불 대수

틀:위키데이터 속성 추적 틀:대수 구조 순서론과 추상대수학, 논리학에서 불 대수(Boole代數, 틀:Llang)는 고전 명제 논리의 명제의 격자와 같은 성질을 갖는 격자이다. 즉, 논리적 공리들을 만족시키는 논리합과 논리곱 및 부정의 연산이 정의된 대수 구조이다.

정의

불 대수의 개념은 다양하게 정의할 수 있으며, 이 정의들은 서로 동치이다.

불 대수는 특정 조건을 만족시키는 유계 격자(또는 직교 여원 격자 또는 헤이팅 대수)로 여길 수 있다.
불 대수는 특정 조건을 만족시키는 가환환으로 여길 수 있다.
불 대수의 범주는 스톤 공간(Stone空間, 틀:Llang)이라는 특정 위상 공간의 범주의 반대 범주이다. 이를 통해, 불 대수를 특정 위상 공간 속의 특정 집합족으로 여길 수 있다.

직교 여원 격자를 통한 정의

직교 여원 격자에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 불 대수라고 한다.

분배 격자이다.
임의의 원소 $x \in L$ 에 대하여, $c \land x = ⊥$ 이며 $c \lor x = ⊤$ 인 $c \in L$ 가 유일하게 존재한다. (이는 물론 $\neg x$ 이다.)
(엘칸 법칙 틀:Llang) 임의의 $x, y \in L$ 에 대하여, $\neg (a \land \neg b) = b \lor \neg a \land \neg b$ ^[1]
직교모듈러 격자이며, 임의의 원소 x∈L∖{⊥}에 대하여, 다음 세 조건들을 만족시키는 함수 s:L→{0,1}가 존재한다.^[2]
- $s (⊤) = s (x) = 1$
- 임의의 $a, b \in L$ 에 대하여, $s (a \lor b) \leq \max {s (a), s (b)}$
- 임의의 $a, b \in L$ 에 대하여, $a \leq \neg b$ 라면 $s (a \lor b) = \max {s (a), s (b)}$

불 대수의 준동형은 여원과 $⊤$ 및 $⊥$ 을 보존시키는 격자 준동형이다. 불 대수의 정의는 대수적이므로, 불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.

유계 격자를 통한 정의

유계 격자 $L$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 격자를 불 대수라고 한다.

모듈러 격자이며, 임의의 $x \in L$ 에 대하여, $x \land c = ⊥$ 이자 $x \lor c = ⊤$ 인 원소 $c \in L$ 가 유일하게 존재한다.^[3]
분배 격자이며, 임의의 $x \in L$ 에 대하여, $x \land c = ⊥$ 이자 $x \lor c = ⊤$ 인 원소 $c \in L$ 가 적어도 하나 이상 존재한다.
임의의 $x \in L$ 에 대하여, $x \land c = ⊥$ 이자 $x \lor c = ⊤$ 인 원소 $c \in L$ 가 유일하게 존재하며, 또한 $x = ⋁ A$ 인 $A \subseteq \min (X ∖ {⊥})$ 가 존재한다.^[4]

여기서 $\min (X ∖ {⊥})$ 는 부분 순서 집합 $X ∖ {⊥}$ 의 극소 원소들의 집합이다.

헤이팅 대수를 통한 정의

헤이팅 대수 $H$ 에 대하여,

\neg x = (x ⟹ ⊥)

를 정의하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 헤이팅 대수를 불 대수라고 한다.

(대합) $\neg$ 은 대합이다. 즉, 임의의 $x \in H$ 에 대하여, $\neg \neg x = x$ 이다.
(배중률) 모든 원소 $x \in H$ 에 대하여, $x \lor \neg x = ⊤$ 이다.

이 경우, $(H, \neg)$ 은 직교 여원 격자를 이룬다.

환론적 정의

(단위원을 갖는) 환 $R$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 불 대수라고 한다.

모든 원소가 멱등원이다. 즉, 모든 $x \in B$ 에 대하여, $x^{2} = x$ 이다.^[5]틀:Rp
$R$ 는 유한체 $𝔽_{2}$ 의 직접곱 $𝔽_{2}^{\times κ}$ 의 부분환과 동형이다 ( $κ$ 는 임의의 기수).

특히, 자명환은 불 대수이다. (둘째 정의에서 이는 $κ = 0$ 에 해당한다.)

불 대수 준동형은 두 불 대수 사이의 환 준동형이다.

