베유 대수

틀:위키데이터 속성 추적 리 대수 이론에서, 베유 대수(Weil代數, 틀:Llang)는 리 대수의 슈발레-에일렌베르크 대수에서, 고차 코호몰로지가 모두 없어지게 생성원들을 추가하여 얻는 미분 등급 대수이다. 대략, 리 군의 분류 공간 위의 주다발의 전체 공간에 해당하며, 이 때문에 리 대수 코호몰로지의 이론에서 중요한 역할을 한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, $𝔤$ 의 베유 대수는 다음과 같은 미분 등급 대수이다.

W (𝔤) = ⋀ (𝔤^{*} \oplus 𝔤 [1]) ≅ ⋀ (𝔤^{*}) \otimes Sym (𝔤^{*})

W^{n} (𝔤) = ⨁_{2 p + q = n} {Sym}^{p} (𝔤^{*}) \otimes_{K} ⋀^{q} 𝔤^{*}

여기서

$(𝔤^{*} \oplus 𝔤^{*} [1])$ 는 등급이 1인 $𝔤^{*}$ 와, 등급이 2인 $𝔤^{*} [1]$ 의 직합으로 생성되는 외대수이다. (즉, 등급이 2인 것들은 서로 가환이며, 등급이 1인 것들은 서로 반가환이다.)

즉, $⋀ (𝔤^{*}) \otimes Sym (𝔤^{*})$ 로의 표현에서, 외대수 성분의 생성원의 등급은 1이며, 대칭 대수 성분의 생성원의 등급은 2이다.

그 위의 미분 연산은 다음과 같다.

d = d_{1} + d_{2}

여기서

$d_{1} : 𝔤^{*} \to 𝔤 [1]$ 은 외대수의 생성원을 대칭 대수의 생성원으로 대응시킨다. (이는 $𝔤 [1]$ 위에는 0으로 작용한다.)
$d_{2}$ 는 $𝔤$ 의 슈발레-에일렌베르크 대수 $CE (𝔤) = ⋀ 𝔤^{*}$ 의 미분이다. (이는 $𝔤 [1]$ 위에는 작용하지 않는다.)

리 대수의 베유 대수의 코호몰로지는 등급 0을 제외하고는 모두 0이다. 이는 완전열

K [𝔤^{*}]^{𝔤} \to W (𝔤) \to CE (𝔤)

에 속한다. 여기서

이 완전열은 리 군 $G$ 의 분류 공간의 주다발

G ↪ E G ↠ B G

의 무한소 형태이다.

앙드레 베유의 이름을 땄다.