군의 작용

군론에서 군의 작용(群의作用, 틀:Llang)은 어떤 군으로부터, 어떤 집합의 대칭군으로 가는 군 준동형이다. 대략, 어떤 공간 위에 대칭군의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.

정의

모노이드 $M$의, 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용(틀:Llang)은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수 $M\times X\to X$로 정의할 수 있으며, 또 특정한 모노이드 준동형으로, 또는 함자로도 생각할 수 있다. 모노이드 $M$의 작용을 갖춘 집합을 $M$-집합(틀:Llang)이라고 한다. 두 $M$-집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 등변 함수(等變函數, 틀:Llang)라고 한다. $M$-집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 범주가 존재하며, 이를 $M\text{-Set}$ 또는 ${\mathrm{Set}}^M$으로 쓴다.

모든 군은 모노이드를 이루며, 군의 작용(틀:Llang)은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, 반군의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군과 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드 $M$의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 항등 함수가 아니게 작용할 수 있다.)

함수를 통한 정의

모노이드 $M$의, 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용(틀:Llang)은 다음 조건들을 만족시키는 함수 $\cdot :M\times X\to X$이다.

• (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 $x\in X$에 대하여, $1_M\cdot x=x$. 여기서 $1_M\in M$은 $M$의 항등원이다.
• (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의 $m,n\in M$ 및 $x\in X$에 대하여, $(mn)\cdot x=m\cdot (n\cdot x)$

모노이드 $M$의, 집합 $X$ 위의 오른쪽 작용(틀:Llang)은 다음 조건들을 만족시키는 함수 $\cdot :X\times M\to X$이다.

• (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 $x\in X$에 대하여, $x\cdot 1_M=x$. 여기서 $1_M\in M$은 $M$의 항등원이다.
• (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의 $m,n\in M$ 및 $x\in X$에 대하여, $x\cdot (mn)=(x\cdot m)\cdot n$

모노이드 $M$의 작용을 갖춘 두 집합 $X$, $Y$이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 $f:X\to Y$는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

$\mathrm{\forall }x\in X,m\in M:m\cdot f(x)=f(m\cdot x)$

여기서 좌변은 $Y$ 위의 작용이고, 우변은 $X$ 위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

$\begin{array}{ccc}M\times X& \to & X\\ M\times f\downarrow & & \downarrow f\\ M\times Y& \to & Y\end{array}$

준동형을 통한 정의

추상적으로, 모노이드 $M$의, 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용은 $M$에서 $X$ 위의 자기 함수들의 모노이드 $\mathrm{End}X$로 가는 모노이드 준동형

$\varphi :M\to \mathrm{End}X$

이며, $M$의 $X$ 위의 오른쪽 작용은 반대 모노이드 $M^{\mathrm{op}}$에서 $\mathrm{End}X$로 가는 모노이드 준동형

$M^{\mathrm{op}}\to \mathrm{End}X$

이다. 만약 $G$가 군일 경우, 왼쪽 작용은 $X$의 대칭군 (=자기 동형군) $\mathrm{Sym}X$으로 가는 군 준동형

$G\to \mathrm{Sym}X$

을 이루며, 오른쪽 작용은 반대군에서의 군 준동형

$G^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Sym}X$

을 이룬다.

모노이드 $M$의 작용을 갖춘 두 집합

${\varphi }_X:M\to \mathrm{End}X$

${\varphi }_Y:M\to \mathrm{End}Y$

이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 $f:X\to Y$는 다음 그림을 가환하게 만드는 함수 $f:X\to Y$이다.

$\begin{array}{ccc}M& \stackrel{{\varphi }_X}{\to }& \mathrm{End}X\\ {\varphi }_Y\downarrow & & \downarrow f\circ \\ \mathrm{End}Y& \underset{\circ f}{\overset{}{\to }}& \mathrm{hom}(X,Y)\end{array}$

범주론적 정의

범주론적으로, $M$의 작용은 $M$을 하나의 대상을 갖는 작은 범주로 간주하였을 때, 함자

$F:M\to \mathrm{Set}$

와 동치이다. 이 경우, $M$이 작용하는 집합은 범주 $M$의 유일한 대상 ${\bullet }_M$의 $F$에 대한 상 $F({\bullet }_M)\in \mathrm{Set}$이며, $m\in M$의 작용은 $F$에 대한 상 $F(m):F({\bullet }_M)\to F({\bullet }_M)$이다.

