베스-추미노-위튼 모형

틀:위키데이터 속성 추적 이론물리학과 수학에서 베스-추미노-위튼 모형(틀:Llang), 혹은 베스-추미노-노비코프-위튼 모형(틀:Llang)은 간단한 2차원 등각 장론의 하나이다. 이는 비선형 시그마 모형의 일종이며, 그 과녁 공간(target space)은 (반)단순 리 군이다.

정의

리 군 위의 제르브

다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 단일 연결 단순 리 군 $G$. 그 리 대수가 $𝔤$라고 하자.

그렇다면, 리 대수 코호몰로지에 의하여,

${\mathrm{H}}^3(G;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$

임을 보일 수 있다. 그 생성원을 $[\mu ]$라고 하자. 기하학적으로, 이는 $G$ 위의 표준적인 제르브를 이룬다.

구체적으로, $𝔤$의 킬링 형식

$B:{\mathrm{Sym}}^2𝔤\to ℝ$

및 3차 형식

$\tilde{\mu }{|}_1\in {\bigwedge }^3{𝔤}^{*}$

$\tilde{\mu }{|}_1:x\wedge y\wedge z\mapsto B(x,[y,z])$

을 정의하고, 이를 이를 왼쪽 평형 이동을 통해 $G$ 전체에 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\tilde{\mu }=B(\theta \wedge [\theta \wedge \theta ])\in {\mathrm{\Omega }}^3(G)$

여기서 $\theta \in {\mathrm{\Omega }}^1(G;𝔤)$는 $G$의 마우러-카르탕 형식이다. 그렇다면, 3차 코호몰로지가 1차원이므로, 그 드람 코호몰로지는 항상 $[\mu ]$에 비례한다.

$[\mu ]=\alpha [\tilde{\mu }]$

그렇다면, $[\mu ]$의 표준적인 대표원인 3차 미분 형식을

$\mu =\alpha \tilde{\mu }$

로 정의할 수 있다.

베스-추미노-위튼 작용

임의의 (경계가 없는) 콤팩트 리만 곡면(세계면) $\mathrm{\Sigma }$ 및 매끄러운 함수(스칼라장)

$\varphi :\mathrm{\Sigma }\to G$

가 주어졌다고 하자. 이에 대하여, 다음과 같은 추가 데이터를 생각하자.

• $\partial M_3=\mathrm{\Sigma }$가 되는 3차원 유향 경계다양체 $M_3$
• $f\upharpoonright \sigma =\varphi$가 되는 연속 함수 $f:M_3\to G$
• $\mathrm{d}\omega =f^{*}\mu$가 되는 2차 미분 형식 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^2(M_3)$

물론, 위와 같은 데이터는 유일하지 않다. 그러나 두 개의 데이터 $(M_3,f,\omega )$, $({M_3}^{\prime },f^{\prime },{\omega }^{\prime })$가 주어졌을 때, 방향을 따라 이를 다음과 같이 이어붙일 수 있다.

${\tilde{M}}_3=M_3{\cup }_{\mathrm{\Sigma }}{M_3}^{\prime }$

$\tilde{f}:{\tilde{M}}_3\to G$

이에 따라, ${\tilde{M}}_3$은 경계가 없는 콤팩트 3차원 유향 다양체를 이룬다. 정의에 따라서, $\mu$가 정수 계수 코호몰로지에 속하므로,

$\underset{{\tilde{M}}_3}{\int }{\tilde{f}}^{*}\mu =[{\tilde{M}}_3]⌢[\mu ]\in \mathbb{Z}$

이다. ($⌢$은 호몰로지류와 코호몰로지류 사이의 교곱이다.) 이에 따라, 스토크스 정리를 사용하여,

$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }(\alpha -{\alpha }^{\prime })=\underset{M_3}{\int }{\varphi }^{*}\mu -\underset{{M_3}^{\prime }}{\int }\varphi {\text{'}}^{*}\mu \in \mathbb{Z}$

임을 알 수 있다.

따라서,

$\exp (\mathrm{i}{S}_2)=\exp \left(2\pi \mathrm{i}\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }\alpha \right)$

는 $(M_3,\varphi ,\alpha )$의 선택에 상관이 없음을 알 수 있다.

이제, $\mathrm{\Sigma }$에 임의의 리만 계량 $g$를 부여하자. $G$의 베스-추미노-위튼 작용은

$\exp (\mathrm{i}S)=\exp (\mathrm{i}{S}_1+k\mathrm{i}{S}_2)(k\in \mathbb{Z})$

$S_1\propto \underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }-B(g^{-1}(\theta ,\theta ))$

이다. ($S_1$의 양의 실수 스칼라배는 $g$의 재정의로 흡수될 수 있다.) $k$는 준위(틀:Llang)라고 불리는 정수이다.

이를 작용으로 하는 고전 장론을 고전적 베스-추미노-위튼 모형이라고 한다.

이 작용은 지표로 다음과 같이 표기된다. 우선, 다음과 같은 지표를 정의하자.

• 리 대수 $𝔤$의 지표 $a,b,c,\dots$
• $\mathrm{\Sigma }$의 지표 $i,j,k,\dots$
• $M_3$의 지표 $I,J,K,\dots$

그렇다면, 베스-추미노-위튼 작용은 다음과 같다.

$S=S_1+S_2$

$S_1=-\frac{k}{8\pi }\underset{S^2}{\int }{d}^{2}x(Dg{)}^2$

$S_2=-\frac{k}{24\pi }\underset{B^3}{\int }{d}^{3}y{ϵ}^{ijk}{f}_{abc}{D}_I{g}^a{D}_J{g}^b{D}_K{g}^c$

여기서 ${ϵ}^{IJK}$는 레비-치비타 기호, $f_{abc}$는 리 대수의 구조 상수다.

물론, $S_2$로 인하여 오직 $\exp (\mathrm{i}S)\in ℂ$만이 잘 정의될 수 있다.

보다 일반적으로, 만약 세계면 $\mathrm{\Sigma }$에 $n$개의 구멍이 존재한다고 하자. 구멍의 경계를 $C_1,\dots ,C_n$이라고 할 때, 일반적으로 $\exp (\mathrm{i}S)$는 다음과 같은 1차원 복소수 힐베르트 공간의 원소이다.틀:Rp

$\exp (\mathrm{i}S)\in \underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{ℒ}_{g\upharpoonright C_i}$

여기서

• $ℒ$은 고리군 $ℒG={𝒞}^{\mathrm{\infty }}({𝕊}^1,G)$ 위의 특별한 복소수 선다발이며, 기하학적으로 이는 아핀 리 대수 $\widehat{𝔤}$의 실수 형식에 대응하는 리 군이다. (이는 고리군의 U(1)에 의한 중심 확대이다.)
• $g\upharpoonright C_i:{𝕊}^1\cong C_i\to G$는 $g$의 경곗값이다. 이는 물론 고리군의 원소를 이룬다.
• ${ℒ}_x$는 선다발 $ℒ$의, $x\in ℒG$에서의 올이다.
• $ℒ$ 위에는 표준적인 에르미트 내적이 주어져 있어, 위 표현은 복소수 힐베르트 공간을 이룬다.

만약 $G$가 반단순 리 군일 경우에는 각 단순 성분에 다른 준위가 존재할 수 있다.

양자화

베스-추미노-위튼 모형의 보존류($h=1$인 일차장)들의 대수는 아핀 리 대수를 이룬다. 이에 따라, 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론을 이룬다.

그 힐베르트 공간은 다음과 같다.

${\mathscr{H}}_k=\underset{R\in \mathrm{IrRep}(G,k)}{⨁}\stackrel{‾}{V_{R_k}{\otimes }_{ℂ}{V}_{{\overline{R}}_k}}$

여기서

• $\mathrm{IrRep}(G)$는 $G$의 복소수 유한 차원 유니터리 기약 표현들의 동형류의 집합이다. 이는 일반적으로 가산 무한 집합이다.
• $\mathrm{IrRep}(G,k)⊊\mathrm{IrRep}(G)$는 $G$의 표현 가운데, 이에 대응하는 무게 ${\lambda }_R\in 𝔥$가 $⟨{\varphi }_{𝔤},{\lambda }_R⟩\le k$를 만족시키는 것이다.틀:Rp 여기서 ${\varphi }_{𝔤}$는 $𝔤$의 근계의 부분 순서에 대한 (유일한) 최대 원소이다. (즉, 근계 $\mathrm{\Delta }$의 양근의 집합 ${\mathrm{\Delta }}^{+}$에 대하여, $\mathrm{\forall }\alpha \in {\mathrm{\Delta }}^{+}:\alpha +\varphi \}$이다.)
• $R\in \mathrm{IrRep}(G)$ 및 $k\in \mathbb{N}$에 대하여, $R_k$는 아핀 리 대수 $\widehat{𝔤}$의 유니터리 표현이며, 이 경우 중심 원소 $𝗄\in \widehat{𝔤}$의 값이 $k$가 된다.
• $\bar{V}$는 복소수 내적 공간의, 힐베르트 공간으로의 완비화이다.

이는 물론 아핀 리 대수의 표현을 가지며, 스가와라 구성을 통해 이는 비라소로 대수의 표현을 갖는다. 이 경우

$c=\frac{k\dim G}{k+h^{\vee }(G)}$

이다. 여기서 $h^{\vee }(G)$는 이중 콕서터 수이다.

이는 고리군 $ℒG$의, 아핀 리 대수에 해당하는 복소수 선다발의 단면의 집합으로 해석할 수 있다.

예를 들어, 만약 $G=\mathrm{SU}(2)$일 때, 기약 표현은 스핀에 의하여 분류되므로

$\mathrm{IrRep}(\mathrm{SU}(2))=\{0,1/2,1,3/2,2,\dots \}$

$\mathrm{IrRep}(\mathrm{SU}(2),k)=\{0,1/2,1,\dots ,k/2\}$

이다.

성질

장방정식

베스-추미노-위튼 이론의 오일러-라그랑주 방정식은

$\partial (g^{-1}\overline{\partial }g)=0$

이다.틀:Rp (편의상, $\mathrm{\Sigma }$ 위의 복소구조에 대한 미분을 사용하였다.)

천-사이먼스 이론과의 관계

천-사이먼스 이론은 3차원 위상 양자장론이다. 만약 천-사이먼스 이론을 경계가 있는 3차원 다양체 위에 정의하면, 그 경계에는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형이 존재한다.틀:Rp 천-사이먼스 이론의 상태와 베스-추미노-위튼 모형의 상태들을 대응시킬 수 있다. 이는 AdS/CFT 대응성의 단순한 경우(AdS₃/CFT₂)로 생각할 수 있다. 천-사이먼스/베스-추미노-위튼 대응성은 에드워드 위튼이 1989년에 발견하였다.

D막

위와 같은 보통 베스-추미노-위튼 모형은 닫힌 끈을 나타낸다. 이 대신, 열린 끈에 대한 모형을 정의할 수도 있다. 이 경우, 정칙 진동 모드와 반정칙 진동 모드 사이에 관계를 주어야 한다.

구체적으로, 대칭류

$J=-\partial g{g}^{-1}$

$\overline{J}=g^{-1}\overline{\partial }g$

를 생각하자. 이 경우, 조건

$J=-\overline{J}$

은 풀어 쓰면

$0=(\partial g)g^{-1}-g^{-1}\overline{\partial }g=\mathrm{Ad}(g)g^{-1}\partial g-g^{-1}\overline{\partial }g$

이다. 이는

$(\mathrm{Ad}(g)+1)g^{-1}(\partial -\overline{\partial })g+(\mathrm{Ad}(g)-1)g^{-1}(\partial +\overline{\partial })g=0$

로 적을 수 있다. 이 경우, 킬링 형식을 사용하여, $G$의 $g$에서의 접공간 ${\mathrm{T}}_{g}G$를 딸림표현의 궤도에 평행한 부분 공간 ${\mathrm{T}}_g^{\parallel }G$과 수직한 부분 공간 ${\mathrm{T}}_g^{\perp }G$으로 구분할 수 있다. 그렇다면, ${\mathrm{T}}_g^{\perp }G$에 제한하였을 때 $\mathrm{Ad}(g)=1$이므로,

${(g^{-1}(\partial -\overline{\partial })g)}^{\perp }=0$

이 된다. 즉, 이는 접벡터 $g^{-1}(\partial -\overline{\partial })g$의, 딸림표현 궤도에 대하여 수직인 성분이 0이며, 따라서 이는 딸림표현 궤도(리 군의 켤레류)의 모양을 한 D막에 해당한다.

이 경우, 양자 이론의 확률 진폭이 잘 정의되기 위해서는 켤레류에 대응되는 무게 $\lambda$가 정수 무게이어야 한다.틀:Rp 즉, $G$의 극대 원환면 $T\le G$을 고르고, 그 리 대수(보렐 부분 대수)가 $𝔥$라고 하자. 그렇다면, 무게 $\lambda \in {𝔥}^{\vee }$에 대하여, 켤레류

$\{g\exp (2\pi \lambda /k)g^{-1}:g\in G\}$

를 대응시킬 수 있다. D막이 이 켤레류에 존재할 수 있을 필요 충분 조건은 $\lambda$가 정수 무게인 것, 즉 $G$의 모든 근 $\alpha$에 대하여 $⟨\alpha ,\lambda ⟩\in \mathbb{Z}$인 것이다.

역사

율리우스 베스와 브루노 추미노, 세르게이 노비코프, 에드워드 위튼이 발견하였다. 비슷한 이름을 가진 베스-추미노 모형(4차원 초대칭 양자장론)과는 (발견자가 같은 것을 제외하며) 관계없는 이론이다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용