저우 군

대수기하학에서 임의의 체에 대수 버라이어티의 저우 군은 위상 공간의 코호몰로지와 비슷한 대수-기하학적 유사체이다. 저우 군의 원소는 단순 또는 세포 코호몰로지 군이 부분 복합체에서 형성되는 방식과 유사한 방식으로 부분 버라이어티들(소위 대수적 순환)로 형성된다. 버라이어티가 매끄러울 때 저우 군은 코호몰로지 군( 푸앵카레 쌍대성 비교)으로 해석될 수 있으며 교차곱이라는 곱셈을 갖는다. 저우 군은 대수 버라이어티에 대한 풍부한 정보를 전달하고, 일반적으로 계산하기가 어렵다. 1958년 클로드 슈발레가 저우웨이량의 이름을 따서 명명했다.

유리적 동치성과 저우 군

다음 내용을 위해 체 $k$에 대한 버라이어티를 유한 유형 $k$- integral 스킴으로 정의한다. 임의의 유한 유형 $k$-스킴 $X$에 대해, $X$ 위의 대수적 순환은 $X$의 부분 버라이어티의 정수 계수 유한 선형 결합을 의미한다.(여기와 아래에서는, 달리 명언급지 않는 한 부분 버라이어티들이 $X$ 안에서 닫혀 있는 것으로 이해된다. 자연수 $i$에 대해, $X$ 위의 $i$ -차원 순환(또는 $i$ - 순환)들이 이루는 군 $Z_i(X)$은 $X$의 $i$ 차원 부분 버라이어티들의 집합에서 생성된 자유 아벨 군이다.

임의의 $i+1$차원 버라이어티 $W$와 $W$ 위에서 정의된 영함수가 아닌 임의의 유리 함수 $f$에 대해, $f$는 $i$ -순환

$(f)=\sum _Z{\mathrm{ord}}_Z(f)Z$

이다. 여기서 합은 $W$의 모든 $i$ -차원 부분 버라이어티 $Z$에 걸쳐 있고, 정수 ${\mathrm{ord}}_Z(f)$는 $Z$ 위에서 $f$의 소멸 차수를 나타낸다.(따라서, $f$가 $Z$ 위에서 극점을 가지면 ${\mathrm{ord}}_Z(f)$가 음수이다.) $W$가 특이 버라이어티인 경우 소멸 차수의 정의에 약간의 주의가 필요하다.

유한 유형 $k$-스킴 $X$에 대해, 유리적으로 0과 동치인 $i$-순환들의 군은, $X$의 모든 $(i+1)$-차원 부분 버라이어티 $W$에 대한 순환 $(f)$와 $W$ 위의 0이 아닌 모든 유리 함수 $f$에 의해 생성된 $Z_i(X)$의 부분 군이다. $X$위의 $i$ -차원 순환들의 저우 군 $C{H}_i(X)$은, $Z_i(X)$을 유리적으로 0과 동치인 순환의 부분 군으로 나눈 몫군이다. 가끔 저우 군에서 부분 버라이어티 $Z$의 동치류를 $[Z]$로 쓰는 사람도 있다. 두 개의 부분 버라이어티 $Z$, $W$의 경우 $Z$와 $W$가 유리적으로 동치임을 $[Z]=[W]$라고 쓴다.

예를 들어, $X$은 $n$차원 버라이어티일 때. 저우 군 $C{H}_{n-1}(X)$은 $X$의 제수 유군이다 . $X$가 $k$ 위에서 매끄러울 때 (또는 더 일반적으로, locally Noetherian normal factorial scheme ), 이는 $X$ 위의 선다발들의 피카르 군과 동형이다.

유리적 동치성의 예

사영 공간에 대한 유리적 동치성

초곡면에 의해 정의된 유리적으로 동치적인 순환은 모두 동일한 벡터 다발의 영점들로 구성될 수 있기 때문에 사영 공간에서 구성하기 쉽다. 예를 들어, 두 개의 $d$차 동차 다항식 $f,g\in H^0({\mathbb{P}}^n,𝒪(d))$이 주어졌을 때, $sf+tg$의 영점 궤적으로 정의된 초곡면 족을 구성할 수 있다. 대략적으로 이것은 다음과 같이 구성될 수 있다.

