지수열

틀:위키데이터 속성 추적 복소기하학에서, 지수열(指數列, 틀:Llang)은 복소수의 지수 함수로부터 유도되는 층들의 긴 완전열이다.

정의

복소다양체 $M$ 위에서, ${𝒪}_M$이 정칙 함수의 층, ${𝒪}_M^{\times }$이 가역 정칙 함수의 층이라고 하자. 이는 둘 다 아벨 군의 층이다. 그렇다면, 지수 함수

$\exp (2\pi i\cdot (-)):ℂ\to {ℂ}^{\times }$

로부터, 층의 사상

$\exp :{𝒪}_X\to {𝒪}_X^{\times }$

을 정의할 수 있다. 이로 인하여, 다음과 같은 층의 짧은 완전열이 존재한다.

$0\to \underset{\_}{\mathbb{Z}}\to {𝒪}_M\stackrel{\exp (2\pi i\cdot )}{\to }{𝒪}_M^{\times }\to 0$

여기서 $\underset{\_}{\mathbb{Z}}$는 $\mathbb{Z}$의 값을 갖는 상수층이다.

임의의 열린집합 $U\subseteq M$에 대하여, 단면 함자 $\mathrm{\Gamma }(U;-)$를 취하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.

$0\to H^0(U;\underset{\_}{\mathbb{Z}})\to H^0(U;{𝒪}_M)\to H^0(U;{𝒪}_M^{\times })\to H^1(U;\underset{\_}{\mathbb{Z}})\to H^1(U;{𝒪}_M)\to H^1(U;{𝒪}_M^{\times })\to H^2(U;\underset{\_}{\mathbb{Z}})\to H^2(U;{𝒪}_M)\to H^2(U;{𝒪}_M^{\times })\to \cdots$

이를 지수열이라고 한다.틀:Rp

성질

로그의 존재

지수열

$0\to H^0(U;\underset{\_}{\mathbb{Z}})\to H^0(U;{𝒪}_M)\stackrel{\exp (2\pi i\cdot )}{\to }{H}^0(U;{𝒪}_M^{\times })\to H^1(U;\underset{\_}{\mathbb{Z}})$

에서, 지수 함수 $\exp$의 역함수 $\log$가 (적어도 하나 이상) 존재하려면, $\exp$가 전사 함수여야 한다. 따라서, $U$가 단일 연결 공간이라면 ($H^0(U;\mathbb{Z})\cong H^1(U;\mathbb{Z})\cong 0$), 어디서도 0이 아닌 모든 함수는 (적어도 하나의) 로그를 취할 수 있다.

예를 들어, $U={ℂ}^{\times }$인 경우, $z\mapsto 1/z$는 어디서도 0이 아니지만, 로그를 취할 수 없다.

천 특성류

지수열

$\cdots \to H^1(U;\underset{\_}{\mathbb{Z}})\to H^1(U;{𝒪}_M)\to H^1(U;{𝒪}_M^{\times })\to H^2(U;\underset{\_}{\mathbb{Z}})\to H^2(U;{𝒪}_M)\to \cdots$

에서, $H^1(U;{𝒪}_M^{\times })$는 $U$의 피카르 군(해석적 선다발의 텐서곱군)이다.틀:Rp 따라서, 사상 $H^1(U;{𝒪}_M^{\times })\to H^2(M;\mathbb{Z})$는 해석적 선다발을 그 천 특성류로 대응시킨다.

만약 $U$가 슈타인 다양체인 경우, 카르탕 B정리에 의하여

$H^1(U;{𝒪}_M)\cong H^2(U;{𝒪}_M)\cong 0$

이다. 따라서

$H^1(U;{𝒪}_M^{\times })\cong H^2(U;\mathbb{Z})$

이다. 즉, 해석적 선다발들은 2차 코호몰로지류와 (천 특성류에 의하여) 일대일 대응한다.

예

${\mathrm{\Sigma }}_g$가 종수 $g$의 연결 콤팩트 리만 곡면이라고 하자. 그렇다면 특이 코호몰로지 군들은 다음과 같다.

$H^1({\mathrm{\Sigma }}_g;\underset{\_}{\mathbb{Z}})\cong {\mathbb{Z}}^{2g}$

$H^0({\mathrm{\Sigma }}_g;\underset{\_}{\mathbb{Z}})\cong H^2({\mathrm{\Sigma }}_g;\underset{\_}{\mathbb{Z}})\cong \mathbb{Z}$

$H^i({\mathrm{\Sigma }}_g;\underset{\_}{\mathbb{Z}})=0\mathrm{\forall }i>2$

또한, 연결 콤팩트 리만 곡면 위의 정칙 함수는 상수 함수밖에 없으므로, 다음이 성립한다.

$H^0({\mathrm{\Sigma }}_g;{𝒪}_{{\mathrm{\Sigma }}_g})\cong ℂ$

$H^0({\mathrm{\Sigma }}_g;{𝒪}_{{\mathrm{\Sigma }}_g})\cong {ℂ}^{\times }$

또한, 돌보 코호몰로지에 의하여 다음이 성립한다.

$H^1({\mathrm{\Sigma }}_g;{𝒪}_{{\mathrm{\Sigma }}_g})\cong {ℂ}^{h^{0,1}}={ℂ}^g$

$H^p({\mathrm{\Sigma }}_g;{𝒪}_{{\mathrm{\Sigma }}_g})\cong {ℂ}^{h^{0,p}}=0\mathrm{\forall }p>1$

따라서, 지수열은 다음과 같다.

$0\to \mathbb{Z}\to ℂ\to {ℂ}^{\times }\to {\mathbb{Z}}^{2g}\to {ℂ}^g\to \mathrm{Pic}({\mathrm{\Sigma }}_g)\to \mathbb{Z}\to 0\to 0\to 0\to \cdots$

여기서, $\exp (2\pi i\cdot ):ℂ\to {ℂ}^{\times }$는 전사 함수이므로, 이 부분은 끊어 없앨 수 있다. 따라서, 지수열의 자명하지 않은 부분은 다음과 같다.틀:Rp

$0\to {\mathbb{Z}}^{2g}\to {ℂ}^g\to \mathrm{Pic}({\mathrm{\Sigma }}_g)\to \mathbb{Z}\to 0$

따라서, 야코비 다양체(피카르 군의 항등원의 연결 성분)는 다음과 같다.

$\mathrm{J}({\mathrm{\Sigma }}_g)={\mathrm{Pic}}^0({\mathrm{\Sigma }}_g)\cong {ℂ}^g/{\mathbb{Z}}^{2g}$

또한, 네롱-세베리 군은 다음과 같다.

$\mathrm{NS}({\mathrm{\Sigma }}_g)=\mathrm{Pic}(X)/\mathrm{J}({\mathrm{\Sigma }}_g)=\mathbb{Z}$

이 동형은 인자의 차수에 의하여 주어진다.

같이 보기

• 쿠쟁 문제

외부 링크

• 틀:웹 인용