공역

함수 $f:X\to Y$이다. 파란색 집합 틀:Mvar는 함수 틀:Mvar의 공역이다. 틀:Mvar의 노란색 부분집합은 정의역의 상 또는 틀:Mvar의 치역이다.

수학에서 어떤 함수의 공역(共域, 틀:Llang) 또는 공변역(共變域)은 이 함수의 값들이 속하는 집합이다.

정의

수학에서, 함수 $f:X\to Y$는 집합 $X$의 모든 원소를 각각 집합 $Y$의 한 원소에 대응시키는 수학적 구조다. 이 경우, $Y$를 $f$의 공역이라고 한다. 반면, $X$는 $f$의 정의역이다.

모든 $y\in Y$에 대하여, $f(x)=y$인 $x\in X$가 존재할 필요는 없다. 즉, 공역의 모든 원소가 정의역의 상에 포함될 필요는 없다. 정의역의 상, 즉 $f(x)=y$인 $x\in X$가 존재하는 $y$들의 집합을 $f$의 치역이라고 한다. 치역은 항상 공역의 부분집합이지만, 치역이 공역과 같을 필요는 없다.

현대적 관점에서, 함수는 정의역과 공역 및 이들 사이의 관계(그래프)로 구성된다. 즉, 그래프가 같더라도 공역이 다르다면 두 함수를 다른 함수로 간주한다.

예

함수 $f$가 다음과 같이 정의되었다고 하자.

$f:ℝ\to ℝ$

$f:x\mapsto x^2$

이 경우, $f$의 공역은 $ℝ$이지만, $f$의 치역은 $[0,\mathrm{\infty })\subset ℝ$이다.

함수 $g$가 다음과 같이 정의되었다고 하자.

$g:ℝ\to [0,\mathrm{\infty })$

$g:x\mapsto x^2$

$f$와 $g$는 같은 그래프를 가지지만, 현대적 관점에서는 두 함수는 같지 않다. 그 이유는 두 함수의 공역이 다르기 때문이다.

함수를 하나 더 정의해 보면 왜 그런지 알 수 있다.

$h:x\mapsto \sqrt{x}$

정의역은 반드시 $[0,\mathrm{\infty })$로 정의되어야 한다.

$h:[0,\mathrm{\infty })\to ℝ$

이제 함수를 합성해 보자.

$h\circ f$

$h\circ g$

이 둘 중에서 어떤 합성 함수가 올바른 것인가?

밝혀진 대로, 첫 번째 것은 올바른 합성 함수가 아니다. $f$의 치역을 알지 못한다고 가정하면(확실히 알지 못하는 상황이라면 이렇게 가정해야 한다), 단지 치역이 $ℝ$의 일부가 된다는 것밖에 알지 못한다. 그러면 제곱근이 음수에 대하여 정의되지 않았기 때문에 문제가 생기게 된다. 이제 모순점이 생길 수 있다는 것을 알았다.

이것은 분명치 못하며, 이런 것은 피해야 한다. 함수의 합성은 따라서 오른쪽 함수의 공역과 왼쪽 함수의 정의역이 같아야 할 수 있다는 것이다. 치역은 함수를 합성하는 시점에서는 결정되지 않을 수 있는 것이기 때문이다.

공역은 전사 함수인지 아닌지에 대해서도 영향을 줄 수 있다. $g$는 전사 함수인데, $f$는 그렇지 않다. 공역은 함수가 단사 함수인지 아닌지에는 영향을 미치지 않는다.

같이 보기

• 정의역
• 치역