사유한군

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 사유한군(射有限群, 틀:Llang)은 유한군의 사영 극한으로 얻어지는 위상군이다.

정의

위상군 $G$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상군을 사유한군이라고 한다.틀:Rp

• 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 위상군이다. 즉, 스톤 공간인 위상군이다.
• 하우스도르프 콤팩트 위상군이며, 열린 부분군들로 구성된 $1\in G$의 국소 기저가 존재한다.
• 하우스도르프 콤팩트 위상군이며, 열린 정규 부분군들로 구성된 $1\in G$의 국소 기저가 존재한다.
• 이산 유한군들의 사영 극한과 동형이다.

틀:증명 다음 사실들로부터 따라온다.

• 하우스도르프 위상군들의 사영 극한은 직접곱의 닫힌 부분군이며, 여기에 곱위상의 부분 공간 위상을 준다.
• 콤팩트 공간의 곱공간 및 닫힌집합은 콤팩트 공간이다.
• 완전 분리 공간의 곱공간 및 부분 집합은 완전 분리 공간이다.
• 유한 이산 공간은 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간이다.

틀:증명 끝 틀:증명 위상군 $G$가 하우스도르프 공간이며, 콤팩트 공간이며, 완전 분리 공간이라고 하자. 임의의 열린 근방 $O\ni 1$에 대하여, $H\subseteq O$인 열린 부분군 $H$를 찾으면 충분하다. 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간의 작은 귀납적 차원은 0이므로, $G$는 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 가지며, $1\in U\subseteq O$인 열린닫힌집합 $U$가 존재한다. 이제,

$H=\{g\in G:Ug=U\}$

라고 하자. 자명하게 $H\subseteq U$이며 $H\le G$이므로, $H$가 열린집합임을 보이면 충분하다.

$H=V\cap V^{-1}$

$V=\{g\in G:Ug\subseteq U\}$

이므로, $V$가 열린집합임을 보이면 충분하다. $V$의 정의에 따라, 임의의 $u\in U$ 및 $v\in V$에 대하여, $uv\in U$이므로, $U_{uv}{V}_{uv}\subseteq U$인 열린 근방 $U_{uv}\ni u$ 및 $V_{uv}\ni v$가 존재한다. $\{U_{uv}:u\in U\}$는 $U$의 $X$에서의 열린 덮개이며, $U$는 콤팩트 공간의 닫힌집합이므로 콤팩트 공간이다. 따라서, 유한 부분 덮개 $\{U_{u_{1}v},\dots ,U_{u_{n_v}v}\}$가 존재한다. 그렇다면,

$V_v=V_{u_{1}v}\cap \cdots \cap V_{u_{n_v}v}$

는 열린집합이며, $v\in V_v\subseteq V$이다. 즉, $V$는 열린집합이다. 틀:증명 끝 틀:증명 임의의 열린 부분군 $H\le G$에 대하여,

$G=\underset{gH\in G/H}{⨆}gH$

이며, $G$가 콤팩트 위상군이므로, $H$의 지표는 유한하다. $H$의 켤레 부분군들의 수는 $H$의 정규화 부분군의 지표 $|G:{\mathrm{N}}_G(H)|$이므로, 역시 유한하다. 이제,

$N=\bigcap _{g\in G}gH{g}^{-1}$

라고 하자. $N$은 $G$의 정규 부분군이며, $N\subseteq H$이다. 또한, 유한한 수의 열린집합의 교집합이므로, 열린집합이다. 틀:증명 끝 틀:증명 $𝒩$이 $G$의 열린 정규 부분군들의 집합이라고 하자. 가정에 따라, $𝒩$은 1의 국소 기저이다. 임의의 $N\in 𝒩$에 대하여, 몫군 $G/N$은 몫위상을 주었을 때 위상군을 이룬다. $G/N$은 콤팩트 공간의 연속적 상이므로 콤팩트 공간이며, $N\in G/N$의 원상 $N\subseteq G$가 열린집합이므로 이산 공간이다. 특히, $G/N$은 유한군이다. 또한, $𝒩$은 (포함 관계에 대하여) 하향 원순서 집합을 이루므로, 표준적인 전사 연속 군 준동형

${\varphi }_{N{N}^{\prime }}:G/N^{\prime }\to G/N(N^{\prime }\subseteq N)$

들을 사용하여 사영 극한

$\underset{N\in 𝒩}{\underleftarrow{\lim }}G/N$

을 정의할 수 있다.

이제, 표준적인 전사 연속 군 준동형

${\varphi }_N:G\to G/N$

을 생각하자. 사영 극한의 보편 성질에 따라, 연속 군 준동형

$\varphi :G\to \underset{N\in 𝒩}{\underleftarrow{\lim }}G/N$

${\pi }_N\circ \varphi ={\varphi }_N\mathrm{\forall }N\in 𝒩$

이 존재한다. $\varphi$가 위상군의 동형임을 보이면 충분하다. 그런데 $G$와 $\underset{N\in 𝒩}{\underleftarrow{\lim }}G/N$ 모두 콤팩트 하우스도르프 공간이므로, $\varphi$가 전단사 함수임을 보이면 충분하다.

• $\varphi$는 단사 함수
  • $\ker \varphi =\bigcap _{N\in 𝒩}N$이다. $𝒩$이 1의 국소 기저이며, $G$가 하우스도르프 공간이므로, $\ker \varphi =\{1\}$이다.
• $\varphi$는 전사 함수
  • 임의의 $x=(x_N{)}_{N\in 𝒩}\in \underset{N\in 𝒩}{\underleftarrow{\lim }}G/N$에 대하여, ${\varphi }^{-1}(x)=\bigcap _{N\in 𝒩}{\varphi }_N^{-1}(x_N)$이다. 모든 ${\varphi }_N^{-1}(x_N)$은 콤팩트 공간 $G$의 닫힌집합이다. 임의의 유한 집합 $\{N_1,\dots ,N_n\}\subseteq 𝒩$에 대하여, $N=N_1\cap \cdots \cap N_n$이며 $x_N={\varphi }_N(g)$이라고 하자. 그렇다면, 임의의 $i=1,\dots ,n$에 대하여, ${\varphi }_{N_i}(g)={\varphi }_{N_{i}N}({\varphi }_N(g))={\varphi }_{N_{i}N}(x_N)=x_{N_i}$이다. 즉, ${\varphi }_{N_1}^{-1}(x_{N_1})\cap \cdots \cap {\varphi }_{N_n}^{-1}(x_{N_n})\ne \varnothing$이며, ${\varphi }_N^{-1}(x_N)$들은 유한 교집합 성질을 만족시킨다. 따라서, ${\varphi }^{-1}(x)\ne \varnothing$이다.

성질

다음 성질들이 성립한다.

• (무한할 수도 있는 개수의) 사유한군들의 (곱위상이 주어진) 직접곱은 사유한군이다. 사유한군의 닫힌 부분군은 사유한군이다.
• 사유한군의 부분군이 열린집합일 필요충분조건은 이 부분군이 유한 지표의 닫힌집합이라는 것이다.

틀:증명 콤팩트 공간의 곱공간 및 닫힌집합은 콤팩트 공간이다. 하우스도르프 공간이나 완전 분리 공간의 곱공간 및 임의의 부분 집합은 하우스도르프 공간이나 완전 분리 공간이다. 따라서, 사유한군들의 직접곱 및 닫힌 부분군은 사유한군이다.

콤팩트 위상군에서, 열린 부분군은 유한 지표 닫힌 부분군과 동치이다. 특히, 이는 사유한군에서도 성립한다. 틀:증명 끝

사유한 완비화

임의의 군 $G$의 사유한 완비화(射有限完備化, 틀:Llang) $\hat{G}$는 다음과 같다.

$\hat{G}=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{N⊲G}{[G:N]<{\mathrm{\aleph }}_0}}{\underleftarrow{\lim }}G/N$

즉, $G$의 모든 유한 지표 정규 부분군 $N$에 대한 몫군들의 사영 극한이다. $\hat{G}$는 자연스럽게 사유한군을 이룬다. 또한, 자연스러운 군 준동형 $G\to \hat{G}$가 존재하며, 이 준동형의 상은 $\hat{G}$의 조밀 집합이다. 일반적으로 이는 단사 사상이 아니다.

또한, 일반적으로 사유한 완비화 연산은 멱등이 아니다. 즉, $\hat{\hat{G}}\cong ̸\hat{G}$일 수 있다.

사유한 완비화는 사유한군의 범주 $\widehat{\mathrm{Grp}}$와 군의 범주 $\mathrm{Grp}$ 사이의 망각 함자

$F:\widehat{\mathrm{Grp}}\to \mathrm{Grp}$

의 왼쪽 수반 함자

$\hat{\phantom{G}}:\mathrm{Grp}\to \widehat{\mathrm{Grp}}$

$\hat{\phantom{G}}⊢F$

를 이룬다.틀:Rp 틀:증명 사유한 완비화 $\hat{G}$는 다음 조건을 만족시키는 원소

$(g_{N}N{)}_N\in \prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{N⊲G}{[G:N]<{\mathrm{\aleph }}_0}}G/N$

들로 구성된 (이산 위상의 곱위상의 부분공간 위상을 부여한) 위상군으로 여길 수 있다.

• 임의의 유한 지표 정규 부분군 $N\subset N^{\prime }\subset G$에 대하여, $g_N{N}^{\prime }=g_{N^{\prime }}{N}^{\prime }$

그렇다면, 사유한 완비화 함자에서, 군 준동형

$\varphi :G\to H$

의 상은 다음과 같은 위상군의 사상이다.

$\hat{\varphi }:\hat{G}\to \hat{H}$

$\hat{\varphi }:(g_{N}N{)}_N\mapsto (\varphi (g_{{\varphi }^{-1}(N^{\prime })})N^{\prime }{)}_{N^{\prime }}$

예

모든 이산 유한군은 사유한군이다.

p진 정수 ${\mathbb{Z}}_p$는 사유한군을 이룬다. 이는 순환군 $\mathbb{Z}/p^n$들의 사영 극한으로 정의된다. 정수군 $\mathbb{Z}$의 사유한 완비화는 모든 p진 정수군의 직접곱과 동형이다.

$\hat{\mathbb{Z}}=\underset{n\in \mathbb{N}}{\underleftarrow{\lim }}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \prod _p{\mathbb{Z}}_p$

사유한군은 갈루아 이론에서 등장한다. 구체적으로, 갈루아 확대 $L/K$가 주어지면 $K$를 고정시키는 체 자기 동형 사상들의 군 $\mathrm{Gal}(L/K)$는 사유한군이다. 이는 유한 갈루아 확대 $F/K$들의 사영 극한이다. 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이다.

대수기하학의 에탈 기본군은 사유한군이다. (그러나 대수적 위상수학의 기본군들은 일반적으로 사유한군이 아니다.)

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Groupprops
• 틀:Groupprops
• 틀:Groupprops