위상수학적 정의

스톤 공간(틀:Llang)은 콤팩트 완전 분리 하우스도르프 공간이다.^[6] 스톤 공간과 연속 함수의 범주를 $Stone$ 이라고 쓰자.

스톤 공간의 열린닫힌집합들의 족은 유계 격자를 이룬다. 스톤 공간의 열린닫힌집합들의 족과 동형인 유계 격자를 불 대수라고 한다.

열린닫힌집합의 연속 함수 아래의 원상은 열린닫힌집합이다. 따라서, 두 불 대수 $B$ , $B^{'}$ 에 대응하는 스톤 공간 $X$ , $X^{'}$ 가 주어졌을 때, 연속 함수 $f : X^{'} \to X$ 는 함수

f^{- 1} : B \to B^{'}

를 유도한다. 두 불 대수 사이의 불 대수 준동형은 이와 같이 스톤 공간 사이의 연속 함수로 유도될 수 있는 함수이다.

이에 따라, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

Stone ≃ {Bool}^{op}

이 정의가 불 대수의 다른 정의들과 동치라는 사실은 스톤 표현 정리(틀:Llang)라고 한다.

특히, 이 정의는 환론적 정의와 다음과 같은 관계를 갖는다. 모든 가환환에 대하여, 스펙트럼이라는 위상 공간을 대응시킬 수 있으며, 이는 가환환의 범주 $CRing$ 의 반대 범주에서 위상 공간의 범주 $Top$ 로 가는 함자

Spec : {CRing}^{op} \to Top

를 정의한다. 만약 이 가환환이 불 대수를 이룬다면 그 스펙트럼은 스톤 공간을 이룸을 보일 수 있으며, 이는 열린닫힌집합족 함자의 역함자이다. 즉, 다음과 같은 두 함자가 존재하며, 이는 범주의 동치를 이룬다.

Spec : {Bool}^{op} \to Stone

Clopen : Stone \to {Bool}^{op}

불 대수의 스펙트럼은 다음과 같이 직접적으로 묘사할 수 있다. 불 대수의 극대 아이디얼은 극대 순서 아이디얼과 일치하며, 불 대수의 쌍대성에 따라 이는 극대 필터와 일대일 대응한다. 따라서, $2$ 가 두 개의 원소의 불 대수라면, 극대 필터들의 집합은 ${hom}_{Bool} (B, 2)$ 이다. 이 위에 다음과 같은 기저로 생성되는 위상을 부여하면, 스톤 공간을 이룬다.

{{𝒰 \in Spec (B) : b \in 𝒰}}_{b \in B}

이는 $2$ 에 이산 위상을 부여하고, 멱집합 $𝒫 (B) = 2^{B}$ 에 곱위상을 부여한 뒤, $Spec (B) \subset 𝒫 (B)$ 에 부분 공간 위상을 부여한 것과 같다.

범주론적 정의

모든 원순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있다. 이 경우, 부분 순서 집합은 서로 동형인 두 대상이 항상 같은 원순서 집합이며, 헤이팅 대수는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주인 부분 순서 집합이다.

불 대수는 다음 조건을 만족시키는 작은 얇은 범주이다.^[7]

서로 동형인 두 대상은 같다.
유한 완비 범주이며 유한 쌍대 완비 범주이다.
데카르트 닫힌 범주이다.
임의의 두 대상 $X, Y \in 𝒞$ 에 대하여, 다음과 같은 동형이 존재한다. (이들은 드 모르간 법칙을 범주론적 용어로 번역한 것이다.)
$X \times Y ≅ 0^{0^{X} ⊔ 0^{Y}}$

$0^{X \times Y} ≅ 0^{X} ⊔ 0^{Y}$

여기서 $\times$ 는 범주론적 곱이며, $⊔$ 는 쌍대곱이며, $0$ 은 시작 대상이며, $A^{B}$ 는 지수 대상이다.

서로 다른 정의들의 비교

불 대수의 서로 다른 정의들은 다음과 같이 대응된다.

