사다리 연산자

틀:위키데이터 속성 추적 틀:접이식 사이드바 양자역학에서 사다리 연산자(틀:Llang)는 어떤 연산자의 한 고유벡터를 다른 고유벡터로 바꾸는 연산자다. 고윳값을 증가시키는 올림 연산자(틀:Llang)와 감소시키는 내림 연산자(틀:Llang)가 있다. 이를 써서 주어진 연산자의 한 고유벡터로부터 다른 모든 고유벡터를 찾는다.

정의

주어진 에르미트 연산자 $N$에 대하여, 연산자 $X$가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 $X$를 $N$의 사다리 연산자라고 한다.

$[N,X]=cX$

여기서 c는 어떤 실수이다.

사다리 연산자는 N에 대한 고윳값이 n 인 고유벡터 |n〉의 고유값을 c 만큼 변화시키는 역할을 한다.

$\begin{array}{cc}NX|n⟩& =(XN+[N,X])|n⟩\\ & =XN|n⟩+[N,X]|n⟩\\ & =Xn|n⟩+cX|n⟩\\ & =(n+c)X|n⟩.\end{array}$

즉,

$X|n⟩\sim |n+c⟩$

이다. c 가 양수인 경우 $X$는 고유벡터의 고유값을 증가시키기 때문에 $X$를 올림 연산자, c가 음수인 경우 $X$는 고유벡터의 고유값을 감소시키기 때문에 $X$를 내림 연산자라 한다.

사다리 연산자 $X$의 에르미트 수반 연산자 $X^{†}$ 또한 사다리 연산자이며

$[N,X^{†}]=-c{X}^{†}$

고유벡터의 고유값을 $X$의 반대방향인 -c만큼 변화시키는 역할을 한다.

사다리 연산자가 존재하면, $N$의 특정 고유벡터로부터 사다리 연산자를 사용해 다른 고유벡터를 유추할 수 있다. 예를 들어, $c<0$이며 $N$의 최대 고윳값을 가진 고유벡터 $|n_{\text{max}}⟩$가 알려져 있으면 다른 상태들을 내림 연산자 $X$를 사용하여

$|n⟩,X|n⟩,X^2|n⟩,\cdots$

와 같이 유추할 수 있다. 최소 고윳값의 경우도 반대로 올림 연산자$X^{†}$를 사용하여 마찬가지로 나머지 상태들을 알아낼 수 있다.

예

양자 조화 진동자

틀:본문 사다리 연산자의 가장 단순한 예는 정준 교환 관계

$[x,p]=i$

의 표현이다. 이는 하이젠베르크 군의 리 대수에 해당한다. 이 경우, 소멸 연산자 $a$와 생성 연산자 $a^{†}$ 및 입자수 연산자 $N$을 다음과 같이 정의하자.

$a=(x+ip)/\sqrt{2}$

$a^{†}=(x-ip)/\sqrt{2}$

$N=a^{†}a$

여기서 $N$은 (질량과 각진동수를 1로 놓은) 양자 조화 진동자의 진동 모드 수이며, $x$와 $p$는 그 위치 및 운동량이다. 그렇다면

$[N,a]=-a$

$[H,a^{†}]=a^{†}$

$[a,a^{†}]=1$

이다. 따라서, $N$의 고유벡터 $|n⟩$이 주어지면

$a^{†}|n⟩\propto |n+1⟩$

$a|n⟩\propto |n-1⟩$

$N|n⟩=n|n⟩$

이 된다. 즉, 바닥 상태 $|0⟩$으로부터 생성 연산자를 가해, 하이젠베르크 군의 표현을 지을 수 있다.

$\mathscr{H}=\mathrm{Span}\{|0⟩,a^{†}|0⟩,(a^{†}{)}^2|0⟩,\dots \}$

각운동량

틀:본문 양자역학에서, 각운동량의 이론은 회전군 SO(3) 또는 Spin(3)=SU(2)의 군 표현론에 의하여 결정된다. 이 경우, 각운동량 연산자 $J_1,J_2,J_3$은 SU(2)의 리 대수

$[J_i,J_j]=i{ϵ}^{ijk}{J}_k$

를 따른다. 이 경우, 다음과 같은 사다리 연산자를 정의한다.

$J_{+}=J_1+i{J}_2$,

$J_{-}=J_1-i{J}_2=(J_{+}{)}^{†}$

그렇다면 이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.

