부풀리기

아핀 평면의 원점의 부풀리기. 회색 직선들은 아핀 평면의 원점을 지나는 직선들이며, 붉은 직선은 부풀리기로 추가된 예외적 곡선이다.

대수기하학에서 부풀리기(틀:Lang)는 대수다양체나 스킴의 특이점을 해소하기 위하여 특이점을 특이점에 대한 사영 접평면으로 대체하는 과정이다.

정의

추상적 정의

스킴 $X$ 위의 준연접 아이디얼 층 $ℐ$가 있다고 하자. 그렇다면, $X$의 $ℐ$에서의 부풀리기는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 스킴 ${\mathrm{Bl}}_{ℐ}X$
• 스킴 사상 $\pi :{\mathrm{Bl}}_{ℐ}X\to X$. 또한, ${\pi }^{-1}ℐ$는 ${\mathrm{Bl}}_{ℐ}X$ 위의 가역층이다. 이에 대응되는 유효 카르티에 인자를 ${\mathrm{Bl}}_{ℐ}X$의 예외 인자(例外因子, 틀:Llang)라고 한다. 만약 이 카르티에 인자가 베유 인자일 경우, 이는 ${\mathrm{Bl}}_{ℐ}X$의 특별한 부분 스킴으로 간주할 수 있다.

이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

• 임의의 스킴 $Y$ 및 스킴 사상 $\varpi :Y\to X$에 대하여, 만약 ${\varpi }^{-1}ℐ$가 $Y$ 위의 가역층이라면, $\varpi =\pi \circ f$가 되는 스킴 사상 $f:Y\to {\mathrm{Bl}}_{ℐ}X$가 유일하게 존재한다.

이는 보편 성질에 의하여 정의되므로, 부풀리기는 만약 존재한다면 (유일한 동형 사상 아래) 유일하다.

구체적 정의

스킴 $X$ 위의 준연접 아이디얼 층 $ℐ$가 있다고 하자. 그렇다면, $X$ 위의 가환 등급환의 층

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{ℐ}^n={𝒪}_X\oplus ℐ\oplus {ℐ}^2\oplus \cdots$

을 정의할 수 있다.

이 경우, 이에 대한 상대 사영 스펙트럼(틀:Llang)을 취할 수 있다.

${\mathrm{Bl}}_{ℐ}X=\underset{\_}{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{ℐ}^n$

이는 정의에 따라 표준적인 스킴 사상

${\pi }_X:{\mathrm{Bl}}_{ℐ}X\to X$

을 갖는다. 이를 $X$의 $ℐ$에서의 부풀리기라고 한다. 이 구성이 추상적 정의의 보편 성질을 충족시킴을 보일 수 있다.

이 스킴 사상은 $X\setminus \mathrm{supp}ℐ$에서 동형 사상이다. 이 경우 아이디얼 층

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{ℐ}^n$

으로 정의되는 카르티에 인자를 예외 인자라고 한다.

성질

$X$가 국소 뇌터 스킴이며, $Y\hookrightarrow X$와 $Z\hookrightarrow X$가 닫힌 몰입이라고 하자. (즉, 이들은 준연접 아이디얼 층으로 정의된다.) 그렇다면, 부풀리기

${\pi }_X:{\mathrm{Bl}}_{Z}X\to X$

를 정의할 수 있다. 이 경우, $Y$의 부풀리기는 다음과 같다.

${\mathrm{Bl}}_{Y\cap Z}X={\mathrm{cl}}_{{\mathrm{Bl}}_{Z}X}({\pi }^{-1}(Y\setminus Z))$

예

${𝔸}_K^n$이 체 $K$에 대한 $n$차원 아핀 공간이라고 하고, ${\mathbb{P}}^{n-1}$이 같은 체에 대한 $n-1$차원 사영 공간이라고 하자. ${𝔸}^n$의 좌표를 $x_1,\dots ,x_n$이라고 하고, ${\mathbb{P}}^{n-1}$의 동차좌표를 $y_1,\dots ,y_n$이라고 하자.

원점 $0\in {𝔸}_K^n$에 대한 부풀리기 ${\mathrm{Bl}}_0{𝔸}_K^n\subseteq {𝔸}_K^n\times {\mathbb{P}}_K^{n-1}$는 다음과 같은 아이디얼로 정의되는 부분 대수다양체이다. 이는 준사영 대수다양체 ${𝔸}_K^n\times {\mathbb{P}}_K^{n-1}⊊{\mathbb{P}}_K^{2n-1}$의 닫힌 부분 대수다양체이므로, $K$에 대한 준사영 대수다양체이다.

${\mathrm{Bl}}_0{𝔸}^n=\{(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n)|x_i{y}_j=x_j{y}_i\mathrm{\forall }i,j=1,\dots ,n\}$.

물론 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재한다.

$\pi :{\mathrm{Bl}}_0{𝔸}^n\to {𝔸}^n$

$(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n)\mapsto (x_1,\dots ,x_n)$.

