곱위상

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 곱위상(-位相, 틀:Llang)은 위상 공간들의 곱집합에 표준적으로 부여되는 위상이다.

정의

위상 공간들의 집합

$\{X_i{\}}_{i\in I}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 곱집합 $\prod _{i\in I}{X}_i$ 위에 다음과 같은 위상들을 부여할 수 있다.

• 곱위상. 이는 위상 공간의 범주 $\mathrm{Top}$에서의 범주론적 곱이다.
• 상자 위상. 이는 곱위상보다 더 섬세한 위상이다. $I$가 유한 집합이라면 이는 곱위상과 일치한다.
• 만약 $X_i$에 거리 함수가 주어졌다면, 균등 위상을 정의할 수 있다.
• $\mathrm{Top}$의 충만한 부분 범주에서의 범주론적 곱. 이는 곱위상보다 더 섬세하며, $I$가 유한 집합일 경우에도 곱위상과 다를 수 있다.

곱위상

곱위상(-位相, 틀:Llang) 또는 티호노프 위상(Тихонов位相, 틀:Llang)은 사영 함수

${\mathrm{proj}}_i:\prod _{i\in I}{X}_i\to X_i$

의 집합에 대한 시작 위상이다. 즉, 이 함수들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다.

곱위상의 한 기저는 다음과 같다.

$ℬ=\{\prod _{i\in I}{U}_i:U_i\in 𝒯(X_i),{\mathrm{\aleph }}_0>|\{i\in I:U_i\ne X_i\}|\}$

여기서 $𝒯(X_i)$는 $X_i$의 열린집합들의 집합이다. 즉, $ℬ$의 원소는 각 $X_i$의 열린집합들의 곱집합 가운데, 오직 유한 개만이 $X_i$ 전체와 다른 것이다.

상자 위상

위 기저에서 ${\mathrm{\aleph }}_0$ (가산 무한 기수) 대신 임의의 무한 기수 $\kappa$를 사용하여 위상의 기저

${ℬ}_{\kappa }=\{\prod _{i\in I}{U}_i:U_i\in 𝒯(X_i),\kappa >|\{i\in I:U_i\ne X_i\}|\}$

를 정의할 수 있으며, ($X_i$들이 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 $\kappa \le |I|$에 대하여 이는 서로 다른 위상을 정의한다. 만약 이 기수가 충분히 클 때 (즉, $\kappa >|I|$일 때), 추가 조건은 자명해진다.

${ℬ}_{\kappa }={ℬ}_{\text{box}}=\{\prod _{i\in I}{U}_i:U_i\in 𝒯(X_i)\}(\kappa >|I|)$

이 기저로 생성되는 위상을 상자 위상(箱子位相, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

따라서, ($X_i$들이 모두 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 ${\mathrm{\aleph }}_0\le \kappa \le |I{|}^{+}$에 대하여, $\kappa$가 클 수록 더 섬세한 위상들을 얻는다.

$ℬ={ℬ}_{{\mathrm{\aleph }}_0}⊊{ℬ}_{{\mathrm{\aleph }}_1}⊊\cdots ⊊{ℬ}_{|I|}⊊{ℬ}_{|I{|}^{+}}={ℬ}_{\text{box}}$

상자 위상을 포함한 ${ℬ}_{\kappa }$-위상은 만약 $I$가 유한 집합이라면 곱위상과 일치한다.

균등 위상

거리 공간들의 집합 $\{(X_i,d_i){\}}_{i\in I}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합 $\prod _i{X}_i$ 위에 다음과 같이 균등 거리 함수(틀:Llang) $d_{\text{unif}}$를 줄 수 있다.

$d_{\text{unif}}(x,y)=\min \{1,\underset{i\in I}{\sup }{d}_i(x,y)\}$

그렇다면 $(\prod _i{X}_i,d_{\text{unif}})$는 거리 공간을 이루며, 이에 의하여 유도되는 위상을 균등 위상(틀:Llang)이라고 한다.

균등 위상은 일반적으로 곱위상보다 더 섬세하다.틀:Rp

콤팩트 생성 곱위상

위상 공간의 범주 $\mathrm{Top}$의 완비 쌍대 반사 부분 범주 $I:𝒞\hookrightarrow \mathrm{Top}$가 주어졌고, $𝒞$가 한원소 공간을 포함한다고 하자.

쌍대 반사 부분 범주라는 것은 포함 함자 $I$가 충실충만한 함자이며 오른쪽 수반 함자 $R:\mathrm{Top}\to 𝒞$를 갖는다는 것이다. 수반 함자의 일반적 성질에 의하여 $I$는 모든 쌍대극한을 보존하며, 반대로 $R$는 모든 극한을 보존하게 된다. 또한, 한원소 공간 $\{\bullet \}$은 구체적 범주의 망각 함자 $\mathrm{Top}\to \mathrm{Set}$를 표현하므로, 망각 함자 $𝒞\to \mathrm{Top}\to \mathrm{Set}$ 역시 극한을 보존하게 된다.

위상 공간의 집합 $\{X_i{\}}_{i\in I}$가 주어졌다고 하고, 이들이 모두 $𝒞$의 원소들로 구성되었다고 하자. 그렇다면, 이들의 곱을 $𝒞$ 속에서 취할 수 있다. 이를

$\prod _{i\in I}^{𝒞}{X}_i=R\left(\prod _{i\in I}{X}_i\right)$

로 표기하자. 망각 함자 $𝒞\to \mathrm{Set}$가 극한을 보존하므로, 이는 집합으로서 단순히 곱집합이다. 그러나 $I$가 극한을 보존하지 않는다면, 이는 곱위상(즉, $\mathrm{Top}$에서의 곱)과 다를 수 있다.

보다 일반적으로, ($𝒞$에 속하지 않을 수 있는) 임의의 위상 공간들의 집합 $\{X_i{\}}_{i\in I}$의 $𝒞$-곱공간을

$R\left(\prod _{i\in I}{X}_i\right)=\prod _{i\in I}^{𝒞}R(X_i)$

로 정의할 수 있다.

이 가운데 대표적인 것은 콤팩트 생성 공간의 범주 $\mathrm{CGTop}$이다. 모든 위상 공간의 범주와 달리 이는 데카르트 닫힌 범주를 이루어, 대수적 위상수학을 간편하게 전개할 수 있다. 이는 $\mathrm{Top}$의 쌍대 반사 부분 범주를 이루며, 그 쌍대 반사 함자를 콤팩트 생성화 $k:\mathrm{Top}\to \mathrm{CGTop}$라고 한다. 이 함자는 유한 극한도 보존하지 않으며, 특히 콤팩트 생성 곱위상 $k(X\times Y)$는 일반적으로 곱위상 $X\times Y$보다 더 섬세하다.

대수적 위상수학에서는 곱위상 $X\times Y$보다 콤팩트 생성 곱공간 $k(X\times Y)$이 더 많이 쓰인다. 예를 들어, CW 복합체의 곱은 ($\mathrm{Top}$) 곱공간이 아니라 콤팩트 생성 곱공간이다.

성질

곱위상과 상자 위상은 다음과 같은 성질들에 대하여 닫혀 있다. (즉, 콤팩트 공간들의 집합의 곱공간은 콤팩트 공간이지만, 콤팩트 공간의 집합들의 상자 곱공간은 콤팩트 공간이 아닐 수 있다.)

성질	곱위상	상자 위상
콤팩트 공간	예 (티호노프 정리)	아니오 (반례: ${ℝ}^{{\mathrm{\aleph }}_0}$)
연결 공간	예	아니오 (반례: ${ℝ}^{{\mathrm{\aleph }}_0}$)
경로 연결 공간	예	아니오 (반례: ${ℝ}^{{\mathrm{\aleph }}_0}$)
콜모고로프 공간	예	예 (콜모고로프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
T1 공간	예	예 (T1 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
하우스도르프 공간	예	예틀:Rp (하우스도르프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
정칙 공간	예	예틀:Rp
완비 정칙 공간	예	예틀:Rp
정규 공간	아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱)	아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱)
이산 공간	아니오	예
비이산 공간	예	예

일반적으로, 분해 가능 제1 가산 공간의 가산 개 곱공간은 분해 가능 제1 가산 공간이다. 그러나 이는 상자 위상에 대하여 성립하지 않는다.

예

가산 무한 개의 실수선 $ℝ$들의 곱집합 ${ℝ}^{{\mathrm{\aleph }}_0}$에서 상자 위상을 부여하자.틀:Rp 이 위상 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 콤팩트 공간이 아니다.
• 연결 공간이 아니다.
• 제1 가산 공간이 아니다.
• 분해 가능 공간이 아니다.
• 이는 완비 정칙 공간이다.
• 만약 연속체 가설이 참이라면 파라콤팩트 공간이다.

역사

상자 위상은 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(틀:Llang, 1880~1964)가 1923년에 도입하였다.틀:Rp

곱위상은 안드레이 티호노프가 1930년에 도입하였다.틀:Rp

콤팩트 생성 곱은 에드윈 헨리 스패니어(틀:Llang)가 1959년에 "약한 위상"(틀:Llang)이라는 이름으로 도입하였다. 스패니어는 $⟨X\times Y⟩$라는 기호를 사용하였다.

각주

• 틀:저널 인용
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• 틀:서적 인용
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외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:웹 인용
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