$[J_3,J_{\pm }]=\pm J_{\pm }$

따라서, 상태들을 $J_3$의 고유상태 $|m⟩$로 나타내면,

$J_{\pm }|m⟩\propto |m\pm 1⟩$

이 된다. 최고 스핀 상태 $|l⟩$는 $J_{+}$로 상쇄되는 상태이다.

$J_{+}|l⟩=0$

그렇다면 최고 스핀 상태로부터 시작하여, 내림 연산자를 가해 SU(2)의 표현을 지을 수 있다.

$\mathscr{H}=\mathrm{Span}\{|l⟩,J_{-}^{†}|0⟩,(J_{-}{)}^2|0⟩,\dots \}$

SU(2)의 표현이 유한하며 모든 상태가 양의 노름을 가지려면, $l$은 정수 또는 반정수이며, 또한

$(J_{-}{)}^{2l+1}|l⟩=0$

이 되어야 한다. 즉, SU(2)의 유한 차원 유니터리 표현은 최대 각운동량 $2l\in \mathbb{N}$에 의해 결정되며, 그 차원은 $2l+1$이다.

단순 리 군

SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군의 경우로 일반화시킬 수 있다. 이 경우, 리 군의 근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 있으며, 리 군의 표현은 그 최고 무게 상태(틀:Llang)로부터 내림 연산자를 사용하여 지을 수 있다.

등각 대수

틀:본문 틀:본문 등각 대칭은 등각 장론이 갖는 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

$[D,K_{\mu }]=-i{K}_{\mu }$

$[D,P_{\mu }]=i{P}_{\mu }$

$[K_{\mu },P_{\nu }]=2i{\eta }_{\mu \nu }D-2i{M}_{\mu \nu }$

$[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i({\eta }_{\mu \nu }{K}_{\rho }-{\eta }_{\mu \rho }{K}_{\nu })$

$[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i({\eta }_{\rho \mu }{P}_{\nu }-{\eta }_{\rho \nu }{P}_{\mu })$

$[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i({\eta }_{\nu \rho }{M}_{\mu \sigma }+{\eta }_{\mu \sigma }{M}_{\nu \rho }-{\eta }_{\mu \rho }{M}_{\nu \sigma }-{\eta }_{\nu \sigma }{M}_{\mu \rho })$

따라서, $-iD$에 대하여,

$[-iD,K_{\mu }]=-K_{\mu }$

$[-iD,P_{\nu }]=P_{\mu }$

이므로, 특수 등각 변환 $K$는 내림 연산자, 운동량 $P$는 올림 연산자가 된다. 방사 양자화(틀:Llang)의 경우 $D$가 해밀토니언의 역할을 하게 된다. $K$에 의해 상쇄되는 상태를 일차 상태(틀:Llang)라고 하며, 이는 $D$와 $M_{\mu \nu }$에 대한 고유벡터이다. 일차 상태가 주어지면 나머지 상태들을 일차 상태에 $P$를 가해 지을 수 있다. 이러한 나머지 상태들을 이차 상태(틀:Llang)라고 한다.

비라소로 대수

틀:본문 비라소로 대수는 2차원 등각 장론의 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}(m+1)m(m-1){\delta }_{m+n}(m,n\in \mathbb{Z})$

따라서, $L_0$에 대하여, $L_n$은 내림 연산자, $L_{-n}$은 올림 연산자이다 ($n>0$).

$[L_0,L_n]=-n{L}_n$

$[L_0,L_{-n}]=n{L}_{-n}$

등각 장론에서, 최고 무게 상태는 일차 상태(틀:Llang) $|h⟩$로 알려져 있으며, $L_0$의 고윳값 $h$로 나타내어진다.

$L_0|h⟩=h|h⟩$

$L_n|h⟩=0\mathrm{\forall }n>0$

일차 상태가 주어지면, 비라소로 대수의 표현의 나머지 상태들은 올림 연산자 $L_{-n}$을 가하여 만들 수 있다.

${\mathscr{H}}_h=\mathrm{Span}\{|h⟩,L_{-1}|h⟩,L_{-1}^2|h⟩,L_{-2}|h⟩,L_{-1}^3|h⟩,\dots \}$

이러한 표현을 비라소로 대수의 베르마 가군이라고 한다.

같이 보기

• 양자 조화 진동자
• 슈발레 기저

각주

• 틀:서적 인용