멱등원

틀:위키데이터 속성 추적 환론과 모노이드 이론에서, 멱등원(冪等元, 틀:Llang)은 거듭제곱하여도 변하지 않는 원소이다.

정의

범주의 멱등 사상

범주 $𝒞$ 의 자기 사상 $e : X \to X$ 가 $e \circ e = e$ 를 만족시킨다면, $e$ 를 $𝒞$ 의 멱등 사상(틀:Llang)이라고 한다.

만약 $e = g \circ f$ 이며 $f \circ g = {id}_{Y}$ 가 되는 사상 $f : X \to Y$ , $g : Y \to X$ 가 존재한다면, $e$ 를 분할 멱등 사상(틀:Llang)이라고 한다.

$𝒞$ 의 카루비 껍질(틀:Llang) $Split (𝒞)$ 는 다음과 같은 범주이다.

$Split (𝒞)$ 의 대상 $(X, e)$ 는 $𝒞$ 의 대상 $X \in 𝒞$ 과 $X$ 위의 멱등 사상 $e : X \to X$ 의 순서쌍이다.
$Split (𝒞)$ 의 사상 $f : (X, e) \to (X^{'}, e^{'})$ 는 $𝒞$ 의 사상 $f : X \to X^{'}$ 가운데, $e^{'} \circ f = f = f \circ e$ 인 것이다.
$\begin{matrix} X & \overset{e}{\to} & X \\ f ↓ & f ↘ & ↓ f \\ X^{'} & \to e^{'} & X^{'} \end{matrix}$
$(X, e)$ 위의 항등 사상은 $e \in {hom}_{𝒞} (X, X)$ 이다.

카루비 껍질에서, 모든 멱등 사상은 분할 멱등 사상이다.

그렇다면, 충실충만한 함자

𝒞 \to Split (𝒞)

X \mapsto (X, {id}_{X})

f \mapsto f

가 존재한다. 또한, 준층 범주의 동치

PSh (𝒞) ≃ PSh (Split (𝒞))

가 존재하며, 이에 따라 충실충만한 함자

Split (𝒞) \to PSh (Split (𝒞)) ≃ PSh (𝒞)

가 존재한다.

모노이드의 멱등원

모노이드 $(R, \cdot)$ 의 원소 $e \in R$ 가 $e^{2} = e \cdot e = 1$ 을 만족시킨다면, $e$ 를 $R$ 의 멱등원이라고 한다.

모노이드 $R$ 의 멱등원들만으로 구성된 집합 $E \subseteq R$ 에서, 만약

e e^{'} = e^{'} e \forall e \in E

가 성립한다면, $E$ 가 직교 멱등원 집합(틀:Llang)이라고 한다.

모든 원소가 멱등원인 모노이드를 멱등 모노이드(틀:Llang)라고 하며, 그 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. $n$ 개의 원소로 생성되는 자유 멱등 모노이드의 집합의 크기는 다음과 같다. 틀:OEIS

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \prod_{i = 1}^{k} (k - i + 1)^{2^{i}}

환의 멱등원

환은 곱셈 모노이드를 이루며, 환의 멱등원이란 곱셈에 대한 멱등원을 뜻한다.

환 $R$ 의 멱등원 $e \in R$ 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 원시 멱등원(틀:Llang)이라고 한다.

$(e R)_{R}$ 는 $R$ -분해 불가능 오른쪽 가군이다.
$_{R} (R e)$ 는 $R$ -분해 불가능 왼쪽 가군이다.
환 $e R e$ 의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.
$e = e_{1} + e_{2}$ 이자 $e_{1} e_{2} = e_{1} e_{2}$ , $e_{1} \neq 0 \neq e_{2}$ 인 멱등원 $e_{1}, e_{2} \in R$ 가 존재하지 않는다.

환 $R$ 의 멱등원 $e \in R$ 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 국소 멱등원(틀:Llang)이라고 한다.

오른쪽 가군 자기 사상환 $End (e R_{R}, e R_{R})$ 는 국소환이다.
왼쪽 가군 자기 사상환 $End (_{R} R e,_{R} R e)$ 는 국소환이다.
$e R e$ 는 국소환이다.

모든 국소 멱등원은 원시 멱등원이다.

예

멱등 함수

집합의 범주 $Set$ 에서의 멱등 사상은 멱등 함수(틀:Llang)라고 한다. 즉, 집합 $X$ 위의 함수 $e : X \to X$ 가 다음 조건을 만족시키면, $X$ 위의 멱등 함수라고 한다.

임의의 $x \in X$ 에 대하여, $e (e (x)) = e (x)$

멱등 함수 $e : X \to X$ 의 경우, 고정점 집합과 상이 일치한다.

{x \in X : x = e (x)} = {e (x) : x \in X}

또한, 이는 함자

Split (Set) \to Set

(X, e) \mapsto e (X)

(f : (X, e) \to (X^{'}, e^{'})) \mapsto (f |_{e (X)} : e (X) \to e^{'} (X^{'}))

를 이루며, 이는 충실충만한 매장

Set \to Split (Set)

X \mapsto (X, {id}_{X})

f \mapsto f

의 오른쪽 수반 함자를 이룬다.

멱등 함수의 예로서 다음을 들 수 있다.

위상 공간 $X$ 에 대하여, 폐포 $cl : 𝒫 (X) \to 𝒫 (X)$ 는 멱등 함수이다. 그 상이자 고정점 집합은 닫힌집합들이다.
함수 $f : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ 가 $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = (x_{1} - (x_{1} + \dots + x_{n}) / n, \dots, x_{n} - (x_{1} + \dots + x_{n}) / n)$ 으로 정의되었을 때, $f$ 는 멱등 함수이다. $f$ 의 상이자 고정점 집합은 산술 평균이 0인 원소들이다. 이는 분산의 정의에서 산술 평균 대신 제곱 평균을 사용하는 한 가지 동기가 된다.

외부 링크

틀:전거 통제

멱등원

목차

정의

범주의 멱등 사상

모노이드의 멱등원

환의 멱등원

예

멱등 함수

외부 링크

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멱등원

정의

범주의 멱등 사상

모노이드의 멱등원

환의 멱등원

예

멱등 함수

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