아이디얼 유군

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 수론과 가환대수학에서 아이디얼 유군(ideal類群, 틀:Llang) 또는 유군(類群, 틀:Llang)은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정하는 아벨 군이다. 아이디얼 유군이 자명군이 아니라면 유일 인수 분해가 성립하지 않는다.

정의

아이디얼을 통한 정의

정역 $R$의 0이 아닌 아이디얼들의 집합 위에 다음과 같은 동치관계를 부여하자.

$𝔞\sim 𝔟⟺\mathrm{\exists }r,s\in R\setminus \{0\}:(r)𝔞=(s)𝔟$

여기서 $(r)$는 $r$로 생성되는 주 아이디얼이다. 이 관계는 동치 관계임을 보일 수 있으며, 또한 아이디얼의 곱셈과 호환된다. 즉, 이에 따른 동치류 집합은 가환 모노이드를 이룬다. 만약 $R$가 데데킨트 정역이라면 이 가환 모노이드는 아벨 군을 이룸을 보일 수 있으며, 이 아벨 군을 $R$의 아이디얼 유군이라고 하고, 아이디얼 유군의 크기를 유수(類數, 틀:Llang)라고 한다.

분수 아이디얼을 통한 정의

아이디얼 유군은 분수 아이디얼로도 정의할 수 있다. 정역 $R$가 주어졌을 때, 다음과 같은 가환 모노이드들을 정의할 수 있다.

• $R$의 분수 아이디얼의 곱셈에 대한 가환 모노이드 $\mathrm{FracIdeal}(R)$. 및 그 가역원군 $\mathrm{FracIdeal}(R{)}^{\times }$. 만약 $R$가 데데킨트 정역이라면 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역원이다 ($\mathrm{FracIdeal}(R{)}^{\times }=\mathrm{FracIdeal}(R)\setminus \{0\}$).
• $R$의 주 분수 아이디얼의 곱셈에 대한 가환 모노이드 $\mathrm{PrFracIdeal}(R)=\{Rr/s:r/s\in \mathrm{Frac}R\}$ 및 그 가역원군 $\mathrm{PrFracIdeal}(R{)}^{\times }=\{Rr/s:r/s\in (\mathrm{Frac}R{)}^{\times }\}$. (여기서 $\mathrm{Frac}R$는 분수체이다.)

이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다.

$\begin{array}{cccc}& \mathrm{FracIdeal}(R{)}^{\times }& ⊊& \mathrm{FracIdeal}(R)\\ & \cup & & \cup \\ \mathrm{PrFracIdeal}(R)\cap \mathrm{FracIdeal}(R{)}^{\times }=& \mathrm{PrFracIdeal}(R{)}^{\times }& ⊊& \mathrm{PrFracIdeal}(R)\end{array}$

그렇다면 다음과 같은 몫군을 $R$의 아이디얼 유군이라고 한다.

$\mathrm{Cl}(R)=\frac{\mathrm{FracIdeal}(R{)}^{\times }}{\mathrm{PrFracIdeal}(R{)}^{\times }}$

$R$의 분수체 $\mathrm{Frac}R$가 형식적 실체라고 하자. $R$의 원소 $r\in R$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것을 완전히 양의 원소(틀:Llang)라고 한다.

• 임의의 순서체 $(K,\le )$로의 매장 $\iota :\mathrm{Frac}R\hookrightarrow K$에 대하여, $\iota (r)>0$이다.

그렇다면, 다음과 같은 추가 아벨 군을 정의할 수 있다.

• $R$의 완전히 양의 주 분수 아이디얼(틀:Llang)의 아벨 군 ${\mathrm{PrFracIdeal}}_{+}(K)\subseteq \mathrm{PrFracIdeal}(K{)}^{\times }$. 이는 완전히 양의 원소로 생성되는 주 아이디얼들의 곱셈에 대한 아벨 군이다.

그렇다면, 다음과 같은 몫군을 $R$의 좁은 유군(틀:Llang)이라고 한다.

${\mathrm{Cl}}_{+}(R)=\frac{\mathrm{FracIdeal}(R{)}^{\times }}{{\mathrm{PrFracIdeal}}_{+}(R{)}^{\times }}$

성질

대수적 수체의 대수적 정수환의 아이디얼 유군은 유한 아벨 군이다. (대수적 정수환이 아닌 데데킨트 정역의 경우, 아이디얼 유군이 무한 아벨 군일 수 있다.)

아이디얼 유군은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다. 즉, 데데킨트 정역 $R$의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $R$는 유일 인수 분해 정역이다.
• $R$는 주 아이디얼 정역이다.
• $R$의 아이디얼 유군이 자명군이다.
• $R$의 유수가 1이다.

