등급 대수

틀:위키데이터 속성 추적 틀:대수 구조 환론에서 등급 대수(等級代數, 틀:Llang)는 그 원소들이 어떤 등급(等級, 틀:Llang)을 가진 결합 대수이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

가환환 $K$
모노이드 $(N, \cdot)$
각 $n \in N$ 에 대하여, $K$ -가군 $A_{n}$ . 편의상 $A = ⨁_{n \in N} A_{n}$ 로 표기하자.
$A$ 위의 $K$ -결합 대수 구조

이 구조가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

$A_{m} A_{n} \subseteq A_{m n} (\forall m, n \in N)$
$ϕ (K) \subseteq A_{1}$

이 경우, $A$ 를 $N$ 등급을 가진 등급 대수라고 한다. $K = ℤ$ (정수환) 위의 단위 결합 대수는 환이므로, $ℤ$ 위의 등급 대수는 등급환(等級環, 틀:Llang)이라고 한다.

통상적으로, 등급의 종류가 주어지지 않았을 경우 $N = ℕ$ (음이 아닌 정수들의 덧셈에 대한 모노이드)라고 놓는다. 등급이 $ℤ / 2$ (2차 순환군)인 경우, 등급 대수를 초대수(超代數, 틀:Llang)라고 부르기도 한다.

동급 원소

등급 대수 $A$ 의 원소 $a \in A$ 는 다음과 같이 두 종류로 나뉜다.

만약 $a \in A_{n}$ 인 $n \in N$ 이 존재할 경우 $a$ 를 동급 원소(同級, 틀:Llang)라고 한다. 만약 $a \neq 0$ 이라면 이는 유일하며, $n$ 을 $a$ 의 등급이라고 한다. 이는 보통 $\deg A$ 로 표현한다. (0은 동급 원소이지만, 그 등급은 유일하게 정의될 수 없다.)
만약 $a \in A_{n}$ 인 $n$ 이 존재하지 않을 경우 $a$ 를 비동급 원소(틀:Llang)라고 한다. 예를 들어, 서로 다른 등급의 두 동급 원소들의 합은 비동급 원소다.

준동형

가환환 $K$ 위의, 모노이드 $N$ 등급의 두 등급 대수 $A$ , $B$ 사이의 등급 대수 준동형(틀:Llang) $f : A \to B$ 은 다음과 같은 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.

\deg f (a) = \deg a \forall n \in N, a \in A_{n} ∖ {0}

즉, 등급을 보존하는 결합 대수 준동형이다. 이에 따라, $K$ 위의 $N$ 등급 대수들과 등급 대수 준동형들은 범주 (대수 구조 다양체)

{grAlg}_{K, N}

를 이룬다.

보다 일반적으로, 두 모노이드 사이의 모노이드 준동형 $ϕ : M \to N$ 및 $K$ 위의 $M$ 등급 대수 $A$ 와 $N$ 등급 대수 $B$ 가 주어졌을 때, $ϕ$ 위의 등급 대수 준동형 $f : A \to B$ 은 다음 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.

\deg f (a) = ϕ (\deg a) \forall n \in N, a \in A_{n} ∖ {0}

성질

가환 모노이드 $(N, +, 0)$ 가 추가로 가환 반환의 구조 $(N, +, \cdot, 0, 1)$ 를 가진다고 하자. 또한, 다음과 같은 모노이드 준동형이 존재한다고 하자.

σ : (N, +, 0) \to ({k \in K : k^{2} = 1}, \cdot)

만약 $(N, +)$ -등급 $K$ -대수 $A$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $K$ 가 등급 가환 대수(틀:Llang)라고 한다.

a b = σ (m n) b a \forall a \in A_{m}, b \in A_{n}

물론, 만약 $K$ 의 표수가 2 또는 1이라면 (즉, $+ 1 = - 1$ 이라면) 등급 가환 등급 대수의 개념은 가환 등급 대수의 개념과 일치한다.

연산

직합

가환환 $K$ 와 모노이드 $N$ , $N^{'}$ 이 주어졌을 때, $N$ -등급 $K$ -대수 $A$ 및 $N^{'}$ -등급 $K$ -대수 $A^{'}$ 의 직합(틀:Llang) $A \oplus A^{'}$ 은 다음과 같은 $N \times N^{'}$ -등급 $K$ -대수이다.

$K$ -가군으로서 $A \oplus A^{'}$ 은 가군의 직합이다.
$(A \oplus A^{'})_{n, n^{'}} = A_{n} \oplus A'_{n^{'}}$
$(a, a^{'}) (b, b^{'}) = (a b, a^{'} b^{'}) \forall a, b \in A, a^{'}, b^{'} \in A^{'})$

텐서곱

가환환 $K$ 와 가환 모노이드 $(N, +)$ 이 주어졌을 때, $N$ -등급 $K$ -대수 $A$ , $A^{'}$ 의 텐서곱(틀:Llang) $A \otimes_{K} A^{'}$ 은 다음과 같은 $N$ -등급 $K$ -대수이다.

$K$ -텐서곱으로서 $A \otimes_{K} A^{'}$ 은 가군의 텐서곱이다.
$(A \otimes_{K} A^{'})_{n} = ⨁_{n_{1}, n_{2} \in N : n_{1} + n_{2} = n} A_{n} \otimes_{K} A'_{n}$
$(a \otimes_{K} a^{'}) (b \otimes_{K} b^{'}) = (a b) \otimes (a^{'} b^{'}) \forall a, b \in A, a^{'}, b^{'} \in A^{'}$

보다 일반적으로, $N$ 이 가환 모노이드이며, 그 위에 추가로 가환 반환의 구조가 주어졌다고 하자. 즉, 이 경우 $(N, +)$ -등급 $K$ -대수 $A$ 에 대하여

A_{m} A_{n} \subseteq A_{m + n}

이 된다. 또한, 모노이드 준동형

σ : (N, +) \to ({k \in K : k^{2} = 1}, \cdot)

이 주어졌다고 하자. 그렇다면 두 $(N, +)$ -등급 $K$ -대수 $A$ , $A^{'}$ 에 대하여 등급 텐서곱(틀:Llang) $A {\hat{\otimes}}_{K} A^{'}$ 은 다음과 같은 $N$ -등급 $K$ -대수이다.

$K$ -텐서곱으로서 $A {\hat{\otimes}}_{K} A^{'}$ 은 가군의 텐서곱 $A \otimes_{K} A^{'}$ 이다.
$(A {\hat{\otimes}}_{K} A^{'})_{n} = ⨁_{n_{1}, n_{2} \in N : n_{1} + n_{2} = n} A_{n} \otimes_{K} A'_{n}$
$(a \otimes_{K} a^{'}) (b \otimes_{K} b^{'}) = σ (m, n) (a b) \otimes (a^{'} b^{'}) \forall a \in A, b \in A_{m}, a^{'} \in A'_{n}, b^{'} \in A^{'}$

이는 흔히 $N = ℤ$ 또는 $N = ℕ$ 또는 $N = ℤ / 2$ 이며,

σ : n \mapsto (- 1)^{n}

인 경우 사용된다.

두 등급 가환 $ℤ / 2$ -등급 $K$ -대수 $A$ , $A^{'}$ 이 주어졌을 때, 등급 텐서곱 $A {\hat{\otimes}}_{K} A^{'}$ 역시 등급 가환 대수를 이룬다. 그러나 텐서곱 $A \otimes_{K} A^{'}$ 는 일반적으로 등급 가환 대수가 아니다.

등급의 망각

모노이드 $N$ 등급을 갖는, 가환환 $K$ 위의 등급 대수 $(A_{n})_{n \in N}$ 가 주어졌으며, 모노이드 준동형

q : N \to \tilde{N}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $(A_{n})_{n \in N}$ 에서 등급 구조를 망각하여

A_{\tilde{n}} = ⨁_{n \in q^{- 1} (\tilde{n})} A_{n}

를 정의할 수 있으며,

⨁_{\tilde{n} \in \tilde{N}} A_{\tilde{n}}

은 $\tilde{N}$ -등급 대수를 이룬다. 이는 등급 대수의 범주 사이의 함자

{grAlg}_{K, N} \to {grAlg}_{K, \tilde{N}}

를 이룬다.

예를 들어, 자연수 등급의 대수 $(A_{n})_{n \in ℕ}$ 는 $ℕ \to ℤ / 2$ 를 통해 등급을 망각하여 초대수 $(A_{n})_{n \in ℤ / 2}$ 로 만들 수 있다.

무관 아이디얼

가환환 $K$ 위의, 자연수 등급의 등급 대수 $A = (A_{n})_{n \in ℕ}$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

A_{+} = ⨁_{n > 0} A_{n}

은 $A$ 의 양쪽 아이디얼을 이룬다. 이 양쪽 아이디얼을 무관 아이디얼(無關ideal, 틀:Llang)이라고 한다. 또한, 이에 대한 몫대수는 다음과 같다.

A / A_{+} ≅ A_{0}

a + A_{+} \mapsto a \forall a \in A_{0}

예

위상 공간 $X$ 위의 코호몰로지 환 $H^{∙} (X)$ 은 코호몰로지류의 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 등급환이다.
매끄러운 다양체 $M$ 위의 미분 형식의 공간 $Ω^{∙} (M)$ 은 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 $ℝ$ -등급 대수이다.
모노이드 $M$ 에 대한 모노이드 환은 $M$ 등급을 가진 등급환이다.
클리퍼드 대수는 $ℤ / 2 ℤ$ 등급을 가진 등급 대수이다.
가환환 $K$ 위의 가군 $M$ 위의 텐서 대수 $T (M; K) = ⨁_{n = 0}^{\infty} M^{\otimes_{K} n}$ 는 $ℕ$ -등급 $K$ -대수이며, 이 경우 $T_{n} (M; K) = M^{\otimes_{K} n}$ 이다.
가환환 $K$ 위의 가군 $M$ 위의 외대수 $Λ (M; K) = T (M; K) / (m^{2})_{m \in M}$ 는 $ℕ$ -등급 $K$ -대수이다.
가환환 $K$ 위의 가군 $M$ 위의 대칭 대수 $Sym (M; K) = T (M; K) / (m n - n m)_{m, n \in M}$ 는 $ℕ$ -등급 $K$ -대수이다. 특히, 가환환 $K$ 위의 다항식환 $K [x_{1}, . . ., x_{n}]$ 은 $ℕ$ -등급 $K$ -대수를 이룬다. 이 경우, 등급 대수를 이루는 각 $A_{n}$ 들은 (0을 포함한) $n$ 차 동차다항식들의 집합과 같다.

같이 보기

외부 링크

등급 대수

목차

정의

동급 원소

준동형

성질

연산

직합

텐서곱

등급의 망각

무관 아이디얼

예

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