건은 다음과 같다.

$0=C_{l(j}{f}^l{}_{k)i}=C_{lj}{f}^l{}_{ki}+C_{lk}{f}^l{}_{ji}$

여기서 $(\dots )$는 해당 첨자들의 대칭화를 뜻한다.

연산

같은 가환환 위의 두 이차 리 대수의 직합은 표준적으로 이차 리 대수 구조를 갖는다.

이중 확대

다음이 주어졌다고 하자.

• 체 $K$
• $K$-이차 리 대수 $(𝔤,⟨-|-⟩)$
• $K$-리 대수 $𝔥$ 및 그 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 $⟨-|-{⟩}_{𝔥}$ (이는 비퇴화가 아닐 수 있다)
• $K$-리 대수 준동형 $(\cdot ):𝔥\to 𝔡𝔢𝔯(𝔤)\cap 𝔬(𝔤)$ (여기서 $𝔬(𝔤)$는 대칭 쌍선형 형식 $⟨-|-⟩$에 대한 직교 리 대수)

그렇다면, 직합 $K$-벡터 공간

$𝔤\oplus 𝔥\oplus {𝔥}^{\vee }$

위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 줄 수 있다.

$⟨(g^{\prime },h^{\prime },h{\text{'}}^{\vee })|(g,h,h^{\vee })⟩=⟨g^{\prime }|g⟩+⟨h^{\vee }|h^{\prime }⟩+⟨h{\text{'}}^{\vee }|h⟩+⟨h^{\prime }|h⟩$

$[(g,0,0),(g^{\prime },0,0)]=([g,g^{\prime }],0,\omega (g,g^{\prime }))$

$[(0,h,0),(0,h^{\prime },0)]=(0,[h,h^{\prime }],0)$

$[(0,0,h^{\vee }),(g,0,h{\text{'}}^{\vee })]=0$

$[(0,h,0),(0,g,0)]=(h\cdot g,0,0)$

$[(0,0,h^{\vee }),(0,h,0)]=(0,0,h^{\vee }\circ {\mathrm{ad}}_h)$

여기서

$\omega (g,g^{\prime })\in {𝔥}^{*}$

$\omega (g,g^{\prime })(h)=⟨h\cdot g|g^{\prime }⟩$

이다. 이를 $𝔤$의, $𝔥$를 통한 이중 확대(틀:Llang)라고 한다.틀:Rp

만약 $K=ℝ$일 때, $𝔤$의 부호수가 $(m_{+},m_{-})$이며, $𝔥$가 $n$차원이라면, $h$ 위의 대칭 쌍선형 형식에 관계 없이, $𝔤$의 $𝔥$를 통한 이중 확대의 부호수는 $(m_{+}+n,m_{-}+n)$이다.

증명:

이중 확대 $𝔤\oplus 𝔥\oplus {𝔥}^{\vee }$에서, $𝔥\oplus {𝔥}^{\vee }$의 부호수를 계산하면 된다. $𝔥$ 위의 대칭 쌍선형 형식을 대각화하였을 때, $𝔥\oplus {𝔥}^{\vee }$ 위의 대칭 쌍선형 형식은

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& a\end{array}\right)(a\in \{0,1,-1\})$

의 꼴의 블록들로 구성된 블록 대각 행렬이 된다. 이 블록들은 $a$의 값에 관계 없이 모두 부호수가 $(1,1)$임을 쉽게 확인할 수 있다.

성질

비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, 체 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 벡터 공간이다.

실수체 위의 리 대수에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 양의 정부호의 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.
• 콤팩트 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다.

증명:

실수 이중 리 대수의 구조 정리에서, 이중 확장을 통하여 얻은 이차 리 대수는 항상 부정부호임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 따라서, 양의 정부호를 얻으려면, 양의 정부호 단순 리 대수 및 1차원 아벨 리 대수들의 직합을 취할 수 밖에 없다.

분류

실수체 위의 이차 리 대수 가운데, (이차 리 대수로서) 직합으로 분해될 수 없는 것은 항상 단순 리 대수이거나, 1차원 아벨 리 대수이거나, 또는 어떤 이차 리 대수의, 1차원 아벨 리 대수 또는 단순 리 대수에 대한 이중 확대이다.틀:Rp 즉, 실수체 위의 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 1차원 아벨 리 대수로부터, 직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.틀:Rp

마찬가지로, 실수체 위의 모든 이차 리 대수 가운데 가해 리 대수인 것은 아벨 리 대수로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.틀:Rp

• 직합
• 1차원 아벨 리 대수에 대한 이중 확대 $𝔤\mapsto 𝔤\oplus ℝ\oplus ℝ$

예

표수 0의 체 위의 단순 리 대수의 경우, 그 위에 존재하는 모든 이차 리 대수 구조는 킬링 형식에 비례한다. 특히, 이에 따라 표수 0에서 모든 반단순 리 대수는 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.

임의의 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 위에, 임의의 비퇴화 쌍선형 형식 및 아벨 리 대수 구조를 부여하면, 이는 이차 리 대수를 이룬다.

비콤팩트 이차 리 대수

가환환 $K$ 위의 이차 리 대수 $𝔤$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환 $𝔤[t]$ 위에 리 괄호

$[p,q{]}_{𝔤[t]}(t)=[p(t),q(t){]}_{𝔤}$

를 줄 수 있다. 또한, 임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여,

$t^n𝔤[t]\subseteq 𝔤$

는 그 리 대수 아이디얼을 이룬다. 따라서, 몫 리 대수

$\frac{𝔤[t]}{t^n𝔤[t]}=\underset{i=0}{\overset{n-1}{\oplus }}𝔤t^i$

를 취할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 주자.

$⟨x_0+x_{1}t+\cdots +x_{n-1}{t}^{n-1}|y_0+y_{1}t+\cdots +y_{n-1}{t}^{n-1}⟩=⟨x_{n-1}|y_{n-1}{⟩}_{𝔤}$

그렇다면, 이 역시 이차 리 대수를 이룬다.

이제, 만약 예를 들어 $K$가 표수 0의 체이며, $𝔤$가 단순 리 대수이며, $n\ge 2$일 때, 이와 같은 이차 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이 아니다.

아벨 리 대수나 반단순 리 대수가 아닌 4차원 이차 리 대수

다음과 같은 리 대수를 생각하자.틀:Rp

${𝔤}_4={\mathrm{Span}}_{ℝ}\{C,L_{+},L_{-},C^{*}\}$

$[C,L_{\pm }]=\pm L_{\pm }$

$[L_{+},L_{-}]=C^{*}$

$[L_{\pm },L_{\pm }]=0$

$[C,C^{*}]=[L_{\pm },C^{*}]=0$

여기에 부호수 (2,2)의 이차 형식

$⟨C^{*}|C⟩=1$

$⟨L_{\pm }|L_{\mp }⟩=1$

$⟨L_{\pm }|L_{\pm }⟩=⟨C|C⟩=⟨C^{*}|C^{*}⟩=⟨C^{*}|L_{\pm }⟩=⟨C|L_{\pm }⟩=0$

을 정의하면, 이는 실수체 위의 4차원 이차 리 대수를 이룬다.

이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.

또한, 다음을 생각하자.틀:Rp

${𝔤}_5={\mathrm{Span}}_{ℝ}\{x_1,x_2,t,x^1,x^2\}$

$⟨x_i|x^j⟩={\delta }_i^j$

$⟨x_i|x_j⟩=0$

$⟨t|t⟩=1$

$[x_1,x_2]=t$

$[x_i,t]=-{ϵ}_{ij}{x}^j$

$[x^j,t]=[x_i,x^j]=0$

여기서 ${\delta }_i^j$는 크로네커 델타이며, ${ϵ}_{ij}$는 레비치비타 기호이며, 아인슈타인 표기법을 사용하였다. 이는 부호수 (3,2)의 이차 리 대수를 이룬다.

이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.

낮은 차원의 이차 리 대수

6차원 이하의 실수체 또는 복소수체 위의 이차 리 대수는 모두 알려져 있다.

실수체 위의 기약 이차 리 대수들 가운데 낮은 차원인 것들은 다음과 같다.

가해 리 대수가 아닌 10차원 이하의 기약 실수 이차 리 대수틀:Rp

차원	이차 리 대수
3	$𝔰𝔩(2;ℝ)$
	$𝔬(3;ℝ)$
6	$𝔰𝔩(2;ℝ)\to 𝔡𝔢𝔯(0)$에 의한 이중 확대 $0\oplus 𝔰𝔩(2;ℝ)\oplus 𝔰𝔩(2;ℝ{)}^{*}$
	$𝔬(3;ℝ)\to 𝔡𝔢𝔯(0)$에 의한 이중 확대 $0\oplus 𝔬(3;ℝ)\oplus 𝔬(3;ℝ{)}^{*}$
	$𝔰𝔩(2;ℂ)$
8	$𝔰𝔩(3;ℝ)$
	$𝔰𝔲(3;ℝ)$
	$𝔰𝔲(2,1;ℝ)$
9	$𝔰𝔩(2;ℝ[x]/(x^3))=𝔰𝔩(2;ℝ){\otimes }_{ℝ}ℝ[x]/(x^3)$
	$𝔬(3;ℝ[x]/(x^3))=𝔬(3;ℝ){\otimes }_{ℝ}ℝ[x]/(x^3)$
10	$𝔬(3,2)$
	$𝔬(4,1)$
	$𝔬(5)$
	$V={ℝ}^2$일 때, 이중 확대 $V\otimes V\oplus 𝔰𝔩(V)\oplus 𝔰𝔩(V{)}^{*}$.틀:Rp 여기서 $⟨u\otimes v,u^{\prime }\otimes v^{\prime }⟩=⟨u,v⟩⟨u^{\prime },v^{\prime }⟩$이며 $M\cdot (u\otimes v)=Mu\otimes v$ ($u,v\in V,M\in 𝔰𝔩(V)$)
	$W={ℂ}^2$일 때, 이중 확대 $V\oplus 𝔰𝔲(W)\oplus 𝔰𝔲(W{)}^{*}$.틀:Rp. 여기서 $⟨u,v⟩=⟨u,v{⟩}_{ℂ}+⟨v,u{⟩}_{ℂ}$이며 $⟨-,-{⟩}_{ℂ}$는 복소수 힐베르트 공간 내적이다.
11	(총 3개)
12	(총 9개)
13	(총 4개)

아벨 리 대수가 아닌 6차원 이하의 기약 가해 실수 이차 리 대수틀:Rp

차원	이차 리 대수
4	${𝔤}_4$ (※위 문단을 참고)
5	${𝔤}_5$ (※위 문단을 참고)
6	(2개의 리 대수와 연속적인 족 1개가 존재)

외부 링크

• 틀:웹 인용