이차 형식

틀:위키데이터 속성 추적 수론과 선형대수학에서 이차 형식(二次形式, 틀:Llang)은 다변수 2차 동차다항식이다.

정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $Q:V\to K$이다.틀:Rp틀:Rp

• (동차성) 임의의 $a\in K$ 및 $v\in V$에 대하여, $Q(av)=a^{2}Q(v)$
• (쌍선형성) 함수 $B:V\times V\to K$, $(u,v)\mapsto Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$를 정의하면, $B$는 $V$ 위의 쌍선형 형식을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
  • 임의의 $u,v,w\in V$에 대하여, $Q(u+v+w)-Q(u+w)-Q(v+w)-Q(u+v)+Q(u)+Q(v)+Q(w)=0$
  • 임의의 $a,b\in K$ 및 $u,v\in V$에 대하여, $Q(au+bv)-a^{2}Q(u)-b^{2}Q(v)-ab(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))=0$

이 경우, $B$를 $Q$의 연관 쌍선형 형식(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp 연관 쌍선형 형식은 항상 대칭 쌍선형 형식이며, 만약 $\mathrm{char}K=2$라면 이는 추가로 교대 쌍선형 형식이다.틀:Rp

흔히 다루어지는 경우는 $K$는 체이거나 대수적 정수환이며, $V$는 자유 가군인 경우다.

같은 가환환 $K$ 위에 두 가군 $V$, $V^{\prime }$이 존재하고, 그 위에 각각 이차 형식 $Q$, $Q^{\prime }$이 존재한다고 하자. $Q$와 $Q^{\prime }$ 사이의 동치(틀:Llang) $i$는 다음 조건을 만족시키는 함수 $i:V\to V^{\prime }$이다.

• $i:V\to V^{\prime }$는 가군의 동형이다.
• $Q^{\prime }\circ i=Q$이다.

두 이차 형식 사이에 동치가 존재한다면, 두 이차 형식이 서로 동치(틀:Llang)라고 한다.

비퇴화 이차 형식

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$의 연관 쌍선형 형식이 $B$라고 하자. $Q$의 등방성 벡터(等方性vector, 틀:Llang)는 $Q(v)=0$인 원소 $v\in V$이다.틀:Rp $Q$의 근기(틀:Llang) $\mathrm{rad}Q$는 $B$의 근기

$\mathrm{rad}B=\{v\in V:\mathrm{\forall }u\in V:B(u,v)=0\}=\{v\in V:\mathrm{\forall }u\in V:Q(u+v)=Q(u)+Q(v)\}$

에 속하는 등방성 벡터의 집합이다.틀:Rp

$\mathrm{rad}Q=\{v\in \mathrm{rad}B:Q(v)=0\}=\{v\in V:\mathrm{\forall }u\in V:Q(u+v)=Q(u)\}$

이는 $V$의 부분 가군이자 $\mathrm{rad}B$의 부분 가군이다. 이는 임의의 $u,v\in \mathrm{rad}B$에 대하여

$Q(u+v)=Q(u)+Q(v)+B(u,v)=Q(u)+Q(v)$

이기 때문이다.

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 다음 조건을 만족시킨다면, 비퇴화 이차 형식이라고 한다.틀:Rp

• 연관 대칭 쌍선형 형식 $B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$이 비퇴화 쌍선형 형식이다. 즉, $B$로부터 정의되는 사상 $V\to {\mathrm{hom}}_K(V,K)$, $u\mapsto B(u,-)$이 가군의 동형 사상이다.

$K$가 체이고, $V$가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면

$\mathrm{rad}Q\subseteq \mathrm{rad}B$

의 여차원을 생각할 수 있다. 만약 $K$의 표수가 2가 아니라면, 항상 $\mathrm{rad}Q=\mathrm{rad}B$이다. 만약 $K$가 표수 2의 완전체라면, 여차원은 0 또는 1이다. 만약 $\mathrm{char}K=2$이며, 완전체가 아니라면, 여차원은 2 이상일 수 있다. 틀:증명 만약 $\mathrm{char}K\ne 2$이며, $v\in \mathrm{rad}B$라면, $Q(v)=B(v,v)/2=0$이므로 $v\in \mathrm{rad}Q$이다.

