평탄 주접속

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 평탄 주접속(平坦主接續, 틀:Llang)은 곡률이 0인 주접속이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$
• $G$-매끄러운 주다발 $P\twoheadrightarrow M$

그렇다면, $P$의 주접속

$A\in {\mathrm{\Omega }}^1(P;𝔤)$

에 대하여, 곡률

$F\in {\mathrm{\Omega }}^2(P;𝔤)$

을 정의할 수 있다. 만약 $F=0$이라면, $A$를 $P$의 평탄 주접속이라고 한다.

제르브의 경우

보다 일반적으로, 이러한 개념은 ∞-주다발/제르브에 대하여 일반화될 수 있다. 편의상, ∞-리 군 대신 그 국소 형태인 L∞-대수를 사용하자. (이는 기본군을 잊어 범피복군을 취하는 것에 해당한다.)

구체적으로, 매끄러운 다양체 $M$과 L∞-대수 $𝔤$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 $𝔤$ 값의 1차 미분 형식의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 단순히 실수 미분 등급 대수의 준동형

$\mathrm{W}(𝔤)\to \mathrm{\Omega }(M)$

이다 (정의역은 $𝔤$의 베유 대수, 공역은 $M$의 미분 형식의 대수).

이 경우, 매끄러운 다양체 위의 $𝔤$-접속은 다음과 같은 가환 그림으로 정의된다.

$\begin{array}{ccc}\mathrm{inv}(𝔤)& \to & \mathrm{\Omega }(M)\\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathrm{W}(𝔤)& \to & \mathrm{\Omega }(M\times {\mathrm{△}}^1)\\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathrm{CE}(𝔤)& \to & {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\perp }}(M\times {\mathrm{△}}^1)\end{array}$

여기서

• ${\mathrm{△}}^1$은 1차원 단체에 해당한다. 즉, $\mathrm{\Omega }(M\times {\mathrm{△}}^1)$은 $\mathrm{\Omega }(M){\otimes }_{ℝ}ℝ[s,\mathrm{d}s]$이며, $ℝ[s,\mathrm{d}s]=\mathrm{\Omega }({\mathrm{△}}^1)$은 하나의 0차 생성원 $s$로 생성되는 자유 가환 미분 등급 대수이다.
• ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{vert}}(M\times {\mathrm{△}}^1)$는 $\mathrm{\Omega }(M\times {\mathrm{△}}^1)$ 속의, $\mathrm{d}t$로 생성되는 아이디얼이다.
• 사상 ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\perp }}(M\times {\mathrm{△}}^1)\to \mathrm{\Omega }(M)$은 포함 사상이다.
• $\mathrm{inv}(𝔤)$와 $\mathrm{W}(𝔤)$와 $\mathrm{CE}(𝔤)$는 각각 L∞-대수 $𝔤$의 불변 다항식(으로 생성되는, 모든 미분이 0인 자유 실수 가환 결합 대수) · 베유 대수 · 슈발레-에일렌베르크 대수이며, $\mathrm{W}(𝔤)\to \mathrm{CE}(𝔤)$은 베유 대수의 추가 생성원들을 0으로 보내는 몫 준동형이다.

이 가환 그림의, 맨 위의 수평 사상은 게이지 불변량을, 가운데의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜을, 맨 아래의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜의 게이지 변환을 각각 나타낸다.

이 가운데, 평탄 $𝔤$-주접속은 모든 게이지 불변량이 0이 되는 경우이다. 즉, 이 경우 (완전열이 아닐 수 있는) 공사슬 복합체

$\mathrm{inv}(𝔤)\to \mathrm{W}(𝔤)\to \mathrm{\Omega }(M\times {\mathrm{△}}^1)$

가 존재한다.

성질

평탄 주접속 모듈러스 공간 위의 추가 구조

만약 밑공간 $M$ 위에 복소구조나 심플렉틱 구조와 같은 추가 기하학적 구조가 존재한다면, 그 위의 평탄 주접속 모듈러스 공간은 이들 구조를 상속받을 수 있다.

복소구조

만약 $M$에 복소구조

$J_M:\mathrm{T}M\to \mathrm{T}M$

가 존재한다고 하면, $ℳ(\mathrm{\Sigma })$ 위에도 역시 다음과 같은 복소구조가 존재한다. 임의의 $\delta A\in T_Aℳ(\mathrm{\Sigma })$를 ${\mathrm{\Omega }}^1(\mathrm{\Sigma },𝔤)$의 원소로 나타내면,

$J:{\mathrm{T}}_Aℳ(\mathrm{\Sigma })\to {\mathrm{T}}_Aℳ(\mathrm{\Sigma })$

$[J(\delta A){]}^j=(J_M{)}_i{}^j(\delta A{)}_i$

여기서, 우변의 $J_i{}^j$는 $M$의 복소구조다.

심플렉틱 구조

$G$의 리 대수가 불변 양의 정부호 이차 형식 $K(-,-)$을 갖춘 가약 리 대수라고 하자. (반단순 리 대수의 경우 이는 킬링 형식 $K(AB)=\mathrm{tr}(AB)$의 스칼라배다.)

