리만-로흐 정리

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서 리만-로흐 정리(Riemann-Roch 定理, 틀:Llang)는 콤팩트 리만 곡면에 주어진 꼴의 특이점을 갖는 일차 독립 유리형 함수들의 개수에 대한 정리다.

정의

$M$이 콤팩트 리만 곡면이라고 하자. $M$ 위의 인자는 $M$의 점들에 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 즉, 인자 $D$는 다음과 같은 꼴이다.

$D=\sum _i{n}_i{x}_i$ ($x_i\in M$, $n_i\in \mathbb{Z}$)

인자의 차수(틀:Lang)는 다음과 같다.

$\mathrm{deg}\sum _i{n}_i{x}_i=\sum _i{n}_i$.

$\alpha$가 $M$ 위의 유리형 복소 미분 형식이라고 하자. (리만 곡면 위에서는 유리형 복소 미분 형식은 물론 0차 또는 1차이다.) $\alpha$는 극점과 영점(틀:Lang)들을 갖는다. 극들이 $p_i$이고, 그 차수가 각각 $-n(p_i)$라고 하자. 영점들이 $q_j$이고, 그 차수가 각각 $n(q_j)$라고 하자. 그렇다면 $\alpha$의 인자를 다음과 같이 정의한다.

$\mathrm{div}(\alpha )=\sum _{i}n(p_i)p_i+\sum _{j}n(q_j)q_j$.

유리형 함수(즉, 0차 유리형 복소 미분 형식)의 인자를 주인자(틀:Lang)라고 한다. 1차 유리형 복소 미분 형식의 인자를 표준 인자(틀:Lang)라고 한다.

인자 $D$에 대하여, $\mathrm{div}(f)+D$의 계수가 모두 음이 아닌 유리형 함수 $f$들의 복소 벡터 공간의 (복소) 차원을 $I(D)$라고 하자.

$D$가 $M$ 위의 인자이고, $K$가 표준 인자라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

$I(D)-I(K-D)=\mathrm{deg}D+\chi (M)/2$.

여기서 $\chi (M)$은 $M$의 오일러 지표이다. 이를 리만 곡면의 종수(genus) $g$로 쓰면

$I(D)-I(K-D)=\mathrm{deg}D-g+1$

이다.

선다발의 경우

인자(의 동치류)는 정칙 선다발에 대응하므로, 리만-로흐 정리를 선다발에 대하여 직접 나타낼 수 있다. 리만 곡면 $M$ 위에 정칙 선다발 $L$이 있다고 하자. 그렇다면 층 코호몰로지 ($L$ 계수 돌보 코호몰로지) ${\mathrm{H}}^0(M,𝒪(L))$ 및 ${\mathrm{H}}^1(M,𝒪(L))$을 생각할 수 있다. 코호몰로지의 차원을 $\dim {\mathrm{H}}^k=h^k$로 쓰자. 이렇게 하면, 리만-로흐 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\chi (M,L)=\dim {\mathrm{H}}^0(M,𝒪(L))-\dim {\mathrm{H}}^1(M,𝒪(L))=\mathrm{deg}L-g+1$

(여기서 $\chi (M,L)$은 $L$의 오일러 지표다.) 세르 쌍대성을 사용하여,

${\mathrm{H}}^1(M,𝒪(L){)}^{*}\cong {\mathrm{H}}^0(M,𝒪(L^{-1}\otimes K))$

따라서, $L$에 대응하는 인자류가 $[D]$라고 한다면

$h^0(M,𝒪(L))=I(D)$

$h^1(M,𝒪(L))=I(K-D)$

가 된다.

보다 일반적으로, 리만 곡면 $M$ 위의 (임의의 계수의) 정칙 벡터 다발 $E$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대하여 다음과 같은 리만-로흐 정리가 성립한다.

$\chi (M,E)=\dim {\mathrm{H}}^0(M,E)-\dim {\mathrm{H}}^1(M,E)=\mathrm{deg}E+(1-g)\mathrm{rk}E$

여기서

• $\mathrm{rk}E$는 $E$의 계수이다. (즉, 선다발의 경우 1이다.)
• 정칙 벡터 다발의 차수는 $\mathrm{deg}E=\mathrm{deg}(E^{\wedge \mathrm{rk}E})$이다. 여기서 $E^{\wedge \mathrm{rk}E}$는 $E$의 올별 최고차 외대수로 구성된 정칙 선다발이다.

표

$x$가 바이어슈트라스 점이 아니라고 하자. 그렇다면, 리만-로흐 정리에 따라 주어진 특이점들을 갖는 유리형 함수들의 차원 $I(D)$는 다음과 같다.

종수	$D=0$	$D=x$	$D=2x$	$D=3x$	$D=4x$	$D=5x$	…	$I(nx)$의 생성원 ($n\ge g$)
0 (리만 구)	1	2	3	4	5	6	…	$1,z^{-1},\dots ,z^{-n}$
1 (타원 곡선)	1	1	2	3	4	5	…	타원 함수 $\mathrm{\wp },\dots ,{\mathrm{\wp }}^{\lfloor n/2\rfloor },\mathrm{\wp }{\mathrm{\wp }}^{\prime },\dots ,{\mathrm{\wp }}^{\lfloor n-3\rfloor }{\mathrm{\wp }}^{\prime }$
2	1	1	1	2	3	4	…
3	1	1	1	1	2	3	…

$g\ge 2$이며 $\mathrm{deg}D\le g$인 경우, 특수한 점에서 $I(D)$가 위 표와 다른 값일 수 있다. 즉, 이러한 점에서는 $I(K-D)>g-\mathrm{deg}D$이다. 이를 바이어슈트라스 점이라고 한다. 예를 들어, $g=2$인 경우 $I(2x)=2$인 점이 정확히 6개 있다. 일반적으로, 주어진 종수 위에서의 바이어슈트라스 점들의 수는 유한하다.

예

리만-로흐 정리를 써서, 곡면 종수가 $g$인 콤팩트 리만 곡면의 표준 인자 $K$의 차수가 $\mathrm{deg}K=2g-2$임을 보일 수 있다.

1. 콤팩트 리만 곡면 위에서의 정칙함수는 상수함수밖에 없다. 즉, $I(0)=1$이다. 물론 $\mathrm{deg}(0)=0$이다.
2. $D=0$으로 놓자. 그렇다면 $1-I(K)=-g+1$이다. 즉, $I(K)=g$이다.
3. $D=K$로 놓자. 그렇다면 $I(K)-1=\mathrm{deg}K-g1$이다. 즉, $\mathrm{deg}K=2g-2$이다.

예를 들어, $g=0$인 경우인 리만 구 ${\mathbb{P}}^1$를 생각하자. 이 경우, 각 차수 $k\in \mathbb{Z}$에 대하여 정확히 한 개의 선다발 동형류 $𝒪(k)$가 존재하며, 그 단면의 차원은

$\dim {\mathrm{H}}^0({\mathbb{P}}^1,𝒪(k))=\max \{k+1,0\}$

$\dim {\mathrm{H}}^0({\mathbb{P}}^1,𝒪(k))=\dim {\mathrm{H}}^0({\mathbb{P}}^1,𝒪(-2-k))=\max \{-k-1,0\}$

이다. 그 특별한 경우는 다음과 같다.

• 0차 선다발은 자명한 선다발이다. 이 경우, $\dim {\mathrm{H}}^1({\mathbb{P}}^1,𝒪(1))=1$이다. 이는 상수 함수 $f(z)=1$에 의하여 생성된다. (다시 말해, 리만 구 저체 위의 정칙 함수는 상수 함수 밖에 없다.)
• 2차 선다발은 정칙 접다발 $𝒪(2)\cong \mathrm{T}{\mathbb{P}}^1$이다. (예를 들어, 벡터장 $\partial /\partial z$는 $w=1/z$에서 $-w^2\partial /\partial w$가 된다.) 이 경우, $\dim {\mathrm{H}}^0({\mathbb{P}}^1,𝒪(2))=3$이며, 그 기저는 $\{\partial /\partial z,z\partial /\partial z,z^2\partial /\partial z\}$이다.
• −2차 선다발은 표준 선다발 $𝒪(-2)\cong {\mathrm{T}}^{*}{\mathbb{P}}^1$이다. (예를 들어, 복소수 미분 형식 $\mathrm{d}z$는 $w=1/z$에서 $-w^{-2}\mathrm{d}w$가 된다.) 이 경우, $\dim {\mathrm{H}}^0({\mathbb{P}}^1,𝒪(-2))=0$이다. 즉, 그 대역적 단면은 0 밖에 없다. 반면 $\dim {\mathrm{H}}^1({\mathbb{P}}^1,𝒪(-2))=1$이며, 돌보 코호몰로지에서 그 대표원은 푸비니-슈투디 계량 $(1+z\overline{z}{)}^{-2}\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}\overline{z}$로 주어진다.
• 1차 선다발은 스피너 다발이다. 그 단면 공간은 2차원이며, 그 기저는 $\{\sqrt{\partial /\partial z},z\sqrt{\partial /\partial z}\}$이다.

곡면 리만-로흐 정리

대수 곡면에 대해서도 리만-로흐 정리가 존재하며, 다음과 같다.틀:Rp 대수적으로 닫힌 체 $k$에 대한 비특이 대수 곡면 (2차원 비특이 완비(틀:Llang) 대수다양체) $X$ 위에 베유 인자 $D$가 존재한다고 하고, 그 (정칙) 오일러 지표를 $\chi (D)$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

$\chi (D)=1+p_{\text{a}}(X)+\frac{1}{2}D.(D-K(X))$

여기서 $K(X)$는 $X$의 표준 인자이고, $D.D^{\prime }$는 두 인자 사이의 교차수(틀:Llang)이며, $p_{\text{a}}$는 $X$의 산술종수이다.

일반화

곡선과 곡면에 대한 리만-로흐 정리는 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 일반화되며, 이 또한 아티야-싱어 지표 정리나 그로텐디크-리만-로흐 정리로 일반화된다.

역사

구스타프 로흐

곡선에 대한 리만-로흐 정리는 베른하르트 리만이 1857년 표준 인자 항 $I(K-D)$를 무시한, 부등식의 형태로 증명하였다. 리만의 제자였던 구스타프 로흐가 1865년 표준 인자 항을 삽입하여 등식으로 만들었다. 로흐는 이 정리를 24세에 증명하였는데, 불행히도 2년 뒤 결핵에 걸려 26세의 나이로 요절하였다.

곡면에 대한 리만-로흐 정리는 막스 뇌터가 1886년에, 페데리고 엔리퀘스가 1894년에 초기적인 형태로 증명하였고, 고전적인 형태는 귀도 카스텔누오보가 1896년에 증명하였다.

같이 보기

• 그로텐디크-리만-로흐 정리
• 히르체브루흐-리만-로흐 정리

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드