이제, $K$가 표수 2의 완전체라고 가정하자. 그렇다면, $K$ 위에 스칼라배

$a\cdot b=a^{2}b(\mathrm{\forall }a,b\in K)$

를 주면 $K$-벡터 공간을 이룬다. 또한, $x\mapsto x^2$는 $K$ 위의 전사 함수이므로, 이 벡터 공간의 차원은 1이다. 임의의 $a,b\in K$ 및 $u,v\in \mathrm{rad}B$에 대하여,

$Q(au+bv)=a^{2}Q(u)+b^{2}Q(v)+abB(u,v)=a^{2}Q(u)+b^{2}Q(v)$

이다. 즉,

$Q{|}_{\mathrm{rad}B}:\mathrm{rad}B\to K$

는 ($K$를 위에서 정의한 벡터 공간으로 여겼을 때) $K$-선형 변환을 이루며, 그 핵은

$\ker (Q{|}_{\mathrm{rad}B})=\mathrm{rad}Q$

이다. 특히,

${\dim }_K(\mathrm{rad}B/\mathrm{rad}Q)\le 1$

이다.

여차원이 2 이상인 이차 형식은 다음과 같이 구성할 수 있다. 임의의 표수 2의 비완전체 $K$ 속에서, 제곱이 아닌 (특히, 0이 아닌) 수 $a$를 고르자. (예를 들어, $K={𝔽}_2(t)$, $a=t$로 잡을 수 있다.) 그렇다면, $K^2$ 위의 이차 형식

$x^2+a{y}^2$

의 근기는 $\{0\}$이지만, 그 연관 쌍선형 형식 $B=0$의 근기는 $K^2$이다. 틀:증명 끝

만약 $Q$의 근기가 $\{0\}$이라면, $Q$를 비특이 이차 형식(非特異二次形式, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp 만약 $Q$의 연관 쌍선형 형식 $B$가 비퇴화 쌍선형 형식이라면 (즉, $B$의 근기가 $\{0\}$이라면), $Q$를 비퇴화 이차 형식(非退化二次形式, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp 만약 $\mathrm{char}K\ne 2$라면 비특이 이차 형식의 개념과 비퇴화 이차 형식의 개념이 일치하지만, $\mathrm{char}K=2$일 경우 퇴화 비특이 이차 형식이 존재한다. $K$가 완전체인 경우, 이는

${\dim }_K\mathrm{rad}B=1$

${\dim }_K\mathrm{rad}Q=0$

인 경우이다.

정부호성

순서체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$에 대하여, 다음과 같은 용어들을 정의한다.

• 양의 정부호 이차 형식(陽의定符號二次形式, 틀:Llang): 모든 $v\in V\setminus \{0\}$에 대하여, $Q(v)>0$이다.
• 음의 정부호 이차 형식(陰의定符號二次形式, 틀:Llang): 모든 $v\in V\setminus \{0\}$에 대하여, $Q(v)<0$이다.
• 양의 준정부호 이차 형식(陽의準定符號二次形式, 틀:Llang): 모든 $v\in V$에 대하여, $Q(v)\ge 0$이다.
• 음의 준정부호 이차 형식(陰의準定符號二次形式, 틀:Llang): 모든 $v\in V$에 대하여, $Q(v)\le 0$이다.
• 부정부호 이차 형식(不定符號二次形式, 틀:Llang): 양의 정부호 이차 형식이 아니며, 음의 정부호 이차 형식도 아니다.

이차 공간

가환환 $R$ 위의 이차 공간(二次空間, 틀:Llang) $(M,Q)$은 $R$ 위의 가군 $M$과 그 위의 이차 형식 $Q:M\to R$의 순서쌍이다.

$R$ 위의 두 이차 공간 $(M,Q)$, $(M^{\prime },Q^{\prime })$ 사이의 사상(틀:Llang)은 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:M\to M^{\prime }$이다.

• $f:M\to M^{\prime }$은 $R$-가군의 가군 준동형이다.
• $Q^{\prime }\circ f=Q$이다.

단사 함수인 이차 공간 사상을 이차 공간의 매장(틀:Llang)이라고 한다. 이차 공간의 매장 $\iota :(M,Q)\to (M^{\prime },Q^{\prime })$이 주어졌을 때, 만약 $\mathrm{coker}\iota =M^{\prime }/\iota (M)$이 자유 가군이라면, $\iota$를 원시 매장(틀:Llang)이라고 한다.

성질

비트 소거 정리

임의의 표수의 체 $K$ 위의 이차 공간 $(V_1,Q_1)$, $(V_2,Q_2)$, $(V_3,Q_3)$이 주어졌다고 하자. 비트 소거 정리(틀:Llang)에 따르면, 만약 $(V_1,Q_1)\oplus (V_3,Q_3)\cong (V_2,Q_2)\oplus (V_3,Q_3)$이라면, $(V_1,Q_1)\cong (V_2,Q_2)$이다.

쌍선형 형식과의 관계

가환환 $K$에서 2가 가역원일 경우 (예를 들어, $K$가 표수가 2가 아닌 체일 경우), $K$-가군 $V$ 위의 이차 형식은 $V$ 위의 대칭 쌍선형 형식과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 이차 형식 $Q$의 연관 쌍선형 형식

$B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$

이 주어졌다면, 이로부터 원래 이차 형식을 다음과 같이 되찾을 수 있다.

$Q(v)=\frac{1}{2}B(v,v)$

그러나 만약 $K$에서 2가 가역원이 아니라면 이는 일반적으로 성립하지 않는다.

보다 일반적으로, 임의의 가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 및 $ϵ\in \{\pm 1\}\subseteq K$에 대하여, 2차 순환군 $\mathbb{Z}/2=⟨t|t^2=1⟩$이 쌍선형 형식의 공간 ${\mathrm{hom}}_K(V{\otimes }_{K}V;K)$ 위에 다음과 같이 작용한다.

$(t\cdot B)(u,v)=ϵB(v,u)$

이에 대하여, ${\mathrm{hom}}_K(V{\otimes }_{K}V;K)$는 군환 $\mathbb{Z}[\mathbb{Z}/2]$ 위의 가군을 이룬다. 이 계수에 대하여 군 호몰로지 및 군 코호몰로지를 정의할 수 있다. 0차 군 코호몰로지는 군의 작용의 불변량으로 구성되며, 만약 $ϵ=+1$이라면 이는 대칭 쌍선형 형식의 공간과 같다.

${\mathrm{H}}^0(\mathbb{Z}/2;{\mathrm{hom}}_K(V{\otimes }_{K}V;K))={({\mathrm{hom}}_K(V{\otimes }_{K}V;K))}^{\mathbb{Z}/2}=\{B\in {\mathrm{hom}}_K(V{\otimes }_{K}V;K):B(u,v)=ϵB(v,u)\mathrm{\forall }u,v\in V\}$

0차 군 호몰로지는 군의 작용의 쌍대불변량으로 구성된다.

${\mathrm{H}}_0(\mathbb{Z}/2;{\mathrm{hom}}_K(V{\otimes }_{K}V;K))={({\mathrm{hom}}_K(V{\otimes }_{K}V;K))}_{\mathbb{Z}/2}=\frac{{\mathrm{hom}}_K(V{\otimes }_{K}V;K)}{\{B-t\cdot B:B\in {\mathrm{hom}}_K(V{\otimes }_{K}V;K)\}}$

만약 $ϵ=-1$일 경우, 이는 $M$ 위의 이차 형식의 공간 $\mathrm{QForms}(M;K)$과 다음과 같이 동형이다.

$[B(-,-)]\mapsto (Q_B:(u\in V)\mapsto B(u,u))$

다시 말해, 다음과 같은 $K$-가군의 완전열이 존재한다.

$0\to {\mathrm{H}}^0(\mathbb{Z}/2;{\mathrm{hom}}_K(V{\otimes }_{K}V;K))\to {\mathrm{hom}}_K(V{\otimes }_{K}V;K)\stackrel{1-t}{\to }{\mathrm{hom}}_K(V{\otimes }_{K}V;K)\to {\mathrm{H}}_0(\mathbb{Z}/2;{\mathrm{hom}}_K(V{\otimes }_{K}V;K))\to 0$

클리퍼드 대수와의 관계

틀:본문 가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 주어졌을 때, 이 데이터로부터 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$를 정의할 수 있다. 이는 $K$-단위 결합 대수이다.

클리퍼드 대수는 표준적인 단사 $K$-선형 변환

${\iota }_0:K\hookrightarrow \mathrm{Cliff}(V,Q;K)$

${\iota }_1:V\hookrightarrow \mathrm{Cliff}(V,Q;K)$

를 갖는다.

이차 형식의 클리퍼드 대수는 이차 형식의 불변량을 이룬다. 비퇴화 이차 형식의 클리퍼드 대수는 항상 등급 아즈마야 대수를 이루며, 따라서 브라우어-월 군 $\mathrm{BW}(K)$의 원소를 정의한다. 이 역시 비퇴화 이차 형식의 불변량으로 생각할 수 있다.

대각화와 비트 분해 정리

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $K^n={\mathrm{Span}}_K\{x_1,\dots ,x_n\}$ 위의 이차 형식 $Q$가

$\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i^2(a_1,\dots ,a_n\in K)$

의 꼴의 이차 형식과 동치라면, $Q$를 대각화 가능 이차 형식(對角化可能二次形式, 틀:Llang)이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 모든 이차 형식은 대각화 가능 이차 형식이다. 그러나 이는 표수 2의 경우 성립하지 않는다. 구체적으로, 대각화 알고리즘은 다음과 같은 그람-슈미트 과정의 일종이다. 표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 주어졌을 때, $Q=0$일 경우 이미 대각화돼 있으므로 $Q\ne 0$를 가정할 수 있다. 이 경우 $Q(v)\ne 0$인 $v\in V$를 고를 수 있으며, 이 경우

$V=\mathrm{Span}\{v\}\oplus (\mathrm{Span}\{v\}{)}^{\perp }$

$u=\underset{\mathrm{Span}\{v\}}{\underbrace{B(u,v)v/B(v,v)}}+\underset{(\mathrm{Span}\{v\}{)}^{\perp }}{\underbrace{(u-B(u,v)v/B(v,v))}}\mathrm{\forall }u\in V$

이다. 따라서, 마찬가지로 $Q(v^{\prime })\ne 0$인 $v^{\prime }\in (\mathrm{Span}\{v\}{)}^{\perp }$를 골라 위 과정을 재귀적으로 반복할 수 있다.

비트 분해 정리(Witt分解定理, 틀:Llang)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 이차 공간 $(V,Q)$는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.틀:Rp

$(V,Q)=(V_0,0)\oplus (V_1,Q_1)\oplus (V_2,Q_2)$

여기서 각 성분은 다음과 같다.

• $(V_0,0)$은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
• $(V_1,Q_1)$은 비등방성 이차 공간(틀:Llang)이다. 즉, $V_1$ 속에서 $Q_1(v)=0$인 벡터 $v\in V_1$은 $v=0$뿐이다. 특히, $Q_1$은 비퇴화 이차 형식이다.
• $(V_2,Q_2)$는 분해 이차 공간(틀:Llang)이다. 즉, $Q_2$는 비퇴화 이차 형식이며, ${\dim }_K{V}_2=2n$는 짝수이며, $V_2$ 속에서 $Q_2{|}_W=0$인 $n$차원 부분 공간 $W\subseteq V_2$이 존재한다.

이 경우 $(V_1,Q_1)$을 $(V,Q)$의 핵심(틀:Llang)이라고 한다. 또한, ${\dim }_K(V_1\oplus V_2)$를 $Q$의 계수(틀:Llang)라고 하며, $({\dim }_K{V}_2)/2$를 $Q$의 비트 지표(틀:Llang)라고 한다.틀:Rp 만약 $Q$가 비퇴화 이차 형식이라면, $Q{|}_W=0$이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

분류

이차 형식의 동치에 대한 분류는 수론과 선형대수학에서 매우 중요한 문제이다.

복소수 이차 형식의 분류

$K$가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(틀:Llang, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, $K$가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 $K^n$ 위의 이차 형식은 그 계수 $r$에 따라서 완전히 분류된다. 즉, 모든 이차 형식 $Q$은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

$z_1^2+z_2^2+\cdots +z_r^2(1\le r\le n)$

이 경우, 이차 형식은 계수 $r$에 의하여 완전히 분류된다.