$X=\text{Proj}\left(\frac{ℂ[s,t][x_0,\dots ,x_n]}{(sf+tg)}\right)\hookrightarrow {\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^n$

사영 ${\pi }_1:X\to {\mathbb{P}}^1$을 사용하여 점 $[s_0:t_0]$에서 올이 $s_{0}f+t_{0}g$로 정의되는 사영 초곡면임을 알 수 있다. $sf+t{x}_0^d$는 유리적인 동치성을 확립하는 데 사용될 수 있기 때문에, 이는 모든 $d$차 초곡면의 순환류가 $d[{\mathbb{P}}^{n-1}]$과 유리적으로 동치인 것을 보여주는 데 사용될 수 있다. $x_0^d=0$의 궤적이 ${\mathbb{P}}^{n-1}$임과 중복도 $d$인 버라이어티를 가짐에 주목하라. 이는 순환류의 계수이다.

곡선 위의 순환의 유리적 동치성

매끄러운 사영 곡선 $C$의 두 개의 서로 다른 선다발 $L,L^{\prime }\in \mathrm{Pic}(C)$을 취하는 경우, 두 선다발의 일반 단면에서 사라지는 궤적은 $CH(C)$ 안에서 비동치 순환류를 정의한다. 이는 매끄러운 버라이어티의 경우 $\mathrm{Div}(C)\cong \mathrm{Pic}(C)$이기 때문이다. 따라서 $s\in H^0(C,L)$의 제수 류 그리고 $s^{\prime }\in H^0(C,L^{\prime })$는 동치가 아닌 류를 정의한다.

저우 환

$k$-스킴 $X$가 매끄러울 때, 저우 군은 단지 등급 아벨 군이 아니라 더 나아가 환을 형성한다. 즉, $X$가 $k$ 위에서 매끄러울 때, $C{H}^i(X)$를 $X$ 위의 여차원 $i$의 순환들의 저우 군이라 하자. (여기서 $X$는 $n$차원 버라이어티이다 , 이것은 단지 $C{H}^i(X)=C{H}_{n-i}(X)$을 의미한다.) 그러면 군 $C{H}^{*}(X)$에 곱셈

$C{H}^i(X)\times C{H}^j(X)\to C{H}^{i+j}(X).$

을 추가하면 가환 등급 환을 형성한다. 이 곱셈은 대수적 순환의 교차로부터 발생한다. 예를 들어, $Y$와 $Z$가 $X$의 각각 여차원 $i$, $j$ 인 매끄러운 부분 버라이어티이고 $Y$, $Z$가 횡단적으로 교차하면,$C{H}^{i+j}(X)$에서 곱 $[Y][Z]$이 교차 $Y\cap Z$의 여차원 $i+j$인 기약 성분들의 합이다.

보다 일반적으로 다양한 경우에 교차 이론은 저우 환에서 곱 $[Y][Z]$을 나타내는 명시적인 순환을 구성한다. 예를 들어, $Y$와 $Z$가 서로 여차원인(즉, 두 대상의 차원의 합이 $X$의 차원과 같다.) 부분 버라이어티이면, 교차의 차원이 0인 경우 $[Y][Z]$는 교차수라고 불리는 계수를 갖는 교차점들의 합과 같다. 매끄러운 $k$-스킴 $X$의 임의의 부분 버라이어티 $Y$와 $Z$의 경우, 교차 $Y\cap Z$의 차원에 대한 가정 없이 윌리엄 풀턴과 Robert MacPherson의 교차 이론은 $Y\cap Z$의 저우 군의 표준 요소를 구성한다. $X$의 저우 군의 상은 곱 $[Y][Z]$과 같다.

예

사영 공간

임의의 체 $k$ 위에서 사영 공간 ${\mathbb{P}}^n$의 저우 환은 환

$C{H}^{*}({\mathbb{P}}^n)\cong 𝐙[H]/(H^{n+1})$

이다. 여기서 $H$는 초평면(특이 선형 함수의 영점 궤적)의 동치류이다. 게다가, 사영 공간에서 $d$차이고 여차원 $a$인 임의의 부분 버라이어티 $Y$들은 $d{H}^a$와 유리적으로 동일하다. ${\mathbb{P}}^n$ 안에서 여차원 $a$의 및 차수 $b$인 임의의 두 부분 버라이어티 $Y$, $Z$에 대해서 저우 환 안에서 곱은 다음과 같다.

$[Y]\cdot [Z]=ab{H}^n$

여기서 $H^n$는 ${\mathbb{P}}^n$ 안의 $k$-유리점의 동치류이다. 예를 들어, $Y$와 $Z$가 가로로 교차하면 $Y\cap Z$는 $ab$차 영 순환이다. 기본 체 $k$가 대수적으로 닫힌인 경우, 이는 정확히 $ab$ 가지의 교차점이 있음을 의미한다; 이것은 열거 기하학의 고전적인 결과인 베주의 정리의 한 버전이다.

사영 다발 공식

랭크 $r$인 벡터 다발 $E\to X$이 주어지면 매끄러운 적절한 스킴 $X$을 통해 연관된 사영 다발 $\mathbb{P}(E)$의 저우 환은 $X$의 저우 환과 $E$의 천 특성류를 사용하여 계산할 수 있다.$\zeta =c_1({𝒪}_{\mathbb{P}(E)}(1))$이고 $E$의 천 특성류를 $c_1,\dots ,c_r$라 하면, 환 동형사상

$C{H}^{\bullet }(\mathbb{P}(E))\cong \frac{C{H}^{\bullet }(X)[\zeta ]}{{\zeta }^r+c_1{\zeta }^{r-1}+c_2{\zeta }^{r-2}+\cdots +c_r}$

이 존재한다.

히르체부르흐 곡면

예를 들어, 히르체부르흐 곡면의 저우 환은 사영 다발 공식을 사용하여 쉽게 계산할 수 있다. ${\mathbb{P}}^1$ 위에 $F_a=\mathbb{P}(𝒪\oplus 𝒪(a))$과 같이 구성되어 있음을 기억하라. 그러면 이 벡터 다발의 유일하고 자명하지 않은 천 특성류는 $c_1=aH$과 같다. 이는 저우 환이 다음과 동형임을 의미한다.

$C{H}^{\bullet }(F_a)\cong \frac{C{H}^{\bullet }({\mathbb{P}}^1)[\zeta ]}{({\zeta }^2+aH\zeta )}\cong \frac{𝐙[H,\zeta ]}{(H^2,{\zeta }^2+aH\zeta )}$

주목할만한 사항들

다른 대수 버라이어티의 경우 저우 군이 더 풍부한 성질을 가질 수 있다. 예를 들어, 체 $k$위의 타원 곡선 $X$를 고려하자. 그러면 $X$ 위의 저우 군의 영 순환들은 완전열

$0\to X(k)\to C{H}_0(X)\to 𝐙\to 0$

에 들어맞는다. 따라서 타원 곡선 $X$의 저우 군은 $X$의 $k$- 유리점들이 이루는 군 $X(k)$과 밀접한 관련이 있다. 여기서 $k$는 수체이다. $X(k)$는 $X$의 모델-베유 군이라고 불린다. 정수론의 가장 깊은 문제 중 일부는 이 군을 이해하려는 시도이다. 여기서 $k$는 복소수이며, 타원 곡선의 예는 저우 군이 셀 수 없는 아벨 군일 수 있음을 보여준다.