만약 $M$에 심플렉틱 구조

$\omega \in {\mathrm{\Omega }}^2(M)$

가 주어졌다고 하면, 평탄 주접속의 모듈라이 공간 $ℳ(M;G)$ 역시 심플렉틱 구조를 가진다.$ℳ(\mathrm{\Sigma })$는 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다.틀:Rp 구체적으로, 임의의 $ℳ$의 접공간의 원소 ${\delta }_{1}A,{\delta }_{2}A\in T_Aℳ(\mathrm{\Sigma })$가 주어졌다고 하자. 이들을 $𝔤$

$\omega (\delta A_1,\delta A_2)=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }{\omega }^{ij}{K}_{ab}{\delta }_1{A}_i^a\wedge {\delta }_2{A}_j^a$

로 정의할 수 있다. 평탄성에 의하여 이는 게이지 불변임을 보일 수 있다.

만약 $M$이 켈러 다양체이라면, $ℳ(M,G)$는 심플렉틱 구조와 복소구조를 가지며, 이 둘은 호환되어 켈러 구조를 이룬다. 특히, $M$이 리만 곡면일 때 이 경우가 해당한다.

반단순 리 군의 경우

$G$가 콤팩트 반단순 리 군이라고 하자. 콤팩트 곡면 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 평탄 $G$-주접속들의 게이지 변환에 대한 동치류들의 모듈러스 공간은 대수학적으로

$ℳ(\mathrm{\Sigma })\cong \mathrm{hom}({\pi }_1(\mathrm{\Sigma }),G)/G$

이다. 여기서 ${\pi }_1(\mathrm{\Sigma })$는 $\mathrm{\Sigma }$의 기본군이고, $\mathrm{hom}(\cdot ,\cdot )$은 군 준동형들의 공간이며, $/G$는 동치관계 $\varphi \sim g\varphi g^{-1}$에 대한 동치류를 취하는 것이다. 예를 들어, $G$가 아벨 군이면

$ℳ(\mathrm{\Sigma })\cong \mathrm{hom}({\pi }_1(\mathrm{\Sigma }),G)\cong G^{2g}$

이다. 여기서 $g$는 $\mathrm{\Sigma }$의 곡면 종수이다. 반면, $G$가 콤팩트 반단순 리 군인 경우, $ℳ$은 복잡한 위상을 가진다.

곡면 $\mathrm{\Sigma }$의 기본군은 다음과 같이 표시된다.

${\pi }_1(\mathrm{\Sigma })=⟨a_1,b_1,\dots ,a_g,b_g|a_1{b}_1{a}_1^{-1}{b}_1^{-1}\cdots a_g{b}_g{a}_g^{-1}{b}_g^{-1}⟩$

따라서, $\mathrm{hom}({\pi }_1(\mathrm{\Sigma }),G)$의 한 원소는 ${\pi }_1(\mathrm{\Sigma })$의 생성원 $\{a_i,b_i{\}}_{i=1,\dots ,g}$의 각 원소의 상을 지정하여 나타낼 수 있다. 이는 $2g(\dim G)$개의 좌표가 필요하다. 물론, 여기에 $\varphi (a_1)\varphi (b_1)\varphi (a_1{)}^{-1}\varphi (b_1{)}^{-1}\cdots =1$은 $\dim G$개의 제약을 가하고, 또한 $G$의 켤레 작용 $\varphi \sim g\varphi g^{-1}$ 또한 차원을 $\dim G$만큼 축소시키므로, 모듈라이 공간의 차원은

$\dim ℳ=-\chi (\mathrm{\Sigma })\cdot \dim G=(2g-2)\cdot \dim G$

이다.틀:Rp 여기서 $\chi (\mathrm{\Sigma })=2-2g$는 $\mathrm{\Sigma }$의 오일러 지표다.

분류

평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 홀로노미에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로, $M$이 연결 공간일 경우, 임의의 점 $x\in M$에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 다음과 같은 군 준동형을 홀로노미(윌슨 고리)로서 유도한다.

${\mathrm{\pi }}_1(M,x)\to G$

게이지 변환에 따라서, $M$ 위의 평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 몫공간

$ℳ=\frac{\mathrm{hom}({\pi }_1(M,x),G)}{G}$

이다. 여기서 $G$의 작용은 다음과 같은 공액류 작용이다.

$g\cdot \varphi =([\gamma ]\mapsto [t\mapsto g\gamma (t{)}^{-1}])$

평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다.

특히, 만약 $G$가 아벨 군일 경우 이는 단순히 $ℳ=\mathrm{hom}({\pi }_1(M,x))$이며, 만약 $M={𝕋}^n$이 원환면일 경우 이는 $ℳ=G^n$이다.

예

단일 연결 공간

연결 단일 연결 매끄러운 다양체 $M$을 생각하자. 그 위의 $G$-주다발은 (동형 아래) 유일하며, 그 속의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 한원소 공간이다.

특히, 구 $\mathrm{\Sigma }=S^2$의 경우, 이는 (자명한 켈러 다양체 구조를 갖춘) 한원소 공간

$ℳ(S^2;G)=\{\bullet \}$

이다.

