하우스도르프 공간

틀:위키데이터 속성 추적 틀:분리공리 틀:다른 뜻 일반위상수학에서 하우스도르프 공간(틀:Llang) 또는 T₂ 공간(T₂空間, 틀:Llang) 또는 분리 공간(分離空間, 틀:Llang)은 서로 다른 점들을 각각 서로소 근방들로 둘러쌀 수 있는 위상 공간이다.

정의

위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 하우스도르프 공간이라고 한다.

임의의 $x, y \in X$ 에 대하여, 만약 $x \neq y$ 라면 $x \in U$ , $y \in V$ 인 서로소 열린 근방 $U, V \subseteq X$ 가 존재한다.^[1]틀:Rp
임의의 두 콤팩트 집합 $C, D \subseteq X$ 에 대하여, 만약 $C$ 와 $D$ 가 서로소라면, $C \subseteq U$ , $D \subseteq V$ 인 서로소 열린 근방 $U, V \subseteq X$ 가 존재한다.^[2]틀:Rp
그물의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 그물 $x_{α}$ 및 점 $y_{1}, y_{2} \in X$ 에 대하여, 만약 $x_{α} \to y_{1}$ 이며 $x_{α} \to y_{2}$ 라면 $y_{1} = y_{2}$ 이다.^[2]틀:Rp
필터의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 필터 $ℱ$ 및 점 $y_{1}, y_{2} \in X$ 에 대하여, 만약 $ℱ \neq 𝒫 (X)$ 이며, $ℱ \to y_{1}$ 이며, $ℱ \to y_{2}$ 라면 $y_{1} = y_{2}$ 이다.^[2]틀:Rp
임의의 $x \in X$ 에 대하여, $x$ 의 모든 닫힌 근방들의 교집합은 ${x}$ 이다.
곱공간 $X \times X$ 의 대각 부분 집합 $Δ (X) = {(x, x) : x \in X} \subseteq X \times X$ 은 닫힌집합이다.
임의의 집합 $I$ 에 대하여, 곱공간 $X^{I}$ 의 대각 부분 집합은 닫힌집합이다.

틀:증명 각 $x \in X$ 에 대하여, $𝒩_{x}$ 가 $x$ 의 근방 필터라고 하자.

두 점의 근방 분리 ⇒ 수렴 진필터의 극한의 유일성: 진필터 $ℱ$ 가 서로 다른 두 점 $y_{1} \neq y_{2}$ 로 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, 임의의 열린 근방 $U_{1} ∋ y_{1}$ , $U_{2} ∋ y_{2}$ 에 대하여, $U_{1}, U_{2} \in ℱ$ 이므로 $U_{1} \cap U_{2} \in ℱ$ 이며, $\emptyset \in̸ ℱ$ 이므로 $U_{1} \cap U_{2} \neq \emptyset$ 이다. 즉, 서로소 열린 근방으로 분리될 수 없는 서로 다른 두 점이 존재한다.

수렴 진필터의 극한의 유일성 ⇒ 두 점의 근방 분리: 서로소 열린 근방을 갖지 않는 서로 다른 두 점 $y_{1} \neq y_{2}$ 가 존재한다고 가정하자. 그렇다면

ℱ = {U_{1} \cap U_{2} : U_{1} \in 𝒩_{y_{1}}, U_{2} \in 𝒩_{y_{2}}}

가 $X$ 위의 필터임을 보일 수 있다. 또한, 가정에 따라 $\emptyset \in̸ ℱ$ 이므로 $ℱ$ 는 진필터이며, $X \in 𝒩_{y_{1}}, 𝒩_{y_{2}}$ 이므로 $𝒩_{y_{1}}, 𝒩_{y_{2}} \subseteq ℱ$ 이다. 즉, $ℱ$ 는 서로 다른 두 점 $y_{1} \neq y_{2}$ 로 수렴한다. 틀:증명 끝 위상 공간 $X$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $X$ 를 US 공간(틀:Llang)이라고 한다.^[3]틀:Rp

$X$ 속의 모든 점렬은 (만약 수렴한다면) 유일한 극한을 갖는다.

