슈발레-에일렌베르크 대수

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 슈발레-에일렌베르크 대수(Chevalley-Eilenberg代數, 틀:Llang)는 리 대수에 대하여 대응되는 미분 등급 대수이다. 이는 코쥘 쌍대성의 특수한 경우이다.

정의

체 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$가 주어졌다고 하자. 또한, $𝔤$가 유한 차원 $K$-벡터 공간이라고 하자.

그렇다면, 그 쌍대 공간 ${𝔤}^{*}$으로 생성되는 자유 외대수

$\bigwedge (𝔤)=\underset{n\in \mathbb{N}}{⨁}{\bigwedge }^n{𝔤}^{*}=K\oplus {𝔤}^{*}\oplus {𝔤}^{*}\wedge {𝔤}^{*}\oplus \cdots$

위에 다음과 같은 미분을 다음과 같이 곱 규칙을 통해 정의할 수 있다.

$(\mathrm{d}\alpha )(x,y)=-\frac{1}{2}\alpha ([x,y])(x,y\in 𝔤,\alpha \in {𝔤}^{*})$

이 연산이 멱영 연산인 것($\mathrm{d}\circ \mathrm{d}=0$)은 야코비 항등식과 동치이다. 만약 지표를 쓴다면, $𝔤$의 기저를 $(t_i{)}_{i\in I}$, ${𝔤}^{*}$의 쌍대 기저를 $(t^i{)}^{i\in I}$라고 하고, 구조 상수가

$[t_i,t_j]=f^i{}_{jk}{t}_i$

라고 할 때,

$(\mathrm{d}t{)}^i=-\frac{1}{2}{f}^i{}_{jk}{t}^j\wedge t^k$

이다.

그렇다면, $(\bigwedge {𝔤}^{*},\mathrm{d})$는 $K$ 위의 자연수 등급 미분 등급 대수를 이룬다. 이를 $𝔤$의 슈발레-에일렌베르크 대수 $\mathrm{CE}(𝔤)$라고 한다.

보다 일반적으로, 이 구성은 임의의 L∞-대수에 대하여 일반화될 수 있다.

성질

체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수 $𝔤$의 리 대수 코호몰로지는 $𝔤$의 슈발레-에일렌베르크 대수의 (곱셈을 잊은) 공사슬 복합체의 코호몰로지와 같다.

${\mathrm{H}}^{\bullet }(𝔤)={\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{CE}(𝔤))$

예

아벨 리 대수

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$에 항상 0인 리 괄호를 주자. 그렇다면, 그 슈발레-에일렌베르크 대수는 자명한 미분 $\mathrm{d}=0$이 주어진 등급 벡터 공간인 외대수

$\mathrm{CE}(V)=\bigwedge V^{*}$

이다.

𝔰𝔲(2)

파울리 행렬로 생성되는 실수 리 대수

$𝔰𝔲(2)={\mathrm{Span}}_{ℝ}\{{\sigma }^1,{\sigma }^2,{\sigma }^3\}$

$[{\sigma }^j,{\sigma }^k]=2{ϵ}_i{}^{jk}{\sigma }^i$

의 경우, 그 쌍대 기저

${\sigma }_1,{\sigma }^2,{\sigma }^3$

에 대하여 미분 연산은 다음과 같다.

$\mathrm{d}{\sigma }_i=-{ϵ}_i{}^{jk}{\sigma }_j{\sigma }_k$

유리수 호모토피 이론에 따라 이에 대응하는 공간은 3차원 초구인데, 이는 리 군 SU(2)가 매끄러운 다양체로서 3차원 초구와 미분 동형이기 때문이다.

드람 코호몰로지

틀:본문 매끄러운 다양체 $M$이 주어졌을 때, 그 위의 벡터장 $\mathrm{Vect}(U)=\mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M;U)$은 리 미분을 통해 리 대수의 층을 이룬다.

이 경우, 층의 각 단면 공간에 대하여 슈발레-에일렌베르크 대수를 구성할 수 있으며, 이 역시 층을 이룬다. 이 미분 등급 대수의 층은 미분 형식의 층

$\mathrm{\Omega }(-)$

이며, 그 코호몰로지는 드람 코호몰로지이다.

역사

클로드 슈발레와 사무엘 에일렌베르크의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Nlab