함자성

$k$-스킴들의 적절한 사상 $f:X\to Y$에 대해서는, 각 정수 $i$에 대해 밂 준동형사상 $f_{*}:C{H}_i(X)\to C{H}_i(Y)$이 있다. 예를 들어, 적절한 $k$-스킴 $X$에 대해서, 이는 준동형 사상 $C{H}_0(X)\to 𝐙$을 제공한다. 이는 $X$ 안의 닫힌 점의 $k$-차수를 나타낸다. ($X$ 안의 닫힌 점은 $k$의 유한 확대 체 $E$의 경우 $\mathrm{Spec}(E)$ 형식을 가지고 있다. 또 이의 차수는 $E$의 $k$-차수를 뜻한다.)

$r$차원 올(비어 있을 수도 있음)을 가진 $k$-스킴의 평탄 사상 $f:X\to Y$에 대해 준동형사상 $f^{*}:C{H}_i(Y)\to C{H}_{i+r}(X)$이 존재한다.

저우 군의 주요 계산 도구는 다음과 같은 국소화 열이다. $k$-스킴 $X$과 $X$의 닫힌 부분 스킴 $Z$에 대해, 다음 완전열이 있다:

$C{H}_i(Z)\to C{H}_i(X)\to C{H}_i(X-Z)\to 0,$

여기서 첫 번째 준동형사상은 적절한 사상 $Z\to X$와 관련된 밂이다. 두 번째 준동형사상은 평탄 사상 $X-Z\to X$에 대한 당김이다. 국소화 열은 고차 저우 군으로도 알려진 저우 군, (보렐-무어) 모티브 코호몰로지 군의 일반화를 사용하여 왼쪽으로 확장될 수 있다.

매끄러운 $k$-스킴의 임의의 사상 $f:X\to Y$에 대해 당김 준동형사상 $f^{*}:C{H}^i(Y)\to C{H}^i(X)$이 존재한다. 이는 환 준동형사상 $C{H}^{*}(Y)\to C{H}^{*}(X)$이다.

평탄 당김의 예

부풀리기를 사용하여 예제가 아닌 항목을 구성할 수 있다. 예를 들어 ${𝔸}^2$의 원점 부풀리기를 취한다면 그러면 원점 위의 올은 ${\mathbb{P}}^1$과 동형이다.

곡선의 분기된 덮개

곡선의 분기된 덮개

$f:\mathrm{Spec}\left(\frac{ℂ[x,y]}{(f(x)-g(x,y))}\right)\to {𝔸}_x^1$

를 고려하자. 이 사상은 $f(\alpha )=0$일 때마다 분기되기 때문에 인수분해

$g(\alpha ,y)=(y-a_1{)}^{e_1}\cdots (y-a_k{)}^{e_k}$

를 얻는다. 여기서 어떤 하나의 $i$에 대해 $e_i>1$ . 이는 점$\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k\}=f^{-1}(\alpha )$이 각각 중복도 $e_1,\dots ,e_k$를 가지고 있음을 함의한다. 점 $\alpha$의 평탄 당김은 그렇다면

$f^{*}[\alpha ]=e_1[\alpha ]+\cdots +e_k[{\alpha }_k]$

이다.

버라이어티의 평탄 족

평탄 버라이어티들의 족

$X\to S$

과 부분 버라이어티 $S^{\prime }\subset S$을 고려하자. 그런 다음 데카르트 정사각형을 사용하여

$\begin{array}{ccc}{S}^{\prime }{\times }_{S}X& \to & X\\ \downarrow & & \downarrow \\ S^{\prime }& \to & S\end{array}$

여기서 $S^{\prime }{\times }_{S}X$의 상이 $X$의 부분 버라이어티이다. 그러므로

$f^{*}[S^{\prime }]=[S^{\prime }{\times }_{S}X]$.

순환 사상

저우 군에서 더 계산이 잘되는 이론에 이르기까지 몇 가지 준동형사상(순환 사상으로 알려짐)이 있다.

첫째, 복소수 스킴 $X$의 경우 저우 군에서 보렐–무어 호몰로지에 대한 준동형사상이 있다.

