프레셰 공간

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 함수해석학에서 프레셰 공간(Fréchet空間, 틀:Llang)은 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간이다. 바나흐 공간의 일반화이다.

정의

프레셰 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.

• 프레셰 공간은 특별한 완비 거리 공간의 구조를 가질 수 있는 국소 볼록 공간이다.
• 프레셰 공간은 그 위상이 특별한 반노름들이 족으로 유도될 수 있는 위상 벡터 공간이다.

첫 정의는 더 간단하며 직관적이지만, 실제 정리들을 증명하기 위해서는 둘째 정의가 더 유용하다.

거리 함수를 통한 정의

다음 조건을 만족시키는 국소 볼록 공간 $X$를 프레셰 공간이라고 한다.

• $X$의 위상은 평행 이동 불변(translation-invariant) 거리 함수로부터 유도될 수 있다. 또한, 이 거리 함수에 대하여 $X$는 완비 거리 공간이다.

이 정의에서, 거리 함수 자체는 프레셰 공간을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다.

반노름을 통한 정의

실수 벡터 공간 $X$ 위에, 반노름들의 집합

$\Vert \cdot {\Vert }_i:X\to [0,\mathrm{\infty })(i\in I)$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 기저 $ℬ$로서 $X$를 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다.

$ℬ=\{\bigcap A:A\subseteq 𝒮,|A|<{\mathrm{\aleph }}_0\}$

$𝒮=\{\{x\in X:\Vert x-y{\Vert }_i<ϵ\}:ϵ\in {ℝ}^{+},y\in X,i\in I\}$

이 반노름 집합에 대하여 다음과 같은 세 조건들을 고려할 수 있다.

• ㈎ $I$로 유도되는 위상 공간은 하우스도르프 공간이다. 즉, 임의의 $x\in X$에 대하여, 만약 $\mathrm{\forall }i\in I:\Vert x{\Vert }_i=0$이라면, $x=0$이다.
• ㈏ $I$는 가산 집합이다.
• ㈐ $I$로 유도되는 위상에서, 모든 코시 열이 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq X$에 대하여, 만약 $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\forall }i\in I\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }m,n\ge N:\Vert x_m-x_n{\Vert }_i<ϵ$이라면, $\mathrm{\exists }x\in X\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\forall }i\in I\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\ge N:\Vert x_n-x{\Vert }_i<ϵ$이다.

만약 위상 벡터 공간 $X$의 위상이 ㈎를 만족시키는 반노름 집합으로 유도될 수 있다면, $X$는 하우스도르프 국소 볼록 공간이다. 만약 $X$의 위상이 ㈎·㈏·㈐를 모두 만족시키는 반노름 집합으로 유도될 수 있다면, $X$를 프레셰 공간이라고 한다.

프레셰 공간은 오직 위상 벡터 공간의 구조만 갖추고 있고, 반노름을 정의하는 데이터를 갖지 않는다. 즉, 프레셰 공간은 그 위상이 일련의 반노름들로 유도될 수 있는 위상 벡터 공간이지만, 일련의 반노름을 갖추지는 않는다.

정의 사이의 관계

프레셰 공간 $X$의 위상을 정의하는 가산 개의 반노름의 열 $\Vert -{\Vert }_{k\in \mathbb{N}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$ 위에 다음과 같은 평행 이동 불변 완비 거리 함수를 줄 수 있다.

$d(x,y)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}\frac{\Vert x-y{\Vert }_k}{1+\Vert x-y{\Vert }_k}(\mathrm{\forall }x,y\in X)$

이는 원래 반노름의 열과 같은 위상을 유도하며, 정의에 따라 자명하게 평행 이동 불변이다. 위 공식은 다음과 같은 단계로 유도되었다.

1. 함수 $a\mapsto a/(1+a)$는 구간 $[0,\mathrm{\infty })$를 $[0,1)$에 전단사로 대응시키며, 순서를 보존한다.
2. 따라서, 각 반노름들에 위 연산을 취하여, $d_k(x,y)=\Vert x-y{\Vert }_k/(1+\Vert x-y{\Vert }_k)\in [0,1)$을 정의한다.
3. 이 반노름들을 모두 더하면, 반노름 집합과 같은 위상을 유도하는 거리 함수를 구성할 수 있다. 이 경우, 합이 항상 수렴하게 하기 위하여, 계수 $2^{-k}$를 삽입한다.

성질

프레셰 공간은 바나흐 공간의 일반화이다. 바나흐 공간은 노름을 갖추지만, 프레셰 공간은 반면 거리 공간 또는 반노름의 구조를 줄 수 있으나 노름을 갖출 필요는 없다. 모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이지만 그 역은 성립하지 않는다.

