함자 (수학)

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 함자(函子, 틀:Llang 틀:IPA)는 두 범주 사이의 함수에 해당하는 구조로, 대상을 대상으로, 사상을 사상으로 대응시킨다. 함자는 작은 범주의 범주의 사상으로 볼 수 있다.

함자의 개념은 대수적 위상수학에서 위상 공간에 대해 기본군 등의 대수적 구조를 대응시키면서 나타났다. 현재는 현대 수학의 거의 모든 분야에서 다양한 범주들 사이의 관계를 나타내기 위해 함자의 개념을 사용한다.

정의

$C$와 $D$가 범주라 하자. 이때 $C$와 $D$ 사이의 함자 $F:C\to D$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $C$의 임의의 대상 X에 대해 대응되는 D의 대상 $F(X)$
• $C$의 임의의 사상 $f:X\to Y$에 대해 대응되는 D의 사상 $F(f):F(X)\to F(Y)$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• (항등사상의 보존) $F({\mathrm{id}}_X)={\mathrm{id}}_{F(X)}$
• (사상 합성의 보존) $C$의 임의의 사상 $f:X\to Y$와 $g:Y\to Z$에 대해 $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$

다시 말해, 함자는 항등사상과 사상의 합성을 보존한다.

정의역과 공역이 같은 범주인 함자를 자기 함자(自己函子, 틀:Llang)라고 한다. 자기 함자는 작은 범주로 이루어진 범주 $\mathrm{Cat}$의 자기 사상이기도 하다.

공변함자와 반변함자

수학에서는 사상의 방향을 바꾸는 함자를 생각해야 하는 경우도 많이 있다. 따라서 $F$가 $C$에서 $D$로의 반변함자(反變函子, 틀:Llang)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $C$의 임의의 대상 $X$에 대해 대응되는 $D$의 대상 $F(X)$
• $C$의 임의의 사상 $f:X\to Y$에 대해 대응되는 $D$의 사상 $F(f):F(Y)\to F(X)$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• (항등사상의 보존) $F({\mathrm{id}}_X)={\mathrm{id}}_{F(X)}$이다.
• (사상 합성의 반변) $C$의 임의의 사상 $f:X\to Y$와 $g:Y\to Z$에 대해 $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$

즉, 반변함자가 합성사상을 보낼 때 두 사상의 순서가 바뀐다. 위에서 정의한 사상의 방향을 바꾸지 않는 보통의 함자는 반변함자와 구분하기 위해 공변함자(共變函子, 틀:Llang)라고 한다. 다른 방법으로, 범주의 반변함자를 것을 그 쌍대범주의 공변함자로서 정의할 수도 있다. 일부 저자들은 모든 함자를 공변적으로 서술하는 쪽을 선호하며, 따라서 $F:C\to D$가 반변함자라고 말하는 대신 $F:C^{op}\to D$(혹은 $F:C\to D^{op}$)가 (공변)함자라고 말한다.

예

• 상수 함자(틀:Llang): $C$의 모든 대상에 대해 $D$의 특정한 대상 $X$를 대응시키고, $C$의 모든 사상에 대해 X 상의 항등사상을 대응시키는 함자를 상수 함자 혹은 선택 함자라고 한다.
• 대각 함자(틀:Llang): $D$의 대상 $X$를 $X$ 상의 상수 함자로 보내는 함자를 대각 함자라고 한다. 이는 $D$에서 함자 범주 $D^C$로의 함자이다.

역사

‘틀:Llang’라는 단어는 원래 철학자 루돌프 카르나프가 1934년에 언어철학에 대한 저서 《언어의 논리적 구문》(틀:Llang)에서 정의한 용어다.

사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1945년에 카르나프의 용어를 ‘틀:Llang’로 수학에 차용하여 도입하였다. 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

같이 보기

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각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
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