즉, 이 개념은 그물 또는 필터를 통한 정의에서 이를 점렬로 대체한 것이다.

위상 공간 $X$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $X$ 를 KC 공간(틀:Llang)이라고 한다.^[3]틀:Rp

$X$ 의 모든 콤팩트 부분 공간은 닫힌집합이다.

위상 공간 $X$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $X$ 를 약한 하우스도르프 공간(틀:Llang)이라고 한다.

하우스도르프 콤팩트 공간의 연속적 상은 항상 닫힌집합이다. 즉, 임의의 하우스도르프 콤팩트 공간 $K$ 및 연속 함수 $f : K \to X$ 에 대하여, $f$ 의 상 $f (K) \subseteq X$ 는 $X$ 의 닫힌집합이다.

성질

포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

우리손 공간(T_2½) ⊊ 하우스도르프 공간(T₂) ⊊^[3]틀:Rp US 공간 ⊊^[3]틀:Rp KC 공간 ⊊ 약한 하우스도르프 공간 ⊊ T₁ 공간

하우스도르프 공간(T₂) ⊊ T₁ 공간 ∩ 차분한 공간

제1 가산 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^[3]

US 공간이다.
KC 공간이다.
하우스도르프 공간이다.

연산에 대한 닫힘

하우스도르프 공간들의 집합의 곱공간은 하우스도르프 공간이다. 하우스도르프 공간의 부분 공간은 하우스도르프 공간이다. 그러나 하우스도르프 공간의 몫공간은 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

약한 하우스도르프 공간들의 집합의 곱공간은 약한 하우스도르프 공간이다. 약한 하우스도르프 공간의 부분 공간은 약한 하우스도르프 공간이다. 그러나 약한 하우스도르프 공간의 몫공간은 약한 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

약한 하우스도르프 공간

$X$ 를 약한 하우스도르프 공간이라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$ 와 임의의 연속 함수 $f : K \to X$ 에 대하여, $f$ 의 상 $f (K) \subseteq X$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 따라서, 부분공간 $A \subseteq X$ 가 k-닫힌집합일 필요충분조건은 임의의 콤팩트 하우스도르프 부분공간 $C \subseteq X$ 에 대하여 $A \cap C$ 가 닫힌집합인 것이다.

전사 사상

하우스도르프 공간를 대상으로 하고 연속 함수를 사상으로 삼은 범주 $Haus$ 에서, 전사 사상은 상이 조밀 집합인 연속 함수이다. 틀:증명 $Haus$ 에서, 조밀 집합을 상으로 하는 연속 함수는 자명하게 전사 사상이다. (조밀 집합#조밀 집합은 연속 함수를 결정한다 참고.) 반대로,

f : X \to Y

가 하우스도르프 공간 사이의 전사 사상이라고 가정하고, 상의 폐포

Y_{0} = cl f (X)

가 $Y$ 임을 증명하자.

Z = Y \cup_{i} Y

가 포함 함수 $i : Y_{0} \to Y$ 에 대한 붙임 공간이라고 하고,

g, h : Y \to Z

가 두 개의 자연스러운 연속 함수라고 하자. (즉, $g, h$ 는 각각 두 개의 매장 $Y \to Y ⊔ Y$ 와 몫사상 $Y ⊔ Y \to Z$ 의 합성이다.) 붙임 공간의 정의에 따라 $g \circ f = h \circ f$ 임을 알 수 있다. 만약 $Z$ 가 하우스도르프 공간이라면, 전사 사상의 정의에 따라 $g = h$ 이며, 결국 $Y_{0} = Y$ 이게 된다. 이제 $Z$ 가 하우스도르프 공간임을 증명하는 일만 남았다. 붙임 공간의 정의에 따라, 다음 두 명제가 성립한다.