두 $M$-집합

$F:M\to \mathrm{Set}$

$G:M\to \mathrm{Set}$

사이의 등변 함수 $F\Rightarrow G$는 두 함자 사이의 자연 변환과 동치이다. 구체적으로, 자연 변환 $\eta :F\Rightarrow G$에 대응하는 등변 함수는 $\eta$의 성분

${\eta }_{{\bullet }_M}:F({\bullet }_M)\to G({\bullet }_M)$

이다.

따라서, $M$-집합의 범주 ${\mathrm{Set}}^M$은 사실 (작은 범주로 간주한) $M$에서 $\mathrm{Set}$로 가는 함자 범주와 동치이다.

궤도와 안정자군

군 $G$가 집합 $X$에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. $x\in X$의 궤도(軌道, 틀:Llang) $G\cdot x$는 다음과 같다.

$G\cdot x=\{g\cdot x:g\in G\}$

궤도는 $G$ 위의 동치 관계

$x\sim y⟺\mathrm{\exists }g\in G:g\cdot x=y$

의 동치류와 같으며, $X$는 궤도들로 분할된다.

임의의 $x\in X$의 안정자군(安定子群, 틀:Llang) $G_x$는 다음과 같다.

$G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\}$

즉, 안정자군 $G_x$는 $G$의 원소 중 $x$를 고정점으로 가지는 모든 원소들의 집합이다.

작용 준군

모노이드 $M$이 집합 $X$ 위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 작은 범주 $𝒞$를 정의할 수 있다.

• $𝒞$의 대상은 $X$의 원소이다.
• $x,y\in X$에 대하여, ${\mathrm{hom}}_{𝒞}(x,y)=\{m\in M:mx=y\}$이다.
• $x\in X$ 위의 항등 사상은 $1_M\in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(x,x)$이다.

이를 작용 범주(作用範疇, 틀:Llang, 틀:Lang)라고 한다.틀:Rp 만약 $M$이 군이라면, $X$ 위의 작용 범주는 준군을 이룬다. 이를 작용 준군(作用準群, 틀:Llang, 틀:Lang)이라고 한다.

작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.

성질

군의 왼쪽 작용 $\cdot :G\times X\to X$이 주어졌을 때,

• $g\in G$에 대하여 $g\cdot :X\to X$는 전단사 함수이다.
• (역원은 역함수) $g\in G$에 대하여 $g^{-1}\cdot =(g\cdot {)}^{-1}$이다. 여기서 $(g\cdot {)}^{-1}$는 전단사 함수의 역함수이다.

왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계

임의의 모노이드 $M$에 대하여, 왼쪽 $M$-작용은 오른쪽 $M^{\mathrm{op}}$-작용과 같다. 여기서 $M^{\mathrm{op}}$은 $M$의 반대 모노이드이다. 특히, 가환 모노이드는 스스로의 반대 모노이드와 표준적으로 동형이므로, 가환 모노이드의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.

모든 군 $G$는 그 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형

${}^{-1}:G\to G^{\mathrm{op}}$

이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽 $G$-작용을 왼쪽 $G$-작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 $G$-작용 $r:X\times G\to X$에 대하여,

$\ell :G\times X\to X$

$\ell (g,x)=r(x,g^{-1})$

로 정의한다면, $\ell$은 왼쪽 $G$-작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 $G$-작용 $\ell :G\times X\to X$가 주어졌을 때

$r:X\times G\to X$

$r(x,g)=\ell (g^{-1},x)$

는 오른쪽 $G$-작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)

궤도-안정자군 정리

안정자군 $G_x$는 G의 부분군이므로 그 왼쪽 잉여류를 생각할 수 있다. 궤도-안정자군 정리(軌道-安定子群定理, 틀:Llang)에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.

• $G\cdot x$의 원소 $g\cdot x$를 왼쪽 잉여류 $g{G}_x$로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의 $g,h\in G$에 대하여, $g\cdot x=h\cdot x$라면 $g{G}_x=h{G}_x$이다.
• 이 함수는 전단사 함수이다. 즉, 임의의 $g,h\in G$에 대하여, $g{G}_x=h{G}_x$라면 $g\cdot x=h\cdot x$이다.

특히, 만약 $G$가 유한군이면, 라그랑주 정리에 의해 다음이 성립한다.

$|G\cdot x|=[G:G_x]=|G|/|G_x|$

보편대수학적 성질

모노이드 $M$에 대하여, $M$-집합은 $M$의 각 원소 $m\in M$에 대하여 1항 연산 $m\cdot$을 가지며, 대수적 관계

$1\cdot x=x\mathrm{\forall }x\in X$

$m\cdot (n\cdot x)=(mn)\cdot x\mathrm{\forall }x\in X$

를 만족시키는 대수 구조이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로, $M$-집합들은 대수 구조 다양체를 이룬다.

집합 $X$ 위의 자유 $M$-집합은 곱집합 $M\times X$이며, 그 위의 작용은

$m\cdot (n,x)=(mn,x)$

이다.

범주론적 성질

모노이드 $M$에 대하여, $M$-집합의 범주 ${\mathrm{Set}}^M$은 (작은 범주에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

${\mathrm{Set}}^M$의 시작 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합이다. ${\mathrm{Set}}^M$의 끝 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합이다. ${\mathrm{Set}}^M$의 ${\mathrm{Set}}^M$의 부분 대상 분류자 $R_M$은 $M$ 위의 오른쪽 모노이드 아이디얼들의 집합

$R_M=\{I\subseteq M:IM\subseteq I\}$

이다. 이 위의 $M$의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.

$M\times R_M\to R_M$

$(m,I)\mapsto mI$

망각 함자

$U:{\mathrm{Set}}^M\to \mathrm{Set}$

가 존재한다. 이는 왼쪽 수반 함자 $F$와 오른쪽 수반 함자 $G$를 갖는다.

$F⊣U⊣G$

왼쪽 수반 함자 $F$는 자유 대수 함자이다. 즉, 집합 $X$를 $M\times X$로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자 $G$는 집합 $X$를 함수들의 집합 $X^M$으로 대응시킨다. $M$의 $X^M$ 위의 작용은 다음과 같다.

$(m\cdot f)(n)=f(mn)$

종류

군 $G$가 집합 $X$ 위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다.

추이적 작용

군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n-추이적 작용(n-推移的作用, 틀:Llang)이라 한다.

• 임의의 서로 다른 원소들 $x_1,\dots ,x_n\in X$ 및 임의의 서로 다른 원소들 $y_1,\dots ,y_n\in X$에 대하여, $g\cdot x_k=y_k$ ($\mathrm{\forall }k\in \{1,\dots ,n\}$)인 $g\in G$가 존재한다.

만약 여기서 이러한 $g$가 유일하다면, 이를 n-정추이적 작용(n-正推移的作用, 틀:Llang)이라 한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n-정추이적 작용이라고 한다.

• 임의의 서로 다른 원소들 $x_1,\dots ,x_n\in X$ 및 임의의 서로 다른 원소들 $y_1,\dots ,y_n\in X$에 대하여, $g\cdot x_k=y_k$ ($\mathrm{\forall }k\in \{1,\dots ,n\}$)인 유일한 $g\in G$가 존재한다.

1-추이적 작용은 단순히 추이적 작용(推移的作用, 틀:Llang)이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 정추이적 작용(正推移的作用, 틀:Llang) 또는 정칙 작용(正則作用, 틀:Llang)이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 동치이며, 아벨 군의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.

충실한 작용과 자유 작용

군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 충실한 작용(忠實-作用, 틀:Llang) 또는 효과적 작용(效果的作用, 틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 $g,h\in G$에 대하여, 만약 임의의 $x\in X$에 대하여 $g\cdot x=h\cdot x$라면, $g=h$
• 임의의 $g\in G$에 대하여, 만약 임의의 $x\in X$에 대하여 $g\cdot x=x$라면, $g=1_G$
• 단사 군 준동형이다.

군의 작용에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 자유 작용(自由作用, 틀:Llang) 또는 반정칙 작용(半正則作用, 틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 $g,h\in G$에 대하여, 만약 $g\cdot x=h\cdot x$인 $x\in X$가 존재한다면, $g=h$
• 임의의 $g,h\in G$에 대하여, 만약 $g\cdot x=x$인 $x\in X$가 존재한다면, $g=1_G$

같이 보기

• 군의 표현
• 가군

외부 링크

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