해석	가환환	격자	직교 여원 격자	헤이팅 대수	스톤 공간 $X$ 의 부분 집합	범주론적 정의
논리곱	곱 $x \cdot y$	만남 $x \land y$			교집합 $x \cap y$	곱 $x \times y$
배타적 논리합	합 $x + y$	$x \land y \land c = ⊥$ , $(x \land y) \lor c = ⊤$ 라면, $(x \lor y) \land c$	$(x \lor y) \land \neg (x \land y)$	$(x \lor y) \land ((x \land y) \Rightarrow ⊥)$	$(x ∖ y) \cup (y ∖ x)$	$(x \times 0^{y}) ⊔ (y \times 0^{x})$
논리합	$x + y + x y$	이음 $x \lor y$			합집합 $x \cup y$	쌍대곱 $x ⊔ y$
거짓	덧셈 항등원 $0$	최소 원소 $⊥$			공집합 $\emptyset$	시작 대상 $0$
참	곱셈 항등원 $1$	최대 원소 $⊤$			전체 집합 $X$	끝 대상 $1$
부정	$1 + x$	$x \land c = ⊥$ , $x \lor c = ⊤$ 인 유일한 $c$	직교 여원 $\neg x$	$x \Rightarrow ⊥$	여집합 $X ∖ x$	지수 대상 $0^{x}$
함의	$1 + x + x y$	$x \land c = ⊥$ , $x \lor c = ⊤$ 라면, $c \lor y$	$\neg x \lor y$	$x \Rightarrow y$	$(X ∖ x) \cup y$	지수 대상 $y^{x}$

성질

순서론적 성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

				완비 격자	⇐	완비 헤이팅 대수	⇐	완비 불 대수
								⇓
				⇓		⇓		시그마 대수
								⇓
원순서 집합	⇐	부분 순서 집합	⇐	유계 격자	⇐	헤이팅 대수	⇐	불 대수

불 대수를 가환환으로 여겼을 때, 그 아이디얼은 순서 아이디얼과 일치한다.

환론적 성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

가환환 ⇐ 가환 축소환 ⇐ 가환 반원시환 ⇐ 가환 폰 노이만 정칙환 ⇐ 불 대수

임의의 불 대수 $B$ 는 가환환이고 표수가 2이며 (즉 모든 원소는 자신의 덧셈 역원이다) 따라서 유한체 $𝔽_{2}$ 위의 결합 대수이다.^[5]틀:Rp

증명:

가환성: 임의의 $x, y \in B$ 에 대하여 $0 = (x + y)^{2} - (x + y) = x^{2} + y^{2} + x y + y x - x - y = x y + y x$ 이다.

표수 2: 위에서 $x = y = 1$ 이라면 $0 = 2$ 이다.

(그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 다항식환 $𝔽_{2} [x]$ 는 $x^{2} \neq x$ 이므로 불 대수가 아니다.)

아이디얼

불 대수의 임의의 몫환은 불 대수이다. 불 대수의 임의의 부분환은 불 대수이다.

불 대수의 스펙트럼은 스톤 공간이다. 특히, 불 대수의 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 불 대수 $B$ 의 임의의 극대 아이디얼 $𝔭 \in Spec B$ 에 대한 몫환은 크기 2의 유한체이다.

B / 𝔭 ≅ 𝔽_{2}

불 대수는 폰 노이만 정칙환이며, 따라서 그 위의 모든 가군은 평탄 가군이다.

불 대수의 모든 유한 생성 아이디얼은 주 아이디얼이다. 구체적으로

(x, y) = (x + y + x y)

이다.

범주론적 성질

불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 그 범주는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 자유 대상을 갖는다.

예

멱집합

크기가 16=2^2²인 불 대수. 이는 두 개의 생성원으로 생성되는 자유 불 대수이다.

임의의 집합 $S$ 의 멱집합 $𝒫 (S)$ 은 크기가 $2^{| S |}$ 인 불 대수를 이룬다. 반대로, 모든 유한 불 대수는 어떤 유한 집합의 멱집합의 불 대수와 동형이다. 특히, 공집합의 멱집합 $𝒫 (\emptyset) = {\emptyset}$ 은 가장 작은 불 대수이며, 또한 $⊤ = ⊥$ 인 유일한 불 대수이다.

집합 $S$ 에 대하여, 멱집합 $𝒫 (S)$ 에 대응하는 스톤 공간은 $S$ 의 스톤-체흐 콤팩트화이다.

멱집합과 동형이 아닌 무한 불 대수 또한 존재한다. 예를 들어, 집합 $S$ 및 기수 $κ$ 가 주어졌을 때,

𝒫_{κ} (S) = {T \subset S | κ > \min {| T |, | S ∖ T |}}

로 정의하자. 만약 $κ = 0$ 이거나 $κ \geq ℵ_{0}$ 이라면, 이는 둘 다 불 대수를 이룬다. 예를 들어, $| S | = ℵ_{0}$ 일 경우, $𝒫_{ℵ_{0}} (S)$ 는 크기가 $ℵ_{0}$ 인 불 대수이며, 따라서 멱집합과 동형일 수 없다.

