유한체

틀:위키데이터 속성 추적 체론에서 유한체(有限體, 틀:Llang) 또는 갈루아 체(틀:Llang)는 유한개의 원소를 가지는 체이다.

정의

유한체는 유한 집합인 체이다.

유한체는 항상 양의 표수 $p$ 를 갖는다 ( $p$ 는 소수). 표수가 $p$ 인 유한체의 크기는 항상 $p$ 의 거듭제곱이다. 즉, $p^{n}$ 의 꼴이다 ( $n \in ℤ^{+}$ ). 크기가 $p^{n}$ 인 유한체는 $𝔽_{p^{n}}$ 또는 $GF (p^{n})$ 이라고 쓴다. 크기가 같은 유한체는 서로 동형이다.

구성

크기가 $p^{n}$ 인 유한체 $𝔽_{p^{n}}$ 은 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

우선, $𝔽_{p}$ 는 덧셈에 대한 아벨 군으로서 단순히 순환군 $ℤ / p$ 이다. 곱셈은 일반적인 정수의 곱셈의 p-합동류이다.

$𝔽_{p^{n}}$ 은 다음과 같이 정의할 수 있다. $f (t) \in 𝔽_{p} [t]$ 가 $𝔽_{p}$ 계수를 가진 n차 기약 일계수 다항식이라고 하자. 그렇다면 가환환으로서

𝔽_{p^{n}} ≅ 𝔽_{p} [t] / (f (t))

이다. 여기서 $(f (t))$ 는 $f (t)$ 로부터 생성되는 아이디얼이다. 서로 다른 기약 일계수 다항식을 사용하더라도 얻는 유한체는 서로 동형이다.

$𝔽_{p^{n}}$ 은 다항식 $x^{p^{n}} - x \in 𝔽_{p} [x]$ 의 $𝔽_{p}$ 에 대한 분해체와 동형이다. $x^{p^{n}} - x$ 는 $p^{n}$ 개의 서로 다른 근을 가지므로, $𝔽_{p^{n}}$ 은 $x^{p^{n}} - x$ 의 근들의 집합과 같다.

성질

유한체는 순서체가 될 수 없다. $𝔽_{p^{n}}$ 에서는

\overset{p}{\overset{⏞}{1 + 1 + \dots 1}} = 0

이므로, 순서체가 만족해야 하는 부등식

0 < 1 < 1 + 1 < \dots

을 만족시킬 수 없다.

프로베니우스 자기 동형 사상

틀:본문 유한체 $𝔽_{p^{n}}$ 은 다음과 같은 꼴의 $n$ 개의 자기 동형 사상 $f_{k} : 𝔽_{p^{n}} \to 𝔽_{p^{n}}$ 을 가진다. 이를 프로베니우스 자기 동형 사상이라고 한다. 이는 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 딴 것이다.

f_{k} : x \mapsto x^{p^{k}}

k = 0, 1, 2, \dots, n - 1

물론 $f_{n} = f_{0}$ 이 된다.

따라서, 유한체 $𝔽_{p^{n}}$ 의 자기동형군은 순환군 $ℤ / n$ 이다.

포함 관계

만약 $m ∣ n$ 이라면, 자연스러운 포함 관계

𝔽_{p^{m}} ↪ 𝔽_{p^{n}}

가 존재한다. 이에 따라 표수 p의 모든 유한체들에 대한 귀납적 극한을 취할 수 있다.

\underset{n}{\lim_{\to}} 𝔽_{p^{n}} = {\bar{𝔽}}_{p}

이렇게 얻은 체 ${\bar{𝔽}}_{p}$ 는 임의의 n에 대하여 $𝔽_{p^{n}}$ 의 대수적 폐포이다.

{\bar{𝔽}}_{p} = {\bar{𝔽}}_{p^{n}}

이러한 포함 관계는 프로베니우스 자기 동형 사상과 교환한다. 따라서 ${\bar{𝔽}}_{p}$ 에도 프로베니우스 자기 동형 사상이 존재한다. 이 경우 자기동형군은 정수의 환 $ℤ$ 의 사유한 완비

Aut ({\bar{𝔽}}_{p}) = \hat{ℤ} = \underset{n}{\lim_{\to}} ℤ / n

이다. 이는 자연스럽게 사유한군의 구조를 가진다.

덧셈군과 곱셈군

유한체의 가역원군 $𝔽_{p^{n}}^{\times} = 𝔽_{p^{n}} ∖ {0}$ 은 항상 순환군이다.

𝔽_{p^{n}}^{\times} ≅ Cyc (p^{n} - 1)

유한체 $𝔽_{p^{n}}$ 의 덧셈군은 소수 크기의 순환군들의 직합이다.

(𝔽_{p^{n}}, +) ≅ Cyc (p)^{\oplus n}

예

비교적 작은 유한체의 구조는 다음과 같다.

𝔽₂

+	0	1
0	0	1
1	1	0

×	0	1
0	0	0
1	0	1

𝔽₃

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

×	1	2
0	0	0
1	1	2
2	2	1

𝔽₄

이 경우 기약 일계수 다항식 $t^{2} + t + 1 \in 𝔽_{2} [t]$ 를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

𝔽_{4} ≅ 𝔽_{2} [t] / (t^{2} + t + 1)

아래 표에서는 $A = t$ , $B = t + 1$ 로 표기한다.

+	0	1	A	B
0	0	1	A	B
1	1	0	B	A
A	A	B	0	1
B	B	A	1	0

×	1	A	B
0	0	0	0
1	1	A	B
A	A	B	1
B	B	1	A

같이 보기

참고 문헌

외부 링크

틀:전거 통제

유한체

목차

정의

구성

성질

프로베니우스 자기 동형 사상

포함 관계

덧셈군과 곱셈군

예

𝔽₂

𝔽₃

𝔽₄

같이 보기

참고 문헌

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유한체

정의

구성

성질

프로베니우스 자기 동형 사상

포함 관계

덧셈군과 곱셈군

예

𝔽2

𝔽3

𝔽4

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𝔽₂

𝔽₃

𝔽₄