위상군

틀:위키데이터 속성 추적 틀:대수 구조 군론에서 위상군(位相群, 틀:Llang)은 위상이 주어진 군으로서 위상적 구조와 대수적 구조가 서로 어울리는 경우이다. 즉, 이는 군의 연산이 연속 함수임을 말한다.

정의

$G$가 군인 동시에 위상 공간이라 하자. 이때 군의 연산

$G\times G\to G$

$(x,y)\mapsto xy$

와

$G\to G$

$x\mapsto x^{-1}$

이 연속 함수일 경우 $G$를 위상군이라 한다. (여기에서 $G\times G$에는 곱위상을 준다.)

범주론의 언어를 사용하면, 일반적인 군이 집합과 함수의 범주의 군 대상인 것과 마찬가지로, 위상군을 위상 공간과 연속 함수의 범주의 군 대상으로 정의할 수도 있다.

위상군과 연속 군 준동형들의 범주는 $\mathrm{TopGrp}$라고 한다.

성질

국소 콤팩트 하우스도르프 위상군의 경우, 하르 측도라는 측도가 (규격화를 무시하면) 표준적으로 존재한다. 국소 콤팩트 아벨 위상군의 경우, 폰트랴긴 쌍대성이 존재한다.

군론적 성질

위상군 $G$에서, 임의의 $g\in G$에 대하여,

$g\cdot :G\to G$

$\cdot g:G\to G$

는 모두 위상동형사상이며,

${-1}^{}:G\to G$

도 위상동형사상이다.

위상군의 임의의 부분군은 (부분 공간 위상에 대하여) 위상군을 이룬다. 위상군 $G$의 임의의 정규 부분군 $N⊲G$에 대한 몫군 $G/N$은 (몫위상을 주면) 위상군을 이룬다. 닫힌 정규 부분군의 경우, 몫군은 하우스도르프 공간이다. 열린 정규 부분군의 경우, 몫군은 이산 공간이다.

위상군 $G$에서, 항등원을 포함하는 연결 성분 $G_0$는 $G$의 닫힌 정규 부분군을 이루며, 몫군 $G/G_0$은 완전 분리 공간이다.

위상군 $G$의 부분군 $H\le G$에 대하여, 다음 두 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.

• 열린닫힌집합이다.
• 내부가 공집합이다.

모든 열린 부분군은 닫힌 부분군이다. 유한 지표 부분군의 경우, 열린 부분군과 닫힌 부분군인 것은 서로 동치이다. 콤팩트 위상군에서, 열린 부분군은 유한 지표 닫힌 부분군과 동치이다. 틀:증명 만약 $U=\mathrm{int}H$이며 $u\in U$라면,

$H=\bigcup _{h\in H}h{u}^{-1}U$

이며, $g\mapsto h{u}^{-1}g$가 위상동형사상이므로 $h{u}^{-1}U$는 열린집합이다. 따라서, $H$는 열린집합이다.

위상군 $G$의 임의의 부분군 $H\le G$에 대하여,

$H=G\setminus \bigcup _{g\in G\setminus H}gH$

이다. 만약 $H$가 열린 부분군이라면, 모든 $gH$가 열린집합이므로, $H$는 닫힌집합이다. 만약 $H$가 유한 지표 닫힌 부분군이라면, 모든 $gH$가 닫힌집합이며, 서로 다른 $gH$들의 수는 유한하므로, $H$는 열린집합이다.

만약 $G$가 콤팩트 위상군이며, $H$가 $H\le G$가 열린 부분군이라면,

$G=\underset{gH\in G/H}{⨆}gH$

이므로, $G/H$는 유한 부분 덮개를 가지며, 이는 스스로일 수밖에 없다. 즉, 지표 $|G:H|=|G/H|$는 유한하다. 틀:증명 끝

위상수학적 성질

모든 위상군은 완비 정칙 공간이다. 따라서, 위상군에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 콜모고로프 공간이다.
• T1 공간이다.
• 하우스도르프 공간이다.
• 티호노프 공간이다.
• 자명한 부분군 $\{1\}$이 닫힌집합이다.

위상군의 기본군은 항상 아벨 군이다. 위상군의 0차 "호모토피 군" ${\pi }_0(G)$는 (일반적인 위상 공간의 경우와 달리) 실제로 군을 이루며, 이는 아벨 군이지 않을 수 있다.

버코프-가쿠타니 정리(틀:Llang)에 따르면, 위상군 $G$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 제1 가산 공간이다. 즉, $1_G$가 가산 국소 기저를 갖는다.
• 유사 거리화 가능 공간이다.
• (왼쪽 불변 유사 거리화 가능성) $G$의 위상은 어떤 유사 거리 함수 $d:G\times G\to [0,\mathrm{\infty })$로부터 유도되며, 이는 $\mathrm{\forall }g,h,k\in G:d(kg,kh)=d(g,h)$를 만족한다.
• (오른쪽 불변 유사 거리화 가능성) $G$의 위상은 어떤 유사 거리 함수 $d:G\times G\to [0,\mathrm{\infty })$로부터 유도되며, 이는 $\mathrm{\forall }g,h,k\in G:d(gk,hk)=d(g,h)$를 만족한다.

예

모든 군은 이산 위상을 주거나 비이산 위상을 주어 위상군으로 만들 수 있다. 모든 리 군은 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다. 모든 사유한군 역시 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다.

수론에서, 이델 군 및 갈루아 확대의 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(L/K)$은 자연스럽게 위상군을 이룬다. 대수기하학에서, 에탈 기본군은 사유한군이므로 자연스럽게 위상군을 이룬다.

모든 위상 벡터 공간은 덧셈에 대하여 아벨 위상군을 이룬다. 만약 위상 벡터 공간이 유한 차원 실수 벡터 공간이 아니라면, 이는 리 군이 아니다. 실수 또는 복소수 힐베르트 공간 $\mathscr{H}$ 위에 유니터리 작용소들의 군 $\mathrm{U}(\mathscr{H})$는 작용소 노름을 부여하면 위상군을 이룬다.

유리수의 덧셈군 $\mathbb{Q}$는 위상군을 이루며, 이는 리 군이 아니다.

모든 위상환은 덧셈군으로서 위상군을 이룬다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

같이 보기

• 리 군
• 대수군
• 위상환

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용