주접속

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 주접속(主接續, 틀:Llang)은 주다발 위에 정의되며, 그 군 작용과 호환되는 에레스만 접속이다. 이를 통해, 주다발 위에 평행 이동과 곡률을 정의할 수 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$. 그 실수 리 대수를 $𝔩𝔦𝔢(G)$라 하자.
• 매끄러운 주다발 $\pi :P\twoheadrightarrow M$

$P$ 위의 주접속의 개념은 여러 가지로 정의할 수 있다.

• 주접속은 특정한 두 조건을 만족시키는, 리 대수 $𝔩𝔦𝔢(G)$ 값의 1차 미분 형식 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(P;𝔩𝔦𝔢(G))$으로 정의할 수 있다.
• 주접속은 특정한 호환 조건을 만족시키는 에레스만 접속 $H\subseteq \mathrm{T}P$으로 정의할 수 있다.
• 주접속은 $\mathrm{T}M$ 위의 특정한 올다발의 특정한 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다.
• 주접속은 주다발의 국소 자명화에 대하여 각 조각 위의 $𝔩𝔦𝔢(G)$ 값의 1차 미분 형식들의 족으로 정의할 수 있다.

이 정의들은 모두 서로 동치이다.

미분 형식을 통한 정의

$P$의 주접속 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(P;𝔩𝔦𝔢(G))$는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는, $P$ 위의 $𝔩𝔦𝔢(G)$값을 가진 1차 미분 형식이다.

$\mathrm{Ad}(g)(\cdot g{)}^{*}\omega =\omega \mathrm{\forall }g\in G$틀:Rp

$\omega (X_{\xi })=\xi \mathrm{\forall }\xi \in 𝔩𝔦𝔢(G)$틀:Rp

여기서

• $(\cdot g):P\to P$는 군의 오른쪽 작용을 나타내는 매끄러운 함수 $h\mapsto h\cdot g$이다.
• $(\cdot g{)}^{*}\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(P;𝔩𝔦𝔢(G))$는 1차 미분 형식 $\omega$의, $(\cdot g)$에 대한 당김이다.
• $\mathrm{Ad}(g):𝔩𝔦𝔢(G)\to 𝔩𝔦𝔢(G)$는 $g\in G$의 딸림표현이다.
• $X_{\xi }\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}P)$는 $G$의, $P$ 위의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장이다.

에레스만 접속을 통한 정의

$P$의 에레스만 접속 $H\subseteq \mathrm{T}P$가 다음 조건을 만족시킨다면, $H$를 주접속이라고 한다.

$H_{p\cdot g}=(\mathrm{T}(\cdot g))(H_p)\mathrm{\forall }p\in P,g\in G$

여기서

• $(\cdot g)::P\to P$는 $g$의 $P$ 위의 오른쪽 작용이다.
• $\mathrm{T}(\cdot g):\mathrm{T}P\to \mathrm{T}P$는 위 매끄러운 함수의 미분이다.

미분 형식을 통한 정의에 따른 주접속 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(P;𝔩𝔦𝔢(G))=\mathrm{\Gamma }({\mathrm{T}}^{*}P\otimes 𝔩𝔦𝔢(G))$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 에레스만 접속은 다음과 같다. 우선, 임의의 $m\in M$에 대하여, $G$의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을

$X:𝔩𝔦𝔢(G)\to \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}P)$

$X:x\mapsto X_x$

로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로, $X$의 상은 $P$의 수직 벡터 다발 $\mathrm{V}P=\ker (\mathrm{T}\pi )\subseteq \mathrm{T}P$과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상

$P\times 𝔩𝔦𝔢(G)\to \mathrm{V}P$

를 정의한다. (좌변은 올이 $𝔩𝔦𝔢(G)$인 자명한 벡터 다발이다.) 따라서, $\omega$를 ${\mathrm{T}}^{*}P\otimes \mathrm{V}P$의 단면으로 여길 수 있으며, $\omega$는 벡터 다발 사상

$\omega :\mathrm{T}P\to \mathrm{V}P\subseteq \mathrm{T}P$

를 정의한다. 이는 멱등 함수이며 ($\omega \circ \omega =\omega$), 따라서 그 핵으로 완전히 명시된다. 그 핵 $\ker \omega \subseteq \mathrm{T}P$은 에레스만 접속이다.

벡터 다발을 통한 정의

딸림표현의 연관 벡터 다발틀:Rp

$\mathrm{ad}(P)=P{\times }_G𝔩𝔦𝔢(G)$

을 생각하자. 또한, $G$는 접다발 $\mathrm{T}P$ 위에 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 따라 몫공간 $\mathrm{T}P/G$를 정의할 수 있다. 그 차원은 $2(\dim M)+(\dim G)$이며, 또한

• 벡터장의 밂 ${\pi }_{*}:\mathrm{T}P/G\twoheadrightarrow \mathrm{T}M$는 매끄러운 올다발을 이룬다. (그러나 이는 일반적으로 벡터 다발이 아니다.)
• $\mathrm{T}P/G\twoheadrightarrow M$은 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

올다발 $\mathrm{T}P/G\twoheadrightarrow \mathrm{T}M$을 주접속 다발(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{T}P& \to & \mathrm{T}P/G& \to & \mathrm{T}M\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ P& \to & P/G& =& M\end{array}$

이는 다음과 같은 표준적인 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발들의 짧은 완전열을 이룬다.틀:Rp

$0\to \mathrm{ad}(P)\stackrel{\iota }{\to }\frac{\mathrm{T}P}{G}\stackrel{{\pi }_{*}}{\to }\mathrm{T}M\to 0$

$G$는 이 열 위에 작용하며, $\iota$와 ${\pi }_{*}$는 $G$의 작용 아래 불변이다.

이 경우, $P$의 주접속은 위 짧은 완전열의 분할이다. 즉, 아벨 범주의 분할 보조정리에 따라, 다음과 같은 두 데이터가 서로 동치이며, 이는 주접속의 데이터와 같다.

• $\iota :\mathrm{ad}(P)\to \mathrm{T}P/G$의 왼쪽 역사상인 $M$-매끄러운 벡터 다발 사상 $A:\mathrm{T}P/G\to \mathrm{ad}(P)$
• ${\pi }_{*}:\mathrm{T}P/G\twoheadrightarrow \mathrm{T}M$의 오른쪽 역사상인 $M$-매끄러운 벡터 다발 사상 $A:\mathrm{T}M\to \mathrm{T}P/G$틀:Rp

짧은 완전열의 성질에 따라, 두 주접속의 차는 매끄러운 벡터 다발 사상 $\mathrm{T}M\to \mathrm{ad}(P)$를 정의하며, 이는 벡터 값 미분 형식

${\mathrm{\Omega }}^1(M;\mathrm{ad}(P))$

의 원소와 같다. 즉, 주접속의 모듈라이 공간은 이 실수 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.

국소 자명화를 통한 정의

$\pi$를 자명화할 수 있게 충분히 섬세한 임의의 $M$의 열린 덮개 $(U_i{)}_{i\in I}$를 골랐다고 하자. 그렇다면, $P$의 주접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 $i\in I$에 대하여, 리 대수 값 1차 미분 형식 $A_i\in {\mathrm{\Omega }}^1(U_i;𝔩𝔦𝔢(G))$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $i,j\in I$에 대하여, 만약 $U_i\cap U_j\ne 0$이라면, 어떤 매끄러운 함수 $g_{ij}:U_i\cap U_j\to G$에 대하여, 다음이 성립해야 한다.

  $A_j=\mathrm{Ad}(g_{ij}{)}^{-1}{A}_i+g_{ij}^{-1}\mathrm{d}{g}_{ij}$

여기서

• $𝔩𝔦𝔢(G)$는 리 군에 대응되는 실수 리 대수이다.
• $\mathrm{Ad}:G\to \mathrm{GL}(𝔩𝔦𝔢(G))$는 리 군의, 스스로의 리 대수 위의 딸림표현이다.

같은 열린 덮개 $(U_i{)}_{i\in I}$ 위에 정의된 두 주접속 $(A_i{)}_{i\in I}$, $(A{\text{'}}_i{)}_{i\in I}$에 대하여, 만약 어떤 매끄러운 함수들의 족

$(g_i:U_i\to G{)}_{i\in I}$

에 대하여

$A{\text{'}}_i=\mathrm{Ad}(g_i{)}^{-1}{A}_i+g_i^{-1}\mathrm{d}{g}_i$

라면, $A$와 $A^{\prime }$을 같은 주접속으로 간주한다.

이러한 정의는 이론물리학에서 자주 쓰이며, 물리학에서 위와 같은 동치 관계를 게이지 변환이라고 한다.

이 정의는 다른 정의들과 동치이다. 구체적으로, 주접속을 $P$ 위에 정의된 1차 미분 형식 $A\in {\mathrm{\Omega }}^1(P;𝔩𝔦𝔢(G))$으로 정의하였다고 하자. 이 경우, 열린 덮개 $(U_i{)}_{i\in I}$에 대한 국소 자명화는 각 $i\in I$에 대한 매끄러운 단면 $s_i\in \mathrm{\Gamma }(U,P)$으로 주어진다. 이 경우,

$A_i=s_i^{*}A\in {\mathrm{\Omega }}^1(U_i;𝔩𝔦𝔢(G))$

로 놓으면 국소 자명화를 통한 정의를 얻는다. 이 과정에서, 만약 사용한 자명화를

$s{\text{'}}_i=s_i{g}_i$

와 같이 바꾸면

$A{\text{'}}_i=(s{\text{'}}_i{)}^{*}A=\mathrm{Ad}(g_i{)}^{-1}{A}_i+g_i^{-1}\mathrm{d}{g}_i$

가 되어, 같은 주접속을 얻는다.