실수 이차 형식의 분류

$(K,\le )$가 에우클레이데스 체(틀:Llang, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, $K$가 실수체 $ℝ$이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

유한 차원 실수 벡터 공간 $K^n$ 위의 이차 형식은 그 계수 및 부호수 $(s,k)$에 따라서 완전히 분류된다 ($1\le s\le k\le n$). 즉, 모든 이차 형식 $Q$은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_s^2-x_{s+1}^2-\cdots -x_r^2(1\le s\le k\le n)$

구체적으로, n 변수의 $K$ 계수 이차 형식 $Q(x_1,\dots ,x_n)$은 $n\times n$ 대칭 행렬 $M$으로 나타낼 수 있다.

$Q(x_1,\dots ,x_n)=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& \cdots & x_n\end{array}\right)M\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

$Q$의 부호수(틀:Llang) $(n_{+},n_0,n_{-})$는 $M$의 양의 고윳값의 수 $n_{+}\in \mathbb{N}$, 고윳값 0의 중복도 $n_0\in \mathbb{N}$, 음의 고윳값의 수 $n_{-}\in \mathbb{N}$의 순서쌍이다. 물론

$n_{+}+n_0+n_{-}=n$

이다. 여기서, $n_{+}$ 등은 고윳값의 중복도를 고려하여 센다. 그렇다면 $(n_{+},n_0,n_{-})$는 실수 계수 이차 형식의 완전한 불변량이다. 즉, 두 실수 계수 이차 형식이 서로 동치일 필요충분조건은 두 이차 형식의 부호수가 같은 것이다. 이를 실베스터 관성 법칙(Sylvester慣性法則, 틀:Llang)이라고 한다.

국소체 위의 이차 형식의 분류

p진수체 위의 이차 형식은 그 계수와 하세-비트 불변량에 따라 완전히 분류된다. 마찬가지로 다른 국소체 위의 이차 형식도 완전히 분류되었다.

대역체 위의 이차 형식의 분류

틀:본문 하세-민코프스키 정리에 따르면, 대역체 $K$ 위의 두 이차 형식 $Q$, $Q^{\prime }$이 동치일 필요충분조건은 다음과 같다.

• $K$의 완비화인 모든 국소체 $k$에 대하여, $Q_k$와 $Q{\text{'}}_k$는 서로 동치이다. 여기서 $Q_k$는 $Q$를 $k\supset K$ 계수로 간주한, $k$ 위의 이차 형식이다.

홀수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류

표수가 2가 아닌 유한체 ${𝔽}_q$ 위의 벡터 공간 ${𝔽}_q^n$ 위의 이차 형식의 동치류는 총 $2n+1$개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. $a\in {𝔽}_q$가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.

$\nexists b\in {𝔽}_q:b^2=a$

이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

$Q_1^{(n)}=\mathrm{diag}(1,\dots ,1,1)$

$Q_2^{(n)}=\mathrm{diag}(1,\dots ,1,a)$

즉, 다음과 같은 꼴이다.

$Q_1^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2$

$Q_2^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots +a{x}_n^2$

만약 $n$이 홀수라면, $Q_2^{(n)}$는 $\alpha Q_1^{(n)}$과 동치이다.틀:Rp 이 경우 비트 지표는 $Q_1^{(n)}$, $Q_2^{(n)}$ 둘 다 $(n-1)/2$이다.

만약 $n$이 짝수라면, $Q_1^{(n)}$은 $\alpha Q_1^{(n)}$과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.틀:Rp

• $n\equiv 2(\mathrm{mod}4)$이며 $q\equiv 3(\mathrm{mod}4)$인 경우, $Q_1^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2-1$이며 $Q_2^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2$이다.
• $n\equiv 0(\mathrm{mod}4)$이거나 또는 $q\equiv 1(\mathrm{mod}4)$인 경우, $Q_1^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2$이며 $Q_2^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2-1$이다.

