천 특성류

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학과 미분기하학에서 천 특성류([陳]特性類, 틀:Llang)는 복소 벡터 다발에 대한 특성류이다. 매끄러운 다양체 위의 한 벡터 다발에 대한 위상적 불변량이다. 두 벡터 다발이 사실 같은 다발인지 판별하는 데 유용하다.

천 특성류와 천 지표는 아티야-싱어 지표 정리 및 그로텐디크-리만-로흐 정리 등에서 쓰인다.

정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 복소 벡터 다발 $E$를 생각하자. 벡터 다발에 임의의 코쥘 접속 $A\in C^{\mathrm{\infty }}(T^{*}M\otimes \mathrm{End}(E))$와 그 곡률

$R_A=dA+[A\wedge A]\in C^{\mathrm{\infty }}(\bigwedge {}^2{T}^{*}M\otimes \mathrm{End}(M))$

를 정하자. 그렇다면 다음 다항식을 정의할 수 있다.

$C(t;A)=\det (1+it{R}_A/2\pi )$.

여기서 $t$는 형식적인 변수다. ($R_A$는 2-형식이고, 짝수 차원의 미분형식은 가환하므로 행렬식을 정의할 수 있다.) $C$는 닫혀 있음을 보일 수 있다. 따라서 동치류

$c(t,A)=[C(t;A)]\in \underset{k}{⨁}{H}^{2k}(M;ℂ)[t]$

를 정의할 수 있다. 이는 코쥘 접속 $A$에 관계없음을 보일 수 있다. 즉

$c(t,A)=c(t)$

이다. 천 특성류의 원소 $c_k\in H^{2k}(M,ℂ)$는 $c(t)$의 테일러 급수

$c(t)=\sum _k{c}_k{t}^k$

의 계수다.

실수 벡터 다발에 대해서도 유사한 특성류를 정의할 수 있는데, 이를 폰트랴긴 특성류라고 한다. 또한, 슈티펠-휘트니 특성류도 실수 벡터 다발에 대한 천 특성류에 대응하는 객체로 생각할 수 있다.

대수적 천 특성류

천 특성류는 대수기하학에서도 등장한다. 이 경우 천 특성류는 비특이 대수다양체에 대하여 정의되며, 특이 코호몰로지 대신 이보다 더 많은 정보를 담고 있는 저우 환 속의 원소가 된다. 구체적으로, 비특이 준사영 대수다양체 $X$ 위에, $r$차원 국소 자유 가군층 $ℰ$가 주어졌을 때, $ℰ$의 (대수적) 천 특성류틀:Rp

$c^{\bullet }(ℰ)\in A^{\bullet }(X)$

는 (정수 계수) 저우 환 $A^{\bullet }(X)$의 원소이다. 마찬가지로, (대수적) 천 지표틀:Rp

$\mathrm{ch}(ℰ)\in A^{\bullet }(X){\otimes }_{\mathbb{Z}}ℂ$

를 유리수 계수 저우 환 속에 정의할 수 있다.

성질

복소수 $n$차원 복소다양체 $M$의 접다발 $TM$의 천 특성류 $c_k(TM)$는 $TM$이 $(n-k+1)$개의, 모든 곳에서 선형 독립인 단면을 갖는 것에 대한 방해 조건(틀:Llang)이다. 즉, $c_k(TM)=0$이어야지만 이만큼의 선형 독립 벡터장들이 존재할 수 있다.틀:Rp 특히, $c_n(TM)$은 모든 곳에서 0이 아닌 벡터장이 존재할 방해 조건이며, $c_1(TM)$은 모든 곳에서 0이 아닌 (복소수) 필바인이 존재할 방해 조건이다.

복소수 $n$차원 복소다양체 $M$의 최고차 천 특성류 $c_n(TM)$는 그 오일러 특성류 $e(TM)$과 같다.

예

자명한 복소수 벡터 다발의 천 특성류는 항상 0이다. 벡터 다발의 쌍대다발의 천 특성류는 원래 벡터 다발의 천 특성류의 −1배이다.

$c(E^{*})=-c(E)$

리만 곡면

콤팩트 리만 곡면 $\mathrm{\Sigma }$ 위의, 인자 $D$에 대응하는 선다발 $ℒ(D)$의 천 수는 그 차수 $\mathrm{deg}D$와 같다.

$c(ℒ(D))=1+(\mathrm{deg}D)[\mathrm{\Sigma }]\in H^{\bullet }(\mathrm{\Sigma };\mathbb{Z})$

특히, 리만 곡면의 접다발 $\mathrm{T}\mathrm{\Sigma }$ 및 표준 선다발(=공변접다발) ${\mathrm{T}}^{*}\mathrm{\Sigma }$의 차수는 각각 $\chi (\mathrm{\Sigma })=2-2g$ 및 $-\chi (\mathrm{\Sigma })=2g-2$이므로, 이들의 천 특성류는 다음과 같다.

$c(\mathrm{T}\mathrm{\Sigma })=1+\chi (\mathrm{\Sigma })[\mathrm{\Sigma }]$

$c({\mathrm{T}}^{*}\mathrm{\Sigma })=1-\chi (\mathrm{\Sigma })[\mathrm{\Sigma }]$

만약 $g=1$일 경우 (원환면 = 복소수 타원 곡면), 접다발 및 표준 선다발이 자명한 선다발임을 알 수 있다. $g\ne 1$일 경우, 리만 곡면 위의 모든 벡터장 $V$은 적어도 하나의 영점을 갖는다. 이는 푸앵카레-호프 정리

$\sum _{z:V(z)=0}{\mathrm{index}}_{z}V=\chi (\mathrm{\Sigma })$

의 한 예이다.

복소수 사영 공간

복소수 사영 공간 ${ℂ\mathbb{P}}^n$의 경우, 다음과 같은 오일러 완전열이 존재한다.

$0\to {𝒪}_{{ℂ\mathbb{P}}^n}\to {𝒪}_{{ℂ\mathbb{P}}^n}(1{)}^{\oplus (n+1)}\to \mathrm{T}{ℂ\mathbb{P}}^n\to 0$

여기서 ${𝒪}_{{ℂ\mathbb{P}}^n}$은 구조층이며, 이는 자명한 선다발이다 (복소수 사영 공간 위에 존재하는 정칙 함수는 상수 함수밖에 없다). ${𝒪}_{{ℂ\mathbb{P}}^n}(1)$은 세르 뒤틀림층(=${ℂ\mathbb{P}}^n$의 정의에 따라 존재하는 선다발의 쌍대 다발)이다.

완전열의 첫 항이 자명하므로, 복소수 사영 공간의 접다발의 천 특성류는 다음과 같다.

$c(\mathrm{T}{ℂ\mathbb{P}}^n)=c({𝒪}_{{ℂ\mathbb{P}}^n}(1){)}^{n+1}=(1+c_1({𝒪}_{ℂP^n}(1)){)}^{n+1}$

역사

천싱선이 1946년에 도입하였다.

같이 보기

• 폰트랴긴 특성류
• 슈티펠-휘트니 특성류
• 오일러 특성류
• 양자 홀 효과

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
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