${𝐶𝐻}_i(X)\to H_{2i}^{BM}(X,𝐙).$

$X$의 i 차원 부분버라이어티가 실수 차원 2i를 갖기 때문에 인수 2가 나타난다. $X$가 복소수에 대해 매끄러우면 이 순환 사상은 준동형 사상

${𝐶𝐻}^j(X)\to H^{2j}(X,𝐙)$

으로서 푸앵카레 쌍대성을 사용하여 다시 작성될 수 있다. 이 경우( $X$는 C에 대해 매끄러움), 이러한 준동형사상은 저우 환에서 코호몰로지 환으로 가는 환 준동형 사상을 형성한다. 직관적으로 이는 저우 환와 코호몰로지 환이 순환의 교차점을 설명하기 때문이다.

매끄러운 복소 사영 버라이어티를 위해 더 풍부한 이론인 들리뉴 코호몰로지를 통해 저우 환에서 일반적인 코호몰로지 인자로 가는 순환 사상을 작성한다. 이는 0과 호몰로지 동치인 순환들에서 intermediate Jacobian로 가는 Abel-Jacobi 사상을 통합한다. 지수열이 ${\text{CH}}^1(X)$가 들리뉴 코호몰로지와 동형으로 사상되지만 j > 1인 ${\text{CH}}^j(X)$에 대해서는 실패함을 보여준다.

임의의 체 k에 대한 스킴 $X$의 경우 저우 군에서 (보렐–무어) 에탈 코호몰로지로 가는 유사한 순환 사상이 있다. $X$ 매끄러울 떄, 이 동형은 저우 환에서 에탈 코호몰로지까지의 환 동형으로 식별될 수 있다.

K-이론과의 관계

체 위의 매끄러운 스킴 $X$의 (대수적) 벡터 다발 E는 ${\text{CH}}^i(X)$에 천 특성류 c_i( E )를 가지며 위상에서와 동일한 형식 속성을 갖는다. 천 특성류는 벡터 다발과 저우 군의 긴밀한 연결을 제공한다. 즉, K₀(X)를 $X$에 있는 벡터 다발의 그로텐디크 군이라고 가정한다. 그로텐디크-리만-로흐 정리의 일부로 그로텐디크는 천 특성이 다음 동형사상을 제공한다는 것을 보여주었다.

$K_0(X){\otimes }_{𝐙}𝐐\cong \prod _i{𝐶𝐻}^i(X){\otimes }_{𝐙}𝐐.$

이 동형은 대수 순환에 대한 다른 적절한 동치 관계와 비교하여 유리적 동치의 중요성을 보여준다.

관련 추측들

대수기학과 정수론의 가장 깊은 추측 중 일부는 저우 군을 이해하려는 시도이다. 예를 들어:

• 모델–베유 정리는 제수 유 군 CH _{n -1} ( X )가 수체에 걸쳐 차원 n의 다양한 X에 대해 유한하게 생성된다는 것을 의미한다. 수체에 걸쳐 모든 버라이어티에 대해 모든 저우 군이 유한하게 생성되는지 여부는 미해결 문제이다. L-함수의 특수 값에 대한 블로흐–가토 추측은 이러한 군이 유한하게 생성된다고 예측한다. 더욱이, 모듈로 코호몰로지 동치성 순환 군의 순위 및 코호몰로지 0과 동치한 순환 군의 순위는 특정 정수 지점에서 주어진 버라이어티의 L-함수가 사라지는 순서와 동일해야 한다. 이러한 순위의 유한성은 또한 대수 K-이론의 베이스 추측을 따른다.
• 매끄러운 복소 사영 버라이어티 $X$에 대해 호지 추측은 저우 군에서 단일 코호몰로지로 가는 순환 사상의 상(유리수 Q로 텐서됨 )를 예측한다. 유한 생성된 체(예: 유한 체 또는 수 체)에 대한 매끄러운 사영 버라이어티을 위해 테이트 추측은 저우 군에서 l-진 코호몰로지로 가는 순환 사상의 상( Q_l로 텐서링됨)를 예측한다.
• 모든 체에서 매끄러운 사영 버라이어티 $X$에 대해 블로흐–베일린슨 추측은 강력한 속성을 가진 $X$의 저우 군(유리수로 텐서링됨)에 대한 필터링을 예측한다. 이 추측은 $X$의 단일 또는 에탈레 코호몰로지와 $X$의 저우 군 사이의 긴밀한 연결을 암시한다.