프레셰 공간의 경우 함수해석학의 주요 정리들이 성립한다. 예를 들어, 한-바나흐 정리, 열린 사상 정리, 균등 유계성 원리 등이 성립한다. 다만, 프레셰 공간에서는 (바나흐 공간과 달리) 역함수 정리가 일반적으로 성립하지 않는다.

예

모든 바나흐 공간은 (자명하게) 프레셰 공간이다. 즉, 이 경우 하나의 (반)노름으로 위상이 정의된다.

매끄러운 함수 공간

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$

또한, $M$ 속에 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 $(K_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$이 존재한다고 하자.

$M=K_0\cup K_1\cup K_2\cup \cdots$

그렇다면, $l\in \{0,1,\dots ,\mathrm{\infty }\}$에 대하여, $l$번 미분 가능한 매끄러운 단면의 집합

${\mathrm{\Gamma }}^l(E)$

은 실수 프레셰 공간을 이룬다.

구체적으로, 다음의 데이터를 임의로 고르자.

• $E$의 벡터 다발 접속 $\mathrm{\nabla }$
• $M$의 리만 계량 $g$
• $E$의 양의 정부호 계량 $\eta$

그렇다면, ${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)$ 위에 다음과 같은 반노름들을 줄 수 있다.

${(\Vert s{\Vert }_{n,k})}^2=\underset{y\in K_n}{\sup }{\eta }_{ab}{g}^{i_1{j}_1}{g}^{i_2{j}_2}\cdots g^{i_k{j}_k}({\mathrm{\nabla }}_{i_1}{\mathrm{\nabla }}_{i_2}\cdots {\mathrm{\nabla }}_{i_n}{s}^a)({\mathrm{\nabla }}_{j_1}{\mathrm{\nabla }}_{j_2}\cdots {\mathrm{\nabla }}_{j_n}{s}^b)\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},k\in \mathbb{N}$

이를 통해 ${\mathrm{\Gamma }}^l(E)$는 프레셰 공간을 이룬다. 또한, 그 프레셰 공간 구조는 위에서 임의로 고른 데이터에 의존하지 않는다.

특히, 만약 $(M,g)$이 완비 리만 다양체일 경우, 임의의 점 $x\in M$에 대하여 다음과 같이 콤팩트 집합의 열을 고를 수 있다.

$K(x,n)=\{y\in M:d_g(x,y)\le n\}(n\in \mathbb{N})$

여기서 $d_g:M\times M\to [0,\mathrm{\infty })$는 리만 계량 $g$로 유도되는 거리 함수이다.

특히, 만약 $E$가 자명한 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,{ℝ}^n)$은 프레셰 공간이다.

정칙 함수 공간

복소평면 위의 정칙 함수 $f:ℂ\to ℂ$의 집합 위에 다음과 같은 반노름을 부여하자.

$\Vert f{\Vert }_n=\underset{|z|\le n}{\sup }|f(z)|$

그렇다면, 이는 프레셰 공간을 이룬다.

수열 공간

$B$가 바나흐 공간이라고 하자. 모든 $B$ 값의 수열의 공간

$B^{\mathbb{N}}$

위에 다음과 같은 반노름들을 부여하면, 이는 프레셰 공간을 이룬다.

$\Vert a{\Vert }_n=\Vert a_n{\Vert }_B$

이 위상 벡터 공간에서, 수렴은 성분별 수렴이다.

역함수 정리의 실패

매끄러운 함수들의 프레셰 공간

$X={ℂ}^{\mathrm{\infty }}(ℝ,ℝ)$

을 생각하자. 이 경우, 다음과 같은 함수를 생각할 수 있다.

$T:X\to X$

$T:f\mapsto \exp \circ f$

이 경우, 임의의 $f\in X$에서,

$\mathrm{D}T{|}_f:X\to X$

$\mathrm{D}T{|}_f:g\mapsto \underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{\exp (f+ϵg)-\exp (f)}{ϵ}=\exp (f)g$

이다. 임의의 $f\in X$ 및 $x\in ℝ$에 대하여 $\exp (f(x))\ne 0$이므로, $T$는 모든 $f\in X$에서 미분 가능 함수이며, 그 미분은 가역 선형 변환이다.

$T$의 치역은 다음과 같이, 치역이 양의 실수로만 구성되는 매끄러운 함수들의 집합이다.

$\mathrm{im}T=\{f\in X:\mathrm{\forall }x\in ℝ:f(x)>0\}$

그런데 $X$의 기저는

$B_{f,n,N,ϵ}=\{g\in X:\underset{k\le N}{\max }\underset{-n\le x\le n}{\max }|f^{(k)}(x)-g^{(k)}(x)|<ϵ\}(ϵ\in {ℝ}^{+},f\in X,n,N\in \mathbb{N})$

와 같은 꼴의 집합들로 구성되므로, $X$의 열린집합 가운데 $T$의 치역의 부분 집합인 것은 공집합 밖에 없다.

역사

모리스 르네 프레셰의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용