이 경우, 비트 지표가 $n/2$인 경우를 플러스형(틀:Llang), $n/2-1$인 경우를 마이너스형(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

$\mathrm{diag}(1,\dots ,1,1,0,\dots ,0)$

$\mathrm{diag}(1,\dots ,1,a,0,\dots ,0)$

홀수 차수 유한체 ${𝔽}_q$의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 $q$에 따라 구체적으로 다음과 같다.틀:Rp

$W({𝔽}_q)\cong \{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}/(4)& q\equiv 3(\mathrm{mod}4)\\ {𝔽}_2[{𝔽}_q^{\times }/({𝔽}_q^{\times }{)}^2]& q\equiv 1(\mathrm{mod}4)\end{array}$

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

$q\equiv 3(\mathrm{mod}4)$인 경우

$\mathbb{Z}/(4)$	0	1	2	3
$W({𝔽}_q)$	$Q_1^{(0)}$	$Q_1^{(1)}$	$Q_1^{(2)}$	$Q_2^{(1)}$

$q\equiv 1(\mathrm{mod}4)$인 경우

${𝔽}_2[x]/(x^2)$	0	1	x	1+x
$W({𝔽}_q)$	$Q_1^{(0)}$	$Q_1^{(1)}$	$Q_2^{(2)}$	$Q_2^{(1)}$

짝수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류

표수가 2가 아닌 유한체 ${𝔽}_q$ 위의 벡터 공간 ${𝔽}_q^n$ 위의 이차 형식의 동치류는 총 $\lceil (3n+1)/2\rceil$개가 있으며, 이들 가운데 비특이 이차 형식인 것은 $n$이 양의 짝수일 경우 2개, 홀수이거나 0일 경우 1개이다.틀:Rp $n$이 홀수라면 비특이 이차 형식은 퇴화 이차 형식이지만, $n$이 짝수라면 비특이 이차 형식은 모두 비퇴화 이차 형식이다.

구체적으로, $n$이 홀수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 블록 대각 행렬과 동치이다.

$\mathrm{diag}(1,\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right))$

즉, 다음과 같은 꼴이다.

$Q(x)=x_1^2+x_2{x}_3+x_4{x}_5+\cdots +x_{n-1}{x}_n$

이 경우 $Q$의 연관 대칭 쌍선형 형식은

$B=\mathrm{diag}(0,\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right))$

이다. 즉, $\mathrm{rad}B={\mathrm{Span}}_{{𝔽}_q}\{x_1\}$이다.

$a\in {𝔽}_q$가 $x^2+x+a=0$의 해가 존재하지 않는 임의의 수라고 하자. (이러한 수는 항상 적어도 하나 이상 존재한다.) $n$이 양의 짝수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 두 블록 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 동치이다.틀:Rp

$\mathrm{diag}(\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right))$

$\mathrm{diag}(\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right))$

즉, 각각 다음과 같은 꼴이다.

$Q_{+}(x)=x_1{x}_2+x_3{x}_4+\cdots +x_{n-1}{x}_n$

$Q_{-}(x)=a{x}_1^2+x_2^2+x_1{x}_2+x_3{x}_4+\cdots +\cdots +x_{n-1}{x}_n$

이 경우 $Q_{+}$를 플러스형(틀:Llang), $Q_{-}$를 마이너스형(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp $Q_{+}$의 비트 지표는 $n/2$이며, $Q_{-}$의 비트 지표는 $n/2-1$이다.

비트 분해 정리에 따라, 모든 이차 형식은 비특이 이차 형식과 0의 직합으로 나타내어진다.

정수환 위의 이차 형식의 분류

정수환 $\mathbb{Z}$이나 다른 대수적 정수환 위의 유한 차원 자유 가군 (=유한 생성 자유 아벨 군) 위의 이차 형식의 경우 하세-민코프스키 정리가 성립하지 않으며, 이들의 분류는 일반적으로 어렵다.

정수 계수 부정부호 형식의 경우, 마르틴 아이클러(틀:Llang)는 스피너 종수(틀:Llang)를 사용하여 완전히 분류하였다.틀:Rp 정수 계수 정부호 형식의 경우는 유클리드 공간 속의 격자에 대응하며, 이는 낮은 차원(대략 24차원 이하)에서는 에른스트 비트와 마르틴 크네저(틀:Llang), 한스폴커 니마이어(틀:Llang)가 개발한 접착법(틀:Llang)을 사용하여 분류할 수 있다.틀:Rp 이보다 더 큰 차원에서의 정부호 형식의 분류는 불가능하다고 추측된다.틀:Rp

정수 계수 이차 형식의 경우, 동치보다 더 거친 종수(種數, 틀:Llang)라는 동치 관계가 존재한다. ${\mathbb{Z}}^n$ 위의 두 이차 형식 $Q$, $Q^{\prime }$이 다음 두 조건을 만족시키면, 같은 종수에 속한다고 한다.