성질

곡률

주접속 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(P;𝔩𝔦𝔢(G))$의 곡률(曲率, 틀:Llang) $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{\Omega }}^2(P;𝔩𝔦𝔢(G))$는 다음과 같다.

$\mathrm{\Omega }=d\omega +\frac{1}{2}[\omega \wedge \omega ]$

여기서 $[\cdot \wedge \cdot ]$는 리 괄호와 외적을 결합한 연산으로, $[\alpha \otimes x\wedge \beta \otimes y]=(\alpha \wedge \beta )\otimes [x,y]$와 같이 정의한다.

곡률은 벡터 값 미분 형식

$F\in {\mathrm{\Omega }}^2(M;\mathrm{ad}(P))$

를 정의하며,틀:Rp 이 데이터는 곡률의 개념과 동치이다.

곡률이 0인 주접속을 평탄 주접속이라고 한다.

분류

게이지 변환

틀:본문 다음과 같은 연관 다발 $\mathrm{Ad}(P)$를 생각하자.틀:Rp

$\mathrm{Ad}(P)=P{\times }_{G}G$

이는 $G$의, 스스로 위의 켤레 작용

$g\mapsto (h\mapsto gh{g}^{-1})$

에 대한, $P$의 연관 다발이다.

$\mathrm{Ad}(P)$의 매끄러운 단면들의 공간은 마찬가지로 다음과 같은 매끄러운 함수의 공간으로 여겨질 수 있다.틀:Rp

${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(M,\mathrm{Ad}(P))\cong \{\varphi \in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(P,G):\varphi (p\cdot g)=g^{-1}\varphi (p)g\}\cong \mathrm{Aut}(P)$

$𝒢={\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(M,\mathrm{Ad}(P))$는 점별 곱셈을 통해 위상군을 이루며, 그 원소를 게이지 변환이라고 한다.

주접속의 모듈러스 공간

또한, 다음과 같은, 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발을 생각하자.틀:Rp

$\mathrm{ad}(P)=P{\times }_G𝔩𝔦𝔢(G)$

그 매끄러운 단면의 벡터 공간은 게이지 변환군 $𝒢$에 대응하는 리 대수이다.

$\mathrm{Lie}(𝒢)={\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(M,\mathrm{ad}(P))$

그렇다면, $G$-주다발 $P\twoheadrightarrow M$ 위의 주접속의 모듈라이 공간 $𝒜$는 다음과 같은 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.틀:Rp

${\mathrm{T}}_A𝒜\cong {\mathrm{\Omega }}^1(M;\mathrm{ad}(P))$

게이지 변환군 $𝒢\cong \mathrm{Aut}(P)$는 $𝒜$ 위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

$\varphi \cdot A={\varphi }^{*}A(A\in {\mathrm{\Omega }}^1(M;\mathrm{ad}(P)),\varphi \in \mathrm{Aut}(P)\cong 𝒢)$

예

자명한 주다발

만약 $P=M\times G$가 자명한 주다발일 경우, $\mathrm{ad}(P)=M\times 𝔩𝔦𝔢(G)$는 자명한 벡터 다발이며, 또한 표준적인 자명한 주접속 $A=0$이 존재한다. 따라서, 이 경우 주접속의 모듈러스 공간은 리 대수 값 미분 형식의 실수 벡터 공간 ${\mathrm{\Omega }}^1(M;𝔩𝔦𝔢(G))$를 이루며, 주접속을 단순히 리 대수 값 미분 형식으로 간주할 수 있다.

한원소 공간 위의 주접속

만약 $M=\{\bullet \}$이 한원소 공간이라고 하자. 이 경우,

• 주다발 $P\twoheadrightarrow \{\bullet \}$은 $G$-토서(틀:Llang, 군에서 원점을 망각한 구조)이다.
• 표준적으로 $\mathrm{ad}(P)=𝔩𝔦𝔢(G)$이다.
• $\mathrm{T}P/G=\mathrm{Vect}(P{)}^G$는 $P$ 위의, $G$-오른쪽 군 작용에 대하여 불변인 벡터장들의 실수 벡터 공간이며, 이 역시 $𝔩𝔦𝔢(G)$와 표준적으로 대응한다. (리 대수의 원소는 이에 대한 군 작용으로서 불변 벡터장을 정의하며, 이는 전단사 함수를 이룬다.)

따라서, 이 경우 주접속이 유일하게 존재하며, 주접속 자체가 게이지 불변이다. $P$ 위의 1차 미분 형식으로서, 이는 마우러-카르탕 형식이다.

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab