사영 공간

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 사영 공간(射影空間, 틀:Llang)은 벡터 공간의 원점을 지나는 직선들의 집합이다. 평행선들이 만나는 장소인 무한원직선이나 무한원평면 등의 개념을 엄밀히 다루기 위해 만들어진 개념이다. 사영 공간의 기하학을 다루는 학문인 사영기하학은 현대 대수기하학의 기초가 되었으며, 사영 공간 및 이를 확장한 개념인 그라스만 다양체와 깃발 다양체는 위상수학, 리 군론, 대수군론 및 이 대상들의 표현론에서 중요한 역할을 한다.

정의

음이 아닌 정수 $n\in \mathbb{N}$이 주어졌다고 하자. 정수 계수의 $n$차원 사영 공간 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^n$은 다음과 같다.

${\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^n=\mathrm{Proj}\mathbb{Z}[x_0,x_1,\dots ,x_n]$

여기서 $\mathbb{Z}[x_0,x_1,\dots ,x_n]$은 (등급환인) 정수 계수 다항식환이며, $\mathrm{Proj}$는 사영 스펙트럼이다.

임의의 스킴 $X$에 대하여, $X$ 좌표의 $n$차원 사영 공간 ${\mathbb{P}}_X^n$은 다음과 같다.

${\mathbb{P}}_X^n={\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^n\times X$

여기서 $\times$는 스킴의 범주의 곱을 뜻한다.

만약 $R$가 가환환이라면, 다음이 성립한다.

${\mathbb{P}}_{\mathrm{Spec}R}^n=\mathrm{Proj}R[x_0,x_1,\dots ,x_n]$

$K$가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 그렇다면, ${\mathbb{P}}_K^n$의 닫힌 점들은 다음과 같이 구체적으로 정의할 수 있다. $K^{n+1}\setminus \{(0,0,\dots ,0)\}$에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

$(a_0,a_1,\dots ,a_n)\sim (\lambda a_0,\lambda a_1,\dots ,\lambda a_n)\mathrm{\forall }\lambda \in K^{\times }$

그렇다면 ${\mathbb{P}}_K^n$의 닫힌 점들은 동치류 집합 $(K^{n+1}\setminus \{(0,0,\dots ,0)\})/\sim$에 대응한다. 이 경우, $(a_0,\dots ,a_n)$을 동차좌표라고 한다.

성질

임의의 스킴 $S$에 대하여, 다음과 같은 표준적인 닫힌 몰입이 존재하며, 이를 세그레 사상(틀:Llang)이라고 한다.

${\mathbb{P}}_S^m{\times }_S{\mathbb{P}}^n\to {\mathbb{P}}_S^{(m+1)(n+1)-1}$

$S$ 위의 세그레 사상은 물론 (정수환 계수의) 절대적 세그레 사상의 올곱이다.

${\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^m\times {\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^n\to {\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^{(m+1)(n+1)-1}$

구체적으로, 이는 동차 좌표에 대하여 다음과 같이 정의된다.

$([x_0:x_1:\cdots :x_m],[y_0:y_1:\cdots :y_n])\mapsto [x_0{y}_0:x_0{y}_1:\cdots :x_0{y}_n:x_1{y}_0:x_1{y}_1:\cdots :x_m{y}_n]$

즉, 사영 사상

${\pi }_1:{\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^m\times {\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^n\to {\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^m$

${\pi }_2:{\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^m\times {\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^n\to {\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^n$

을 생각하면, 가역층

${\pi }_1^{*}{𝒪}_{{\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^m}(1)\otimes {\pi }_2^{*}{𝒪}_{{\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^n}(1)$

을 취할 수 있으며, 이 가역층은 위와 같이 $(m+1)(n+1)$개의 단면 $x_i{y}_j$ ($i\in \{0,\dots ,m\},j\in \{0,\dots ,n\}$)을 가지며, 이는 사영 공간 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^{(m+1)(n+1)-1}$로의 사상을 정의한다.

이를 통해, 사영 대수다양체의 곱이 사영 대수다양체임을 보일 수 있다.

예

1차원 복소수 사영 공간 ${\mathbb{P}}_{ℂ}^1$은 복소다양체로 여겼을 때 리만 구가 된다.

역사

세그레 사상은 코라도 세그레가 발견하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab

같이 보기

• 사영 스펙트럼
• 아핀 공간
• 사영 대수다양체
• 유리 다양체