2항 이차 형식과의 관계

제곱 인수가 없는 정수 $d<0$에 대하여, 다음 두 집합 사이의 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

• 이차 수체의 대수적 정수환 ${𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$의 아이디얼 유군 $\mathrm{Cl}({𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})})$
• $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$의 판별식과 같은 판별식 $b^2-4ac$을 갖는 정수 계수 2항 이차 형식 $a{x}^2+bxy+c{y}^2$들의 집합

제곱 인수가 없는 정수 $d>0$에 대하여, 다음 두 집합 사이의 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

• 이차 수체의 대수적 정수환 ${𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$의 좁은 유군 ${\mathrm{Cl}}_{+}({𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})})$
• $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$의 판별식과 같은 판별식 $b^2-4ac$을 갖는 정수 계수 2항 이차 형식 $a{x}^2+bxy+c{y}^2$들의 집합

따라서, 이 경우 정수 계수 2항 이차 형식들의 집합은 자연스럽게 아벨 군의 구조를 가진다.

구체적으로, ${𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$의 모든 0이 아닌 분수 아이디얼 $\Im \in \mathrm{FracIdeal}({𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})})$은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.틀:Rp

$\Im =\mathbb{Z}{\omega }_1+\mathbb{Z}{\omega }_2({\omega }_1,{\omega }_2\in \mathbb{Q}(\sqrt{d}),\frac{{\overline{\omega }}_1{\omega }_2-{\omega }_1{\overline{\omega }}_2}{\sqrt{d}}>0)$

(여기서 $\overline{a+b\sqrt{d}}=a-b\sqrt{d}$이다.) 그렇다면, 위와 같은 꼴의 분수 아이디얼 $\mathbb{Z}{\omega }_1+\mathbb{Z}{\omega }_2$에 대응하는 정수 계수 2항 이차 형식은 다음과 같다.

$Q_{{\omega }_1,{\omega }_2}(x,y)=\frac{({\omega }_{1}x-{\omega }_{2}y)({\overline{\omega }}_{1}x-{\overline{\omega }}_{2}y)}{\mathrm{N}(\Im )}$

여기서

$\mathrm{N}(\Im )=\left|\frac{{\omega }_1{\overline{\omega }}_2-{\overline{\omega }}_1{\omega }_2}{\sqrt{d}}\right|>0$

는 분수 아이디얼의 절대 아이디얼 노름(틀:Llang)이다. 즉, 분수 아이디얼 $\Im =𝔞/r$에 대하여, 다음과 같다.

$\mathrm{N}(𝔞/r)=\frac{|{𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}/𝔞|}{|{\mathrm{N}}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q}}(r)|}\in {\mathbb{Q}}^{+}(𝔞\subseteq R,r\in R)$

(여기서 분자는 몫환의 크기이며, 분모는 체 노름의 절댓값이다.)

예

일반적으로 아이디얼 유군은 매우 복잡한 패턴을 보이며, 많은 경우 계산하기 힘들다. 계산된 아이디얼 유군 또는 유수들의 예를 다음 표에 수록하였다.

수체	유군	유수
$\mathbb{Q}$	1	1
$\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$, $d=1,2,3,7,11,19,43,67,163$	1	1
$\mathbb{Q}[\sqrt{-5}]$	$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$	2
$\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$, $d=2,3,5,6,7,11,13,14,17,\dots$ 틀:OEIS	1	1
$\mathbb{Q}({\zeta }_n)$, $n=1,\dots ,21,24,25,27,28,32,33,35,36,40,44,45,48,60,84$ 틀:OEIS	1	1
$\mathbb{Q}({\zeta }_{23})$	$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$	3
$\mathbb{Q}({\zeta }_{29})$	$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^3$	8
$\mathbb{Q}({\zeta }_{31})$		9
$\mathbb{Q}({\zeta }_{68})$	$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$	8
$\mathbb{Q}[x]/(x^3-x^2-2x+1)$	1	1
$\mathbb{Q}[x]/(x^3-3x-1)$	1	1
$\mathbb{Q}[x]/(x^3-x^2-3x+1)$	1	1

아이디얼 유군이 자명한 허수 이차 수체의 수는 유한하다. $\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$에서 가능한 $d$는 총 9개이며, 다음과 같다.

d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 틀:OEIS

이 수들을 헤그너 수라고 한다. 이들은 카를 프리드리히 가우스가 처음 나열하였고, 쿠르트 헤그너(Kurt Heegner)가 이 목록이 전부라는 것을 증명하였다.

실수 이차 수체 $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ 가운데 유수가 1인 경우는 더 많으며, 다음과 같다.틀:Rp

d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, … 틀:OEIS

아이디얼 유군이 자명한 원분체의 수는 유한하다. $\mathbb{Q}[{\zeta }_n]$이 유한한 경우는 다음과 같다.

n = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 틀:OEIS

여기서 만약 $n\equiv 2(\mathrm{mod}4)$라면 $\mathbb{Q}[{\zeta }_n]=\mathbb{Q}[{\zeta }_{n/2}]$이므로, 이러한 경우는 생략하였다.

소수 계수의 원분체 $\mathbb{Q}[{\zeta }_p]$의 유수는 틀:OEIS에 의하여 주어진다.

같이 보기

• 유수 공식
• 이델 유군
• 아이디얼
• 주 아이디얼 정역
• 대수적 K이론
• 갈루아 이론
• 페르마의 마지막 정리
• 피카르 군: 대수기하학에 나타나는 유군의 일반화

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab