자유 대상

틀:위키데이터 속성 추적 범주론과 추상대수학에서 자유 대상(自由對象, 틀:Llang)은 망각 함자의 왼쪽 수반 함자의 상이다. 대략, 주어진 범주 속에서 특별한 제약을 가하지 않고 생성되는 가장 일반적인 대상으로 생각할 수 있다.

정의

구체적 범주 $\mathrm{Forget}:𝒞\to \mathrm{Set}$가 주어졌다고 하고, 망각 함자 $\mathrm{Forget}$의 왼쪽 수반 함자

$F⊣\mathrm{Forget}$

가 존재한다고 하자. 이 경우, 집합 $S$로부터 생성되는, $𝒞$ 속의 자유 대상은 $F$에 대한 상 $F(S)$이다. 이 경우, 수반 함자의 정의에 따라 표준적 함수 $S\to \mathrm{Forget}(F(S))$가 존재하는데, 이를 표준적 단사 함수(틀:Llang)라고 한다.

구성

대수 구조 다양체의 범주 $𝒱$의 망각 함자는 항상 왼쪽 수반 함자를 가지며, 따라서 항상 자유 대상을 갖는다. 이를 자유 대수(틀:Llang) 또는 항 대수(틀:Llang)라고 한다.

구체적으로 이는 다음과 같이 정의된다. 대수 구조 다양체 $𝒱$의 연산들이 $(f_i{)}_{i\in I}$이며, 그 항수가 $n_i$라고 하자. 또한, $𝒱$에서 성립하는 대수적 관계들이 $(R_j{)}_{j\in J}$라고 하자. 또한, 임의의 집합 $S$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 집합들을 정의할 수 있다.

• $T_0=S$
• $T_{r+1}=T_r\bigsqcup \underset{i\in I}{⨆}\stackrel{n_i}{\overbrace{T_r\times \cdots \times T_r}}$

$(t_1,\dots ,t_{n_i})\in T_r\times \cdots \times T_r$를 $f_i(t_1,\dots ,t_{n_i})$로 표기하자. $T_r$는 대수 구조 연산을 $r$번 이하 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다. 그렇다면, 이들의 합집합

$T=\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_i$

를 정의할 수 있다. 이는 대수 구조 연산을 유한번 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.

$𝒱$를 정의하는 대수적 관계들은 $T$ 위의 동치 관계 $\sim$로 생각할 수 있다. (즉, 대수적 관계에서 등장하는 변수들을 $S$의 임의의 원소들로 치환한다.) 그렇다면, $S$로부터 생성되는 자유 대수 $⟨S⟩$는 몫집합 $T/\sim$이다. 이 위의 대수 연산은 다음과 같다.

$f_i([t_1],[t_2],\dots ,[t_{n_i}])=[f_i(t_1,\dots ,t_{n_i})]$

여기서 $[-]$은 동치 관계 $\sim$에 대한 동치류이다.

예

대수 구조 다양체에서의 자유 대상은 다음이 있다.

• 집합의 범주: 집합 $S$ 위의 "자유 집합"은 $S$ 자신이다.
• 점을 가진 집합의 범주: 집합 $S$ 위의 "자유 점을 가진 집합"은 $S\bigsqcup \{\bullet \}$이다.
• 모노이드의 범주: 클레이니 스타 $S^{*}$
• 군의 범주: 자유군
• 아벨 군의 범주: 자유 아벨 군 ${\mathbb{Z}}^{\oplus |S|}$
• 가환환 $R$ 위의 왼쪽 가군의 범주: 집합 $S$ 위의 자유 가군 $R^{\oplus |S|}$
  • 만약 $R=K$가 나눗셈환일 경우, 모든 가군이 자유 가군이며, 이를 벡터 공간이라고 한다. 이 경우, 집합 $S$ 위의 자유 가군은 $S$를 기저로 하는 벡터 공간 ${\mathrm{Span}}_{K}S$이다.
• 체 $K$ 위의 단위 결합 대수의 범주: 집합 $S$ 위의 자유 단위 결합 대수는 $S$를 기저로 하는 벡터 공간 ${\mathrm{Span}}_{K}S$ 위의 텐서 대수 $T({\mathrm{Span}}_{K}S)$이다.
• 체 $K$ 위의 가환 대수의 범주: 다항식환 $K[S]$
• 체 $K$ 위의 리 대수의 범주: 자유 리 대수

대수 구조 다양체가 아닌 구체적 범주의 경우, 다음과 같은 예가 있다.

• 위상 공간의 범주 $\mathrm{Top}$: 이산 공간
• 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 $\mathrm{CompHaus}$: 집합 $S$에 대응하는 자유 콤팩트 하우스도르프 공간은 이산 공간 $S$의 스톤-체흐 콤팩트화이다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab

같이 보기

• 모나드