귀진 완전열

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서 귀진 완전열(Gysin完全列, 틀:Llang)은 초구 올뭉치에 대하여 존재하는, 밑공간과 전체 공간의 코호몰로지를 잇는 긴 완전열이다.

정의

올이 $k$차원 초구(또는 호몰로지 초구)인 세르 올뭉치

${𝕊}^k\hookrightarrow E\stackrel{\pi }{\twoheadrightarrow }B$

를 생각하자. 또한, $B$가 경로 연결 CW 복합체이며 기본군 ${\pi }_1(B)$는 코호몰로지 환 ${\mathrm{H}}^{\bullet }(B)$ 위에 자명하게 작용한다고 하자. (이는 세르 스펙트럼 열이 존재하기 위한 충분조건이다.) 이 경우, 초구는 오직 0차 및 $k$차 코호몰로지만을 가지므로, 세르 스펙트럼 열의 둘째 쪽은 다음과 같다.

$E_2^{\bullet ,\bullet }=\cdots =E_{k+1}^{\bullet ,\bullet }=|\underset{\_}{\begin{array}{ccc}{\mathrm{H}}^0(B)& {\mathrm{H}}^1(B)& \cdots \\ 0& 0& \cdots \\ ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots \\ {\mathrm{H}}^0(B)& {\mathrm{H}}^1(B)& \cdots \end{array}}$

이 스펙트럼 열은 2번째 쪽부터 $k+1$번째 쪽까지는 그대로이며, $k+2$번째 쪽에서 퇴화한다.

$E_{k+2}^{\bullet ,\bullet }=\cdots =E_{\mathrm{\infty }}^{\bullet ,\bullet }=|\underset{\_}{\begin{array}{ccc}\ker d_{k+1}^{0,k}& \ker d_{k+1}^{1,k}& \cdots \\ 0& 0& \cdots \\ ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots \\ {\mathrm{H}}^0(B)& {\mathrm{H}}^1(B)& \cdots & {\mathrm{H}}^k(B)& \mathrm{coker}{d}_{k+1}^{0,k}& \mathrm{coker}{d}_{k+1}^{1,k}& \cdots \end{array}}$

이 스펙트럼 열은 ${\mathrm{H}}^{p+q}(E)$로 수렴하게 된다. 따라서,

$\frac{{\mathrm{H}}^n(E)}{F^n{\mathrm{H}}^n(E)}=\ker d_{k+1}^{n-k,k}$

$F^{n+1}{\mathrm{H}}^{n+1}(E)=\mathrm{coker}{d}_{k+1}^{n-k,k}$

가 되고, 완전열

$0\to \frac{{\mathrm{H}}^n(E)}{F^n{\mathrm{H}}^n(E)}\to {\mathrm{H}}^{n-k}(B)\stackrel{d_{k+1}^{n-k,k}}{\to }{\mathrm{H}}^{n+1}(B)\to F^{n+1}{\mathrm{H}}^{n+1}(E)\to 0$

이 존재한다. 이제 이들을 다음과 같이 잇자.

$\cdots \to {\mathrm{H}}^n(E)\twoheadrightarrow \frac{{\mathrm{H}}^n(E)}{F^n{\mathrm{H}}^n(E)}\to {\mathrm{H}}^{n-k}(B)\stackrel{d_{k+1}^{n-k,k}}{\to }{\mathrm{H}}^{n+1}(B)\to F^{n+1}{\mathrm{H}}^{n+1}(E)\hookrightarrow {\mathrm{H}}^{n+1}(E)\to \cdots$

이제 ${\mathrm{H}}^{\bullet }(E)/F^{\bullet }{\mathrm{H}}^{\bullet }(E)$ 및 $F^{\bullet }{\mathrm{H}}^{\bullet }(E)$를 생략하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.

$\cdots \to {\mathrm{H}}^n(E)\to {\mathrm{H}}^{n-k}(B)\stackrel{d_{k+1}^{n-k,k}}{\to }{\mathrm{H}}^{n+1}(B)\to {\mathrm{H}}^{n+1}(E)\to \cdots$

이를 귀진 완전열이라고 한다.

성질

귀진 완전열

$\cdots \to {\mathrm{H}}^n(E)\stackrel{{\pi }_{*}}{\to }{\mathrm{H}}^{n-k}(B)\stackrel{e(E)⌣}{\to }{\mathrm{H}}^{n+1}(B)\stackrel{{\pi }^{*}}{\to }{\mathrm{H}}^{n+1}(E)\to \cdots$

에서 각 준동형은 다음과 같이 해석할 수 있다.

• $e(E)⌣:{\mathrm{H}}^{\bullet }(B)\to {\mathrm{H}}^{\bullet +k+1}(B)$은 초구 올뭉치 $E$의 오일러 특성류와의 합곱이다. 구체적으로, ${𝕊}^k$ 올다발 $E$가 주어졌다면, 그 연관 다발, 즉 각 올의 (임의의 내적에 대한) 단위 초구가 $E$가 되는 $k+1$차원 실수 벡터 다발 $\tilde{E}\twoheadrightarrow B$을 정의할 수 있다. $E$의 오일러 특성류는 $\tilde{E}$의 오일러 특성류 $e(\tilde{E})\in {\mathrm{H}}^{k+1}(B;\mathbb{Z})$와 같다.
• ${\pi }^{*}:{\mathrm{H}}^{\bullet }(B)\to H^{\bullet }(E)$는 코호몰로지에 의한 $\pi :E\twoheadrightarrow B$의 당김이다.
• ${\pi }_{*}:{\mathrm{H}}^{\bullet +k}(E)\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(B)$는 귀진 준동형(Gysin準同型, 틀:Llang)이라고 한다. 실수 계수 코호몰로지의 경우, 드람 코호몰로지를 사용한다면 이는 $E$ 위의 미분 형식을 $E$의 올 ${𝕊}^k$에 대하여 적분한 것이다.

역사

스위스의 수학자 베르너 귀진(틀:Llang, 1915~?)이 1941년 박사 학위 논문에서 도입하였다. 이는 귀진이 출판한 유일한 논문이다.

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
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