이 사상은 체가 복소수일 경우 정칙사상(regular map)이다.

이 사상의 올은 다음 두 가지 경우가 있다.

• 원점이 아닌 점 위의 올: 이 경우 올의 유일한 점은 $[y_1:\cdots :y_n]=[x_1:\cdots :x_n]$이다. 즉, 올은 한원소 공간이다.

증명:

이 경우 $x_k\ne 0$인 $k\in \{1,\dots ,n\}$가 존재한다. 그렇다면 임의의 $i\in \{1,\dots ,n\}$에 대하여

$y_i=\frac{x_i}{x_k}{y}_k$

이다. 즉, $y_k$에 의하여 모든 $y$들이 결정된다. 사영 공간의 동차 좌표는 모두 0일 수 없으므로, $y_k\ne 0$이다. 그렇다면 임의로 $y_k=x_k$로 놓을 수 있으며, 그렇다면 $y_i=x_i$이다.

• 원점 위의 올: 이 경우 올은 (자명하게) $\{0\}\times {\mathbb{P}}_K^{n-1}$이다.

이 사상은 쌍유리 사상이며, 구체적으로 원점을 제외하면 대수다양체의 동형 사상이다. $0\in {𝔸}^n$에서는 $E={\pi }^{-1}(0)\cong {\mathbb{P}}^{n-1}$이다. 즉, ${\mathrm{Bl}}_0{𝔸}^n$은 ${𝔸}^n$에서 원점만을 사영 공간 ${\mathbb{P}}^{n-1}$로 대체하여 얻는 공간이며, 예외 인자는 이 사영 공간이다.

마찬가지로, 아핀 공간 속의 임의의 아핀 대수다양체 역시 위와 같이 부풀려질 수 있다. 구체적으로, 아핀 공간 속의 부분 대수다양체 $V\subseteq {𝔸}^n$의 원점에서의 부풀리기는 사영 사상

$\pi :{\mathrm{Bl}}_0{𝔸}^n\to {𝔸}^n$

아래, 부풀리기를 한 점을 제외한 나머지의 원상 ${\pi }^{-1}(V\setminus \{0\})$의 자리스키 폐포이다.

아핀 스킴의 부풀리기

아핀 스킴 $\mathrm{Spec}R$을 생각하자. 이 경우, 그 위의 준연접 아이디얼 층은 아이디얼

$𝔦\subseteq R$

이다. 이 경우, 상대 사영 스펙트럼은 다음과 같은 가환 등급환의 사영 스펙트럼이다.

$B=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{𝔦}^n=R\oplus 𝔦\oplus {𝔦}^2\oplus \cdots =R[t𝔦]\subseteq R[t](\mathrm{deg}t=1)$

만약 $\mathrm{Spec}R$가 추가로 뇌터 스킴이라면, 그 위의 연접 아이디얼 층은 유한 생성 아이디얼

$𝔦=(r_1,\dots ,r_n)\subseteq R$

이며, 이 경우 부풀리기를 정의하는 가환 등급환은 다음과 같다.

$B=R[r_{1}t,r_{2}t,\dots ,r_{n}t]\subseteq R[t](\mathrm{deg}t=1)$

특히, 만약 $𝔦=0$(영 아이디얼)인 경우, $B=R$이다. 반대로, $𝔦=(1)=R$인 경우, $B=R[t]$이다.

자명한 경우

스킴 $X$를 공집합에서 부풀린다면, 이는 $X$와 같다. 이에 대응하는 준연접 아이디얼 층은 ${𝒪}_X$이다. 구체적으로

${\underset{\_}{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}}_X{𝒪}_X[t]={\mathbb{P}}_X({𝒪}_X)=X$

이다. 보다 일반적으로, 스킴을 (${𝒪}_X$ 등의) 가역층에서 부풀린다면, 원래 스킴을 얻는다. 이 사실은 부풀리기의 보편 성질에 의하여 자동적으로 성립한다.

스킴 $X$를 $X$ 전체에서 부풀린다면, 이는 공집합이다. 이에 대응하는 준연접 아이디얼 층은 0이다. 구체적으로

${\underset{\_}{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}}_X({𝒪}_X\oplus 0\oplus 0\oplus \cdots )={\underset{\_}{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}}_X{𝒪}_X={\mathbb{P}}_X(0)=\varnothing$

이다.

역사

부풀리기는 대수다양체의 내재적인 변환이다. 역사적으로 이 구성은 ‘모노이드 변환’(틀:Llang) 또는 ‘시그마 과정’(틀:Llang) 따위로 불렸으며, 외재적으로 (즉, 사영 공간 속으로의 구체적 매장을 통하여) 정의되었지만, 사실 이 구성은 대수다양체의 사영 공간이나 아핀 공간으로의 매장에 의존하지 않는다.

부풀리기에 대하여 헤르비히 하우저(틀:Llang)는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:웹 인용
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