자유 불 대수

불 대수는 대수 구조 다양체를 이루므로, 임의의 생성원의 집합에 대응하는 자유 불 대수가 존재한다.

스톤 표현 정리에 따라서, 임의의 기수 $κ$ 에 대하여, $κ$ 개의 생성원으로부터 생성되는 자유 불 대수에 대응하는 스톤 공간은

{0, 1}^{κ}

이다. 여기서 ${0, 1}$ 은 2개의 점을 가진 이산 공간이며, ${0, 1}^{κ}$ 에는 곱 위상을 준다. 이 경우, $α$ 번째 생성원은 튜플의 $α$ 번째 성분이 1인 모든 원소들로 구성된 열린닫힌집합에 대응한다.

만약 $κ$ 가 유한할 경우, 자유 불 대수의 크기는 $2^{2^{κ}}$ 이며, 만약 $κ$ 가 무한할 경우 자유 불 대수의 크기는 $κ$ 이다.

사유한군

틀:본문 스톤 공간을 이루는 위상군은 사유한군이라고 한다.

응용

논리학

틀:본문 논리학에서, 불 대수는 고전 명제 논리의 모형을 제공한다. 만약 고전 명제 논리를 직관 논리로 약화시키면, 불 대수 대신 헤이팅 대수를 사용하여야 한다.

컴퓨터 과학

불 대수는 디지털 회로 설계에 응용된다. 디지털 회로는 전압의 H(High), L(Low)만으로 정보를 연산하기 때문에, 기본적으로 조합 회로는 불 대수에 있는 논리식을 써서 나타낼 수 있다. (하지만, 플립플롭 등 순차 회로는 단순하게 하나의 논리식으로 나타낼 수 없다.) 높은 전압(H)를 1로, 낮은 전압(L)을 0으로 하는 논리 형식을 정논리, 낮은 전압 (L)을 1로, 높은 전압(H)를 0으로 하는 논리 형식을 부논리라고 한다.

역사

불 대수의 개념은 1847년에 조지 불이 논리학을 형식화하기 위하여 도입하였다.^[8]^[9] 이후 불은 1854년의 저서에서 이 개념을 추가로 설명하였다.^[10] 불은 논리곱과 배타적 논리합을 기초적 연산으로 삼았는데, 이는 오늘날에 불 대수를 가환환의 일종으로 여기는 것과 같다.

이후 윌리엄 스탠리 제번스(틀:Llang, 1835~1882) · 찰스 샌더스 퍼스(1839~1914) · 에른스트 슈뢰더(틀:Llang, 1841~1902) 등이 불의 논리 대수의 연구를 계속하였다. 제번스는 1864년의 저서에서 불이 사용한 배타적 논리합 대신 (배타적이지 않은) 논리합을 최초로 사용하였다.^[11] 이 책에서 제번스는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

1913년 논문에서 미국의 헨리 모리스 셰퍼(틀:Llang, 1882~1964)가 "불 대수"(틀:Llang)라는 용어를 최초로 사용하였다.^[12]^[13]틀:Rp 이 논문에서 셰퍼는 불 대수의 모든 연산을 부정논리곱으로서 정의할 수 있음을 보였다.

스톤 표현 정리는 마셜 하비 스톤이 1936년에 증명하였다.^[5]

같이 보기

각주

틀:각주

외부 링크

[1] 틀:저널 인용

[2] 틀:저널 인용

[3] 틀:저널 인용

[4] 틀:저널 인용

[Stone-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 틀:저널 인용

[6] 틀:서적 인용

[7] 틀:저널 인용

[8] 틀:서적 인용

[9] 틀:저널 인용

[10] 틀:서적 인용

[Jevon-11] 틀:서적 인용

[12] 틀:저널 인용

[13] 틀:저널 인용

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

불 대수

목차

정의

직교 여원 격자를 통한 정의

유계 격자를 통한 정의

헤이팅 대수를 통한 정의

환론적 정의

위상수학적 정의

범주론적 정의

서로 다른 정의들의 비교

성질

순서론적 성질

환론적 성질

아이디얼

범주론적 성질

예

멱집합

자유 불 대수

사유한군

응용

논리학

컴퓨터 과학

역사

같이 보기

각주

외부 링크

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불 대수

정의

직교 여원 격자를 통한 정의

유계 격자를 통한 정의

헤이팅 대수를 통한 정의

환론적 정의

위상수학적 정의

범주론적 정의

서로 다른 정의들의 비교

성질

순서론적 성질

환론적 성질

아이디얼

범주론적 성질

예

멱집합

자유 불 대수

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