유니터리 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 유니터리 행렬(틀:Llang)는 켤레 전치가 역행렬과 같은 복소수 정사각 행렬이다.

정의

복소수 $n\times n$ 정사각 행렬 $U$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $U$를 유니터리 행렬이라고 한다.

• $U^{*}=U^{-1}$
• $U{U}^{*}=1_{n\times n}$
• $U^{*}U=1_{n\times n}$
• $U$의 열들은 ${ℂ}^n$의 정규 직교 기저를 이룬다.
• $U$의 행들은 ${ℂ}^n$의 정규 직교 기저를 이룬다.
• ${ℂ}^n$에서, 모든 정규 직교 기저 $B$에 대하여, $U(B)$는 정규 직교 기저이다.
• ${ℂ}^n$에서, 어떤 정규 직교 기저 $B$에 대하여, $U(B)$는 정규 직교 기저이다.
• $U$는 정규 행렬이며, 모든 고윳값의 절댓값은 1이다.
• 임의의 $x,y\in {ℂ}^n$에 대하여, $⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$.
• 임의의 $x\in {ℂ}^n$에 대하여, $\Vert Ux\Vert =\Vert x\Vert$.

여기서 $(-{)}^{*}$는 켤레 전치, $⟨-,-⟩$는 ${ℂ}^n$의 표준 내적, $\Vert -\Vert$는 ${ℂ}^n$의 표준 노름이다.

성질

실수 행렬의 경우 유니터리 행렬은 직교 행렬과 동치이다.틀:Rp

유니터리 행렬 $U$는 다음과 같은 성질을 갖는다.

• 정규 행렬이다.
• 대각화 가능하다. 이는 스펙트럼 정리의 결과에 따라 $U$가 대각행렬과 유니터리하게 닮음이란 것이다. $U$는 $U=VD{V}^{*}$와 같이 분해할 수 있다. 여기서 $V$는 유니터리 행렬, $D$는 대각 유니터리 행렬이다.
• $|\det U|=1$
• $U$의 고유 공간은 정규 직교다.
• $U=e^{iH}$인 에르미트 행렬 $H$가 존재한다. ($e^{(-)}$는 행렬 지수 함수)

모든 $n\times n$ 유니터리 행렬의 집합은 행렬 곱셈에 따라 군을 이루며, 이를 유니터리 군 $\mathrm{U}(n)$이라고 한다.

예

복소수 $1\times 1$ 행렬의 경우, 유니터리 행렬은 다음과 같다.

$\left(\begin{array}{c}{e}^{i\theta }\end{array}\right)\theta \in ℝ$

복소수 $2\times 2$ 행렬의 경우, 유니터리 행렬은 다음과 같다.

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -\overline{b}{e}^{i\theta }& \overline{a}{e}^{i\theta }\end{array}\right)|a{|}^2+|b{|}^2=1,\theta \in ℝ$

같이 보기

• 에르미트 행렬
• 행렬 분해
• 직교군
• 직교행렬
• 특수 유니터리 군
• 심플렉틱 행렬
• 유니터리 군
• 유니터리 작용소