로랑 급수

틀:위키데이터 속성 추적 로랑 급수(Laurent級數, 틀:Llang)는 정칙함수에 대한, 테일러 급수를 일반화한 급수이다. 테일러 급수와 달리 음의 지수의 항을 가질 수 있고, 고립 특이점을 갖는 함수를 급수로 전개할 때에도 쓸 수 있다.

역사

환영역(틀:Llang) $R (z_{0}, a, b)$ 는 다음과 같은 집합이다.

R (z_{0}, a, b) = {z \in ℂ : a < | z - z_{0} | < b}

어떤 함수 $f : R (z_{0}, a, b) \to ℂ$ 가 환영역 $R (z_{0}, a, b)$ 에서 정칙함수라고 하자. 그렇다면 이 환영역에서 $f$ 의 로랑 급수는 다음과 같은 꼴의 급수이다.

f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}

여기서, 차수가 음이 아닌 부분

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}

을 로랑 급수의 해석부분(解析部分, 틀:Llang), 차수가 음수인 부분

\sum_{k = 1}^{\infty} c_{- k} (z - z_{0})^{- k}

을 로랑 급수의 주부분(主部分, 틀:Llang)이라고 부른다.

로랑 급수의 계수 $c_{n}$ 은 코시 적분공식에 의하여 주어진다.

c_{n} = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{n + 1}} d z

여기서 폐곡선 $C$ 는 환영역 안에 존재하는 임의의 양의 방향의 단순 닫힌 경로(감김수(틀:Llang)가 1인 폐곡선)이다.

주어진 로랑 급수의 경우, 로랑 급수가 균등수렴하는 최대 환영역 $R (z_{0}, a, b)$ 의 안·밖 반지름 $a, b$ 는 다음과 같다.

a = \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{- n} |^{1 / n}

1 / b = \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} |^{1 / n}

환영역의 경계에서는 로랑 급수의 수렴 여부는 불분명하다.

주어진 환영역 위에서, 로랑 급수는 유일하며, 그 계수는 코시 적분공식에 의하여 주어진다. 그러나 복잡한 정의역을 갖는 정칙함수의 경우, 정의역의 서로 다른 환영역 부분집합에서 서로 다른 로랑 급수가 존재할 수 있다.

예를 들어, 정칙함수

f (z) = \frac{1}{(z - 1) (z - 2 i)}

를 $z = 0$ 근처에서 전개한다고 하자. 이 경우, 정의역

ℂ ∖ {1, 2 i}

에 다음과 같은 환영역들을 정의할 수 있다.

이 세 환영역에서 로랑 급수는 각각 다음과 같다.

$f (z) = \frac{1 + 2 i}{5} \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{(2 i)^{k + 1}} - 1) z^{k}$
$f (z) = \frac{1 + 2 i}{5} (\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{z^{k}} + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 i)^{k + 1}} z^{k})$
$f (z) = \frac{1 + 2 i}{5} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1 - (2 i)^{k - 1}}{z^{k}}$

이 세 로랑 급수는 각각 서로 겹치지 않는 환영역에서 정의되며, 이 속에서 수렴하지만 환영역이 다르므로 서로 다른 급수이다.