원환면

원환면 $\mathrm{\Sigma }={𝕋}^2={𝕊}^1\times {𝕊}^1$의 경우, 반단순 리 군 $G$에 대하여

$ℳ({𝕋}^2;G)=(C(G)\times C(G))/\mathrm{Weyl}(G)$

이다. 여기서 $C(G)\cong U(1{)}^{\mathrm{rank}(G)}$는 $G$의 카르탕 부분군(최대 아벨 부분군)이며, $\mathrm{Weyl}(G)$는 $C(G)$에 작용하는 바일 군이다.

원환면 위의 U(N') 및 GL(N;ℂ) 주접속

${𝕋}^n$ 위의 $\mathrm{U}(N)$ 주다발의 평탄 주접속을 생각하자. 이 경우, $n$개의 가환 홀로노미들은 $n$개의 서로 가환하는 $N\times N$ 유니터리 행렬

$M_1,\dots ,M_n$

을 정의한다. 이들은 가환 행렬족이므로, 이들을 동시에 대각화하여

$M_i=\mathrm{diag}({\lambda }_{i,1},\dots ,{\lambda }_{i,N})$

${\lambda }_{i,j}\in \{z\in ℂ:|z|=1\}$

로 놓을 수 있다. 이제

${\overrightarrow{\lambda }}_j=({\lambda }_{1,j},\dots ,{\lambda }_{n,j})$

로 놓으면, 잉여 게이지 변환(바일 군 $\mathrm{Weyl}(\mathrm{U}(N))=\mathrm{Sym}(N)$의 작용)은 ${\overrightarrow{\lambda }}_1,\dots ,{\overrightarrow{\lambda }}_N$ 위에 순열로 작용한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은, 원환면 위의 짜임새 공간으로 주어진다.

$ℳ({𝕋}^n;\mathrm{U}(N))={\mathrm{Conf}}^N({𝕋}^n)$

$G=\mathrm{U}(N)$ 대신 $G=\mathrm{GL}(N;ℂ)$의 경우도 마찬가지이지만, 이 경우 ${\lambda }_{i,j}\in \{z\in ℂ:|z|=1\}$ 대신

${\lambda }_{i,j}\in {ℂ}^{\times }=ℂ\setminus \{0\}$

이다. 즉, 이 경우 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은 짜임새 공간이다.

$ℳ({𝕋}^n;\mathrm{U}(N))={\mathrm{Conf}}^N(({ℂ}^{\times }{)}^{\times n})$

원환면 위의 U(N') 및 SL(N;ℂ) 주접속

$\mathrm{U}(N)$의 경우와 마찬가지로, $G=\mathrm{SU}(N)$의 경우, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 (${𝕋}^n$의 아벨 군 구조에 대한) 합이 0인, ${𝕋}^n$ 위의 $N$개의 점들에 대한 짜임새 공간이다.

$ℳ({𝕋}^n;\mathrm{SU}(N))=\frac{\{({\overrightarrow{\lambda }}_1,\dots ,{\overrightarrow{\lambda }}_N)\in ({𝕋}^n{)}^{\times N}:\sum _{i=1}^N{\overrightarrow{\lambda }}_i=0\}}{\mathrm{Sym}(N)}$

특히, $M={𝕋}^2$일 때, ${𝕋}^2$ 위에 타원 곡선의 구조를 부여하면, 이 $N$개의 점들은 ${𝕋}^2$ 위의, 차수 $N$의 인자를 정의하며, 이들은 $M$ 위의, 차수 $N$의 복소수 선다발 $L\twoheadrightarrow M$의 단면의 사영 동치류와 일대일 대응한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 복소수 사영 공간

$ℳ({𝕋}^2;\mathrm{SU}(N))=\mathbb{P}({\mathrm{H}}^0(L))$

이다. 리만-로흐 정리에 의하여, $L$의 차수가 $N$이므로, 그 차원은

${\dim }_{ℂ}{\mathrm{H}}^0(L)=N-g({𝕋}^2)+1=N$

이다. 즉,

$ℳ({𝕋}^2;\mathrm{SU}(N))=\mathrm{Proj}({\mathrm{H}}^0(L))={ℂ\mathrm{P}}^{N-1}$

이다.

$\mathrm{SL}(N;ℂ)$의 경우도 마찬가지지만, 덧셈 아벨 군 $\mathrm{U}(1)$ 대신 곱셈 아벨 군 ${ℂ}^{\times }$가 들어가게 된다.

$ℳ({𝕋}^n;\mathrm{SL}(N;ℂ))=\frac{\{({\overrightarrow{\lambda }}_1,\dots ,{\overrightarrow{\lambda }}_N)\in (({ℂ}^{\times }{)}^n{)}^{\times N}:\prod _{j=1}^N{\lambda }_{i,j}=0\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}\}}{\mathrm{Sym}(N)}$

응용

물리학에서, 리만 곡면 위의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 천-사이먼스 이론의 위상 공간으로서 등장한다.

외부 링크

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