예를 들어, $X$를 매끄러운 복소 사영 곡면으로 가정한다. $X$의 영 순환 저우 군은 동형성 정도에 따라 정수에 사상된다. K를 커널로 둔다. 기하 종수 h ⁰ ( X, Ω ² )이 0이 아닌 경우 멈포드는 K 가 "무한 차원"임을 보여주었다( $X$에 대한 유한 차원 영순환 계열의 상가 아님). 블로흐-벨린슨 추측은 만족스러운 역, 즉 영 순환에 대한 블로흐의 추측을 의미한다. 기하학적 종수가 0인 매끄러운 복소 사영 곡면 $X$의 경우 K는 유한 차원이어야 한다. 보다 정확하게는 알바니즈 버라이어티 $X$의 복합점 군에 동형으로 사상되어야 한다.

저우 군에서 비롯된 개념들

쌍변 이론

풀톤과 MacPherson은 "연산자 저우 환"과 보다 일반적으로 스킴의 모든 사상과 관련된 쌍변 이론을 정의하여 저우 환을 특이 버라이어티로 확장했다. 쌍변 이론은 사상에 군과 환을 각각 할당하는 공변 및 반공변 함자 쌍이다. 이는 공간에 환, 즉 코호몰로지 환을 할당하는 반공변 함수인 코호몰로지 이론을 일반화한다. "쌍변(bivariant)"이라는 이름은 이론이 공변 및 반공변함자를 모두 포함한다는 사실을 의미한다.

이것은 어떤 의미에서 저우 환이 특이 버라이어티로 확장된 가장 기본적인 것이다. 모티브 코호몰로지와 같은 다른 이론은 작동 중인 저우 환에 사상된다.

기타

산술 저우 군은 아라켈로프 이론 정보를 인코딩하는 구성 요소, 즉 연관된 복소 다양체의 미분 형식과 함께 Q에 대한 버라이어티의 저우 군을 융합한 것이다.

체에 대한 유한 유형 스킴의 저우 군 이론은 대수 공간의 이론으로 쉽게 확장된다. 이 확장의 주요 장점은 후자 범주에서 몫을 형성하는 것이 더 쉽고 따라서 대수 공간의 등변 저우 군을 고려하는 것이 더 자연스럽다는 것이다. 훨씬 더 강력한 확장은 스택의 저우 군 확장으로, 이는 일부 특수한 경우에만 구성되었으며 특히 가상 기본류를 이해하는 데 필요한다.

역사

제수의 유리적 동치(선형 동치라고도 함)는 19세기에 다양한 사상로 연구되었으며, 이는 정수론의 이데알 유군과 대수 곡선 이론의 야코비 버라이어티로 이어졌다. 더 높은 여차원 순환의 경우, 1930년대에 프란체스코 세베리가 유리적인 동치성을 도입했다. 1956년에 저우 웨이량은 저우의 이동 보조정리를 사용하여 매끄러운 준사영 버라이어티에 대한 유리적 동치성을 법으로 순환에서 교차곱이 잘 정의되어 있다는 영향력 있는 증명을 제시했다. 1970년대부터 풀턴과 MacPherson은 가능한 한 특이 버라이어티을 사용하여 저우 군에 대한 현재 표준 기반을 제공했다. 그들의 이론에 따르면 매끄러운 버라이어티의 교차곱은 일반 원뿔로의 변형을 통해 구성된다.

같이 보기

• 교차 이론
• 그로텐디크-리만-로흐 정리
• 호지 추측
• 모티브(대수기하학)

참고문헌

서론

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고급

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