들리뉴-베일린손 코호몰로지

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서 들리뉴-베일린손 코호몰로지(Deligne-Бе́йлинсон cohomology, 틀:Llang) 또는 들리뉴 코호몰로지는 접속을 갖는 원군 $n$-주다발을 나타내는, 미분 형식으로 구성된 공사슬 복합체로서 정의되는 코호몰로지 이론이다. 복소다양체와 매끄러운 다양체에 적용될 수 있다.

정의

매끄러운 다양체 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 아벨 군 사슬 복합체를 정의할 수 있다.

${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(X,\mathrm{U}(1))\stackrel{\frac{\mathrm{d}\ln }{2\pi \mathrm{i}}}{\to }{\mathrm{\Omega }}^1(X)\stackrel{\mathrm{d}}{\to }{\mathrm{\Omega }}^2(M)\stackrel{\mathrm{d}}{\to }{\mathrm{\Omega }}^2(M)\stackrel{\mathrm{d}}{\to }\cdots \stackrel{\mathrm{d}}{\to }{\mathrm{\Omega }}^n(X)$

여기서

• $n$은 임의의 자연수이다. (특히, $X$의 차원과는 관련이 없다.)
• ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(X,\mathrm{U}(1))$는 $X$를 정의역으로, 원군 U(1)을 공역으로 하는 매끄러운 함수의 점별 곱셈군이다.
• ${\mathrm{\Omega }}^k(X)$는 $X$의 $k$차 (실수) 미분 형식의 실수 벡터 공간이다.
• $\mathrm{d}:{\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(X)\to {\mathrm{\Omega }}^{\bullet +1}(X)$는 $X$ 위의 미분 형식의 외미분이다.
• $(1/2\pi \mathrm{i})\mathrm{d}\ln :{𝒞}^{\mathrm{\infty }}(X,\mathrm{U}(1))\to {\mathrm{\Omega }}^1(X)$는 다음과 같다. 우선, 원군을 $\mathrm{U}(1)=\{z\in ℂ:|z|=1\}$으로 여기면, 충분히 작은 열린집합 $U\subseteq X$에서, 함수 $f\upharpoonright U:U\to \mathrm{U}(1)$의 자연 로그 $\ln f$는 분지 절단 없이 매끄럽게 정의될 수 있다. 이 분지에 대하여, $(1/2\pi \mathrm{i})\log f:U\to ℝ$는 실수 값의 매끄러운 함수이다. 물론, 이는 선택된 분지에 의존하며, 분지를 바꾸면 그 값은 상수 $2\pi$씩 바뀌게 된다. 그러나 그 미분 $-\mathrm{i}\mathrm{d}\log f\in {\mathrm{\Omega }}^1(X)$은 분지에 의존하지 않는다. 따라서, 이들을 짜깁기하여 1차 미분 형식 $(1/2\pi \mathrm{i})\mathrm{d}\ln f\in {\mathrm{\Omega }}^1(X)$을 정의할 수 있다.

이 공사슬 복합체를 들리뉴-베일린손 공사슬 복합체(틀:Llang)라고 하며, 그 코호몰로지를 $n$차 들리뉴-베일린손 코호몰로지라고 한다.

위 묘사는 (실수) 매끄러운 다양체에 대한 경우이다. 이 밖에도, 복소다양체에 대한 경우가 존재한다. 이 경우, $k$차 미분 형식 대신 $(k,0)$차 복소 미분 형식을 사용하며, 외미분 $\mathrm{d}$ 대신 정칙 외미분 $\partial :{\mathrm{\Omega }}^{\bullet ,\bullet }(-)\to {\mathrm{\Omega }}^{\bullet +1,\bullet }(-)$을 사용하며, 첫째 항은 복소다양체 $X$ 위의, ${ℂ}^{\times }=ℂ\setminus \{0\}$ 값의 정칙 함수들의 곱셈군이다. (이는 구조층 ${𝒪}_X$의 가역원층 ${𝒪}_X^{\times }$의 단면에 해당한다.)

$\mathrm{\Gamma }({𝒪}_X^{\times };X)\stackrel{\mathrm{d}\ln }{\to }{\mathrm{\Omega }}^{1,0}(X)\stackrel{\partial }{\to }{\mathrm{\Omega }}^{2,0}(X)\stackrel{\partial }{\to }\cdots$

성질

매끄러운 다양체 $X$ 위의 $n$차 들리뉴-베일린손 코호몰로지 ${\mathrm{H}}_{\mathrm{conn}}^n(X)$는 $X$ 위의, 접속을 갖는 원군 $(n-1)$-주다발을 나타낸다.

${\mathrm{H}}_{\mathrm{conn}}^n(X)\cong [X,{\mathrm{B}}^n\mathrm{U}(1)]$

다른 코호모로지 코호몰로지와의 관계

들리뉴-베일린손 공사슬 복합체는 드람 복합체와 유사하지만, 첫째 항이 다르다. 이는 매우 중요한 역할을 한다.

마찬가지로, 표준적인 망각 함자

${\mathrm{H}}_{\mathrm{conn}}^n(X)\to {\mathrm{H}}_{\mathrm{sing}}^n(X;\mathbb{Z})$

가 존재한다. (여기서 공역은 특이 코호몰로지이다.)

보다 일반적으로, 완전열

$0\to {\mathrm{\Omega }}_{\text{int}}^{n-1}(X)\to {\mathrm{\Omega }}^{n-1}(X)\to {\mathrm{H}}_{\mathrm{conn}}^n(X)\to {\mathrm{H}}_{\text{sing}}^n(X;\mathbb{Z})\to 0$

이 존재한다. 여기서, 사상 ${\mathrm{\Omega }}^{n-1}(X)\to {\mathrm{H}}_{\mathrm{conn}}^n(X)$은 원군 $n$-주다발 위의 접속이 $(n-1)$차 미분 형식으로 정의됨을 뜻하며, 사상 ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{int}}^{n-1}(X)\to {\mathrm{\Omega }}^{n-1}(X)$은 같은 접속을 나타내는 두 $(n-1)$차 미분 형식의 차이는 정수 주기(틀:Llang)의 미분 형식임을 뜻한다.

또한, 완전열

${\mathrm{H}}^n(X;\mathrm{U}(1))\to {\mathrm{H}}_{\mathrm{conn}}^n(X)\to {\mathrm{\Omega }}^n(X)$

이 존재한다. 여기서

• ${\mathrm{H}}_{\mathrm{conn}}^n(X)\to {\mathrm{\Omega }}^n(X)$은 접속을 갖는 $n$-주다발의 곡률이 $n$차 미분 형식임을 뜻한다.
• ${\mathrm{H}}^n(X;\mathrm{U}(1))\to {\mathrm{H}}_{\mathrm{conn}}^n(X)$은 같은 곡률을 갖는 두 $n$-주다발의 차는 평탄한 $n$-주다발임을 뜻한다.

역사

피에르 들리뉴가 1971년에 복소다양체에 대하여 도입하였다. 이후 1993년에 장뤼크 브릴린스키(틀:Llang)가 이 이론이 매끄러운 다양체에 대해서도 잘 작동한다는 것을 밝혔다.틀:Rp

같이 보기

• 다발 제르브
• 모티브 코호몰로지
• 호지 구조

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab