리 대수 값 미분 형식

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서 리 대수 값 미분 형식(Lie代數값微分形式, 틀:Llang)은 리 대수인 자명한 벡터 다발의 값의 미분 형식이다. 이 경우, 일반 벡터 값 미분 형식과 달리, 두 미분 형식에 대한, 쐐기곱과 리 괄호를 합성한 연산을 취할 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 유한 차원 실수 리 대수 $𝔤$

그렇다면, 자명한 벡터 다발 $M\times 𝔤\twoheadrightarrow M$을 생각할 수 있다. 이 벡터 다발의 값을 갖는 미분 형식

$\alpha \in \mathrm{\Gamma }(M;𝔤{\otimes }_{ℝ}{\bigvee }^{\bullet }{\mathrm{T}}^{*}M)$

을 $𝔤$값 미분 형식이라고 한다.

L∞-대수 값의 1차 미분 형식

1차 미분 형식의 경우, 다음과 같이 L∞-대수에 대하여 일반화될 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 유한형 (즉, 각 차수별 차원이 유한한) 실수 L∞-대수 $𝔤$. 이는 물론 코쥘 쌍대성에 따라 가환 미분 등급 대수 $\mathrm{CE}(𝔤)$로 여겨질 수 있다.

그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.

• $M$ 위의 미분 형식들의 공간은 가환 미분 등급 대수 $\mathrm{\Omega }(M)$를 이룬다.
• $𝔤$의 베유 대수 $\mathrm{W}(𝔤)$ 역시 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

그렇다면, $M$ 위의 $𝔤$ 값의 미분 형식은 미분 등급 대수의 준동형

$\alpha :\mathrm{W}(𝔤)\to \mathrm{\Omega }(M)$

이다.

만약 $𝔤$가 리 대수일 경우 (즉, $𝔤$의 모든 등급이 0차일 경우, 또는 마찬가지로 $\mathrm{CE}(𝔤)$의 생성원의 모든 등급이 1차일 경우), 이 정의는 $𝔤$값의 1차 미분 형식의 정의로 귀결된다.

설명:

구체적으로, 리 대수 $𝔤$의 기저가 $(t_i{)}_{i\in I}$라고 하고, 그 베유 대수 $(\mathrm{W}(𝔤),\mathrm{d})$의 등급 1의 생성원이 $(t^i{)}_{i\in I}$, 등급 2의 생성원이 $(\delta t^i{)}_{i\in I}$라고 하자. 즉, 다음과 같다.

$\delta {\mathrm{d}}_{\mathrm{CE}(𝔤)}+{\mathrm{d}}_{\mathrm{CE}(𝔤)}\delta =0$

${\delta }^2=0$

${\mathrm{d}}_{\mathrm{CE}}{t}^i(t_j,t_k)=-\frac{1}{2}{t}^i([t_j,t_k])$

그렇다면, 준동형

$\varphi :\mathrm{W}(𝔤)\to \mathrm{\Omega }(M)$

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $𝔤$ 값의 1차 미분 형식 $\sum _{i\in I}{t}_i\varphi (t^i)\in {\mathrm{\Omega }}^1(M;𝔤)$
• $𝔤$ 값의 2차 미분 형식 $\sum _{i\in I}{t}_i\varphi (\delta t^i)\in {\mathrm{\Omega }}^2(M;𝔤)$

그런데, 후자는 전자로서 다음과 같이 결정된다.

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}\sum _{i\in I}{t}_i\varphi (t^i)& =\mathrm{d}\sum _{i\in I}{t}_i(\varphi (\delta t^i)+\varphi ({\mathrm{d}}_{\mathrm{CE}}{t}^i))\\ & =\sum _{i\in I}{t}_i\varphi (\delta t^i)-\frac{1}{2}\sum _{j,k\in I}[t_j,t_k]\varphi (t^j)\wedge \varphi (t^k)\\ & =\sum _{i\in I}{t}_i\varphi (\delta t^i)-[\sum _{i\in I}{t}_i\varphi (t^i)\wedge \sum _{i\in I}{t}_i\varphi (t^i)]\end{array}$

즉, 이는 임의의 $𝔤$ 값의 1차 미분 형식 $\sum _{i\in I}{t}_i\varphi (t^i)$만으로 완전히 결정된다.

연산

리 괄호

매끄러운 다양체 $M$ 위의, 실수 리 대수 $𝔤$ 값의, $m$차 미분 형식 $\alpha$와 $n$차 미분 형식 $\beta$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 리 괄호는 다음과 같은, $𝔤$ 값의 $m+n$차 미분 형식이다.

$[\alpha \wedge \beta ](v_1,\dots ,v_{m+n})=\frac{1}{(m+n)!}\sum _{\sigma \in \mathrm{Sym}(m+n)}(-{)}^{\sigma }[\alpha (v_1,\dots ,v_m),\beta (v_{m+1},\dots ,v_{m+n})]\mathrm{\forall }x\in M,v_1,\dots ,v_{m+n}\in {\mathrm{T}}_{x}M$

이에 따라, $M$ 위의 $𝔤$ 값의 미분 형식들은 실수 등급 대수를 이룬다.

준동형

임의의 실수 리 대수의 준동형 $\varphi :𝔤\to 𝔥$ 및 $𝔤$값의 $m$차 미분 형식 $\alpha$가 주어졌을 때,

$\varphi (\alpha )(v_1,\dots ,v_m)=\varphi (\alpha (v_1,\dots ,v_m))\mathrm{\forall }x\in M,v_1,\dots ,v_m\in {\mathrm{T}}_{x}M$

로 정의하면, $\varphi (\alpha )$는 $M$ 위의 $𝔥$ 값의 $m$차 미분 형식을 이룬다.

같이 보기

• 마우러-카르탕 형식

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab