원순서 집합

틀:위키데이터 속성 추적 순서론에서 원순서 집합(原順序集合, 틀:Llang)은 그 속의 두 원소를 추이적으로 비교할 수 있는 집합이다. 부분 순서 집합과, 동치 관계를 갖는 집합의 공통적인 일반화이다. 어떤 집합의 몫집합 위의 부분 순서로도 생각할 수 있다.

정의

원순서 집합의 개념은 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 서로 동치이다.

• 순서론적으로, 특별한 이항 관계를 갖춘 집합으로 여길 수 있다.
• 범주론적으로, 특별한 작은 범주로 여길 수 있다.
• 위상수학적으로, 특별한 종류의 위상 공간으로 여길 수 있다.

순서론적 정의

집합 $X$ 위의 원순서는 다음 조건들을 만족시키는 이항 관계 $\lesssim \subseteq X^2$이다.

• (반사성) 임의의 $a\in X$에 대하여, $a\lesssim a$
• (추이성) 임의의 $a,b,c\in X$에 대하여, $a\lesssim b\lesssim c$라면 $a\lesssim c$

원순서를 갖춘 집합을 원순서 집합(틀:Llang, 틀:Lang)이라고 한다. 이 정의에 반대칭성($a\lesssim b\wedge b\lesssim a⟹a=b$)을 추가하면 부분 순서를 얻는다.

범주론적 정의

얇은 범주(-範疇, 틀:Llang) $𝒞$는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.

• 임의의 두 대상 $X,Y\in 𝒞$ 및 그 사이의 두 사상 $f,g:X\to Y$에 대하여, $f=g$이다. 즉, 사상 모임 ${\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)$는 한원소 집합이거나 공집합이다.

범주론적으로, 원순서 집합은 얇은 작은 범주이다. 구체적으로, 원순서 집합 $(X,\lesssim )$은 다음과 같은 범주로 여길 수 있다.

• $(X,\lesssim )$의 대상은 $X$의 원소이다.
• $(X,\lesssim )$의 사상은 $a\lesssim b$인 두 원소의 순서쌍 $(a,b)$이며, 이는 $a$에서 $b$로 가는 사상이다. 즉, 사상 모임이 다음과 같다.

  $\mathrm{hom}(a,b)=\{\begin{array}{cc}\{(a,b)\}& a\lesssim b\\ \varnothing & a\lesssim ̸b\end{array}$

위상수학적 정의

알렉산드로프 공간(Александров空間, 틀:Llang)은 임의의 열린집합들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합이 열린집합인 위상 공간이다.

알렉산드로프 공간의 개념은 원순서 집합의 개념과 동치이다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 $X$에 대하여 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.

$x\lesssim y⟺x\in \mathrm{cl}\{y\}$

여기서 $\mathrm{cl}\{y\}$는 한원소 집합의 폐포이다. 반대로, 임의의 원순서 집합 $(X,\lesssim )$이 주어졌을 때, 상집합을 열린집합으로, 하집합을 닫힌집합으로 하는 위상을 부여할 수 있으며, 이렇게 하여 얻는 위상 공간은 항상 알렉산드로프 공간이다. 사실, 이러한 대응 관계는 원순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 $\mathrm{Proset}$ 및 위상 공간과 연속 함수의 범주 $\mathrm{Top}$ 사이의 한 쌍의 수반 함자

$\mathrm{Proset}\leftrightarrows \mathrm{Top}$

를 이루며, $\mathrm{Top}$를 알렉산드로프 공간의 범주로 제한하면 범주의 동형이 된다.

성질

원순서 집합 $(X,\lesssim )$가 주어졌을 경우, $X$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

$a\sim b\stackrel{\text{def}}{⟺}a\lesssim b\wedge b\lesssim a$

이에 따른 몫집합 $X/\sim$ 위에서 $\lesssim$은 부분 순서를 정의한다. 반대로, 어떤 집합 $X$의 몫집합 위에 부분 순서가 주어졌다면, 이는 $X$ 위의 원순서를 정의한다.

크기가 $n$인 유한 집합 위의 가능한 원순서의 수는 다음과 같다 ($n=0,1,2,\dots$).

1, 1, 4, 29, 355, 6942, 209527, 9535241, 642779354, 틀:OEIS

유한 집합 위의 위상들과 원순서들 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 위상 $𝒯$ (열린집합들의 집합)가 주어졌다면,

$a\lesssim b\stackrel{\text{def}}{⟺}(\mathrm{\forall }U\in 𝒯:b\in U⟹a\in U)$

와 같이 원순서를 정의할 수 있다. 반대로, 원순서 $\lesssim$가 주어졌다면,

$\{\{a:a\lesssim b\}:b\}$

를 기저로 하는 위상을 정의할 수 있다.

예

범주 $𝒞$ 속의 대상 $X\in 𝒞$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주 $\mathrm{Mono}(𝒞)/X$를 다음과 같이 정의하자.

• $\mathrm{Mono}(𝒞)/X$의 대상은 공역이 $X$인 $𝒞$-단사 사상 $m:Y\hookrightarrow X$이다.
• $\mathrm{Mono}(𝒞)/X$의 두 대상 $\iota \in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,X)$, ${\iota }^{\prime }\in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y^{\prime },X)$ 사이의 사상 $f:\iota \to {\iota }^{\prime }$는 $\iota ={\iota }^{\prime }\circ f$가 되는 $𝒞$-사상 $f:Y\to Y^{\prime }$이다.

그렇다면, $\mathrm{Mono}(𝒞)/X$는 (단사 사상의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 $X$의 부분 대상들의 모임 $\mathrm{Sub}(X)$이다.

마찬가지로, 범주 $X\mathrm{\setminus }\mathrm{Epi}(𝒞)$를 다음과 같이 정의하자.

• $X\mathrm{\setminus }\mathrm{Epi}(𝒞)$의 대상은 정의역이 $X$인 $𝒞$-전사 사상 $\pi :X\twoheadrightarrow Y$이다.
• $X\mathrm{\setminus }\mathrm{Epi}(𝒞)$의 두 대상 $\pi \in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)$, ${\pi }^{\prime }\in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y^{\prime })$ 사이의 사상 $f:\pi \to {\pi }^{\prime }$는 $f\circ \pi ={\pi }^{\prime }$가 되는 $𝒞$-사상 $f:Y\to Y^{\prime }$이다.

그렇다면, $X\mathrm{\setminus }\mathrm{Epi}(𝒞)$는 (전사 사상의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 $X$의 몫 대상들의 모임 $\mathrm{Quot}(X)$이다.

같이 보기

• 부분 순서 집합
• 동치 관계
• 전순서 집합
• 상향 원순서 집합

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용