• $Q$와 $Q^{\prime }$는 실수 계수 위에서 서로 동치이다.
• 모든 소수 $p=2,3,5,\dots$에 대하여, p진 정수환 ${\mathbb{Z}}_p$를 정의한다면, $Q$와 $Q^{\prime }$는 ${\mathbb{Z}}_p$ 계수 위에서 서로 동치이다.

즉, 이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

주어진 종수에 속한 모든 이차 형식들의 (적절한 무게를 부여한) 수는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식에 의하여 주어진다.

응용

이차 형식의 이론은 다른 여러 수학 분야와 밀접한 관계를 가진다.

대수기하학

임의의 0이 아닌 n변수 이차 형식은 사영 공간에 n-2차원 이차 초곡면을 정의한다. 이런 관점에서, 3변수 2차형식은 원뿔 곡선에 대응된다.

모듈러 형식

임의의 이차 형식에 대하여 세타 함수를 정의할 수 있으며, 이는 모듈러 형식을 이룬다. 이를 일반화하여 힐베르트 모듈러 형식 · 지겔 모듈러 형식 · 야코비 형식 등의 이론이 이차 형식 이론과 깊은 관계를 가진다.

격자 이론

정수 계수의 이차 형식은 유클리드 공간 속의 격자의 이론과 밀접한 관계를 가진다. 이를 통해 이차 형식 이론은 민코프스키의 수 기하학(틀:Llang)이나 코드 이론(틀:Llang), 암호학 등에 응용된다.

역사

고대 수학에서의 이차 형식

특수한 정수 계수 이차 형식의 연구는 고대 수학에서 이미 등장한다. 한 예는 정수 계수 2변수 이차 형식 $x^2+y^2$의 상을 계산하는 문제로, 이는 피타고라스 수에 관련된다. 이 문제는 1640년에 피에르 드 페르마가 페르마 두 제곱수 정리로서 해결하였다.

기원후 7세기에 인도의 수학자 브라마굽타는 펠 방정식의 해를 제시하였다. 이 역시 특수한 2변수 이차 형식 $x^2-n{y}^2$을 연구하는 문제이다.

19세기 이차 형식 이론

1801년에 카를 프리드리히 가우스는 《산술 연구》(틀:Llang)에서 정수 계수 2변수 이차 형식을 체계적으로 연구하였다. 1852년에 제임스 조지프 실베스터는 실수 계수 이차 형식을 실베스터 관성 법칙을 통해 완전히 분류하였다. 이 정리의 어원은 실베스터가 오늘날 부호수로 불리는 개념을 "관성"(틀:Llang)이라고 불렀기 때문이다.

1867년에 헨리 존 스티븐 스미스는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다. 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문에서 이차 형식의 종수(틀:Llang)의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.

20세기~21세기 이차 형식 이론

헬무트 하세(1898~1979)는 쿠르트 헨젤의 p진수를 유리수 계수 이차 형식의 분류에 도입하여, 하세-민코프스키 정리를 완성하였다. 카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였고, 이를 비롯한 세 편의 논문에서 이차 형식의 해석적 이론을 제창하였다. 에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였고, 이로서 이차 형식의 대수적 이론을 제창하였다.

마르틴 아이클러(틀:Llang, 1912~1992)는 스피너 종수(틀:Llang)를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였으며,틀:Rp 마르틴 크네저(틀:Llang, 1928~2004), 한스폴커 니마이어(틀:Llang, 1940~)는 접착법(틀:Llang)을 사용하여 낮은 차원의 정부호 정수 계수 이차 형식의 분류를 완성하였다.틀:Rp 현대의 이차 형식 이론은 이차 수체와 모듈러 형식의 이론과 밀접한 관계를 가지며, 현대 수론의 주요 분야로 성장하게 되었다.

같이 보기

• 삼차 형식
• 판별식
• 하세-민코프스키 정리
• 이차 초곡면
• 제곱 유군
• 비트 환

참고 문헌

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외부 링크

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