벡터 다발

틀:위키데이터 속성 추적 위상수학 및 미분기하학에서 벡터 다발(틀:Llang)은 올에 위상 벡터 공간의 구조가 주어진 올다발이다.^[1]^[2]^[3]

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

위상 공간 $X$
위상환 $K$
$K$ 위의 위상 왼쪽 가군 $_{K} V$
올다발 $π : E ↠ X$
각 $x \in X$ 에 대하여, 올 $E_{x} = π^{- 1} (x)$ 위의 $K$ -위상 왼쪽 가군 구조

만약 $X$ 가 다음과 같은 호환 조건을 만족시키는 열린 덮개 $(U_{i})_{i \in I}$ 및 위상 동형 사상들의 족

{(ϕ_{i} : U \times V \to π^{- 1} (U))}_{i \in I}

를 가질 수 있다면, 올다발 $(X, E, π)$ 를 올 $V$ 의 왼쪽 가군 다발(-加群-, 틀:Llang)이라 한다.

임의의

i \in I

및

x \in U_{i}

에 대하여

ϕ_{i} (x, -) : v \mapsto ϕ_{i} (x, v)

는

V

와 올

E_{x}

사이의

K

-위상 왼쪽 가군 동형을 정의한다.

위와 같은 구조 $(U_{i}, ϕ_{i})_{i \in I}$ 를 $E$ 의 국소 자명화(局所自明化, 틀:Llang)라고 한다. 그러나 국소 자명화의 구조는 벡터 다발을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다.

마찬가지로 오른쪽 가군 다발(-加群-, 틀:Llang)을 정의할 수 있다. 만약 $K$ 가 가환 위상환이라면 왼쪽·오른쪽을 구별하지 않아도 된다.

만약 위상환 $K$ 가 위상체일 경우, 이에 대한 가군 다발은 벡터 다발이라 한다.

만약 $K$ 가 위상체이며 $V = K$ 일 경우, 올이 $K$ 인 벡터 다발을 선다발(線다발, 틀:Llang)이라고 한다.

만약 $V$ 가 바나흐 공간일 경우 올이 $V$ 인 벡터 다발을 바나흐 다발(틀:Llang)이라고 한다. 이와 마찬가지로 힐베르트 공간 올을 갖는 힐베르트 다발(틀:Llang)이나 국소 볼록 공간 올을 갖는 국소 볼록 벡터 다발(틀:Llang)을 정의할 수 있다.

매끄러운 벡터 다발

미분기하학을 전개하기 위해서는 연속 함수 대신 매끄러운 함수를 사용해야 한다. 즉, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $X$
유클리드 공간 $ℝ^{n}$
매끄러운 올다발 $π : E ↠ X$
각 $x \in X$ 에 대하여, 올 $E_{x} = π^{- 1} (x)$ 위의 $n$ 차원 실수 벡터 공간 구조

만약 $X$ 가 다음과 같은 호환 조건을 만족시키는 열린 덮개 $(U_{i})_{i \in I}$ 및 미분 동형 사상들의 족

{(ϕ_{i} : U \times ℝ^{n} \to π^{- 1} (U))}_{i \in I}

를 가질 수 있다면, 올다발 $(X, E, π)$ 를 $n$ 차원 매끄러운 벡터 다발(-vector-, 틀:Llang)이라 한다.

임의의

i \in I

및

x \in U_{i}

에 대하여

ϕ_{i} (x, -) : v \mapsto ϕ_{i} (x, v)

는

V

와 올

E_{x}

사이의 실수 벡터 공간 동형을 정의한다.

이 경우, 벡터 다발의 전체 공간 역시 매끄러운 다양체를 이루어야 하므로, 그 스칼라체는 실수체를 사용하고, 차원이 유한해야만 한다.

벡터 다발 사상

위상 공간 $X$ 와 위상환 $K$ 가 주어졌다고 하자. $X$ 위의 두 $K$ -왼쪽 가군 다발 $E, E^{'} ↠ X$ 사이의 가군 다발 사상(加群-寫像, 틀:Llang) $f : E \to E^{'}$ 은 다음 조건을 만족시키는 다발 사상이다.

임의의 $x \in X$ 에 대하여, $f$ 로 정의되는 함수 $E_{x} \to E'_{x}$ 는 $K$ -위상 왼쪽 가군의 사상이다 (즉, 연속 함수이자 $K$ -가군 준동형이다).

마찬가지로, 매끄러운 다양체 $X$ 위의 두 매끄러운 벡터 다발 $E, E^{'} ↠ X$ 사이의 매끄러운 벡터 다발 사상(-vector-寫像, 틀:Llang)은 매끄러운 함수인 벡터 다발 사상이다.

연산

위상 가군 또는 위상 벡터 공간에 가할 수 있는 연산(직합, 텐서곱, 연속 쌍대 공간 등)을 가군 다발 또는 벡터 다발에 올마다 가하여 정의할 수 있다.

직합

위상 공간 $X$ 위의, 같은 위상환 $K$ 에 대한 왼쪽 가군 다발 $E, E^{'} ↠ X$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 두 왼쪽 가군 다발의 직합 $E \oplus E^{'}$ 을 정의할 수 있다. 각 $x \in X$ 에서 $E \oplus E^{'}$ 의 올은 다음과 같다.

(E \oplus E^{'})_{x} = E_{x} \oplus E'_{x}

만약 $X$ 가 매끄러운 다양체이며, $E$ 와 $E^{'}$ 이 매끄러운 벡터 다발이라면 $E \oplus E^{'}$ 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

텐서곱

위상 공간 $X$ 위의, 같은 가환 위상환 $K$ 에 대한 가군 다발 $E, E^{'} ↠ X$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 두 가군 다발의 텐서곱 $E \otimes_{K} E^{'}$ 을 정의할 수 있다. 각 $x \in X$ 에서 $E \otimes_{K} E^{'}$ 의 올은 다음과 같다.

(E \otimes_{K} E^{'})_{x} = E_{x} \otimes_{K} E'_{x}

만약 $X$ 가 매끄러운 다양체이며, $E$ 와 $E^{'}$ 이 매끄러운 벡터 다발이라면 $E \otimes_{ℝ} E^{'}$ 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

쌍대 벡터 다발

위상 공간 $X$ 위의, 위상체 $K$ 에 대한 벡터 다발 $E$ 의 쌍대 벡터 다발(雙對vector다발, 틀:Llang) $E^{*}$ 는 각 올이 $E$ 의 연속 쌍대 공간인 벡터 다발이다.

E_{x}^{*} = (E_{x})^{'}

만약 $X$ 가 매끄러운 다양체이며, $E$ 가 매끄러운 벡터 다발이라면 $E^{*}$ 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

성질

위상 공간 $X$ 위의, 위상체 $K$ 에 대한 벡터 다발들의 범주는 가법 범주를 이루지만, 일반적으로 핵과 여핵을 갖지 못해 아벨 범주를 이루지 못한다. (이 문제를 해결하기 위해, 대수기하학에서는 보통 연접층을 대신 사용한다.)

코쥘 접속

틀:본문 벡터 다발 위에는 벡터 다발 구조와 호환되는 에레스만 접속인 코쥘 접속이라는 구조를 정의할 수 있다.

분류

틀:본문 위상 공간 위의 유한 차원 실수 또는 복소수 벡터 다발들은 위상 K이론이라는 환으로 분류된다.

예

자명한 벡터 다발

임의의 위상 공간 $X$ 및 위상 벡터 공간 $V$ 에 대하여, $X \times V$ 는 자명한 벡터 다발을 이룬다. 만약 $X$ 가 매끄러운 다양체이며 $V = ℝ^{n}$ 이 유클리드 공간이라면 이는 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

접다발

틀:본문 임의의 매끄러운 다양체 위에는 접다발이라는 매끄러운 벡터 다발이 존재하며, 그 차원은 다양체 자체의 차원과 같다.

연관 벡터 다발

틀:본문 위상 공간 $X$ 위의 주다발과, 주다발의 구조 위상군의 연속 표현이 주어졌을 때, $X$ 위에 연관 벡터 다발이라는 벡터 다발을 구성할 수 있다.

이산 공간

한원소 공간 ${∙}$ 위의 $K$ -벡터 다발의 개념은 $K$ -위상 벡터 공간의 개념과 동치이며, 한원소 공간 ${∙}$ 위의 매끄러운 벡터 다발의 개념은 유한 차원 실수 벡터 공간의 개념과 동치이다.

각주

틀:각주

같이 보기

외부 링크

틀:전거 통제

[1] 틀:서적 인용

[2] 틀:서적 인용

[3] 틀:서적 인용

[1]

[2]

[3]

벡터 다발

목차

정의

매끄러운 벡터 다발

벡터 다발 사상

연산

직합

텐서곱

쌍대 벡터 다발

성질

코쥘 접속

분류

예

자명한 벡터 다발

접다발

연관 벡터 다발

이산 공간

각주

같이 보기

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벡터 다발

정의

매끄러운 벡터 다발

벡터 다발 사상

연산

직합

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