$U \subseteq Z$ 가 열린집합일 필요충분조건은 $g^{- 1} (U), h^{- 1} (U) \subseteq Y$ 가 둘 다 열린집합인 것이다.
$Z = g (Y) \cup h (Y) = g (Y ∖ Y_{0}) ⊔ h (Y) = g (Y) ⊔ h (Y ∖ Y_{0})$

(사실, 붙임 공간의 성질과 대칭성에 따라, $g, h$ 는 닫힌 위상수학적 매장이며, $g ↾ Y ∖ Y_{0}$ 과 $h ↾ Y ∖ Y_{0}$ 은 열린 위상수학적 매장이다.) 따라서, 임의의 서로 다른 두 점 $ξ, η \in Z$ 가 서로소 열린 근방을 가짐은 다음 세 가지 경우로 나눠 증명할 수 있다.

ξ,η∈g(Y)
- 이 경우, $ξ = g (x)$ , $η = g (y)$ 인 서로 다른 두 점 $x, y \in Y$ 이 존재한다. $Y$ 의 하우스도르프 조건에 따라, $U, V$ 가 $x, y$ 의 서로소 열린 근방이라고 하자. 그렇다면, $g (x), g (y)$ 는 다음과 같은 서로소 열린 근방 $\tilde{U}, \tilde{V}$ 를 갖는다.
  $\tilde{U} = {\begin{matrix} g (U ∖ Y_{0}) & x \in Y ∖ Y_{0} \\ g (U) \cup h (U) & x \in Y_{0} \end{matrix}$
  
  $\tilde{V} = {\begin{matrix} h (V ∖ Y_{0}) & y \in Y ∖ Y_{0} \\ g (V) \cup h (V) & y \in Y_{0} \end{matrix}$
ξ,η∈h(Y)
- 이 증명은 위와 유사하다.
ξ∈g(Y)∖h(Y)=g(Y∖Y0), η∈h(Y)∖g(Y)=h(Y∖Y0)
- 이 경우, $g (Y ∖ Y_{0})$ 와 $h (Y ∖ Y_{0})$ 은 $ξ, η$ 의 서로소 열린 근방이다.

틀:증명 끝

정칙 단사 사상

하우스도르프 공간의 범주 $Haus$ 에서, 정칙 단사 사상은 닫힌 매장이다. 틀:증명 하우스도르프 공간 사이의 정칙 단사 사상 $f : X \to Y$ 이 주어졌으며, $f$ 가 $g, h : Y \to Z$ 의 동등자라고 하자. 편의상

X = {y \in Y : g (y) = h (y)}

이며, $f$ 가 포함 함수라고 가정할 수 있다. (이는 이러한 포함 함수가 실제로 동등자를 이루며, 모든 동등자들은 서로 동형이기 때문이다.) 이 경우, $f$ 는 매장이며, 하우스도르프 조건에 따라 $X$ 는 $Y$ 의 닫힌집합이다. 즉, $f$ 는 닫힌 매장이다.

반대로, 하우스도르프 공간 사이의 닫힌 매장 $f : X \to Y$ 이 주어졌다고 하자. 편의상, $f$ 가 닫힌집합 $X \subseteq Y$ 의 포함 함수라고 하자. $f = eq {g, h}$ 인 하우스도르프 공간 $Z$ 및 두 연속 함수 $g, h : Y \to Z$ 를 찾으면 족하다. $Z$ 가 다음과 같은 붙임 공간이라고 하자.

Z = Y \cup_{f} Y

그렇다면, $Z$ 가 하우스도르프 공간임을 #전사 사상에서의 증명과 유사하게 보일 수 있다. 자연스러운 두 연속 함수

g, h : Y \to Z

를 정의하였을 때,

X = {y \in Y : g (x) = h (x)}

이다. 즉, $f$ 는 $g, h$ 의 동등자이다. 틀:증명 끝

예

우리손 공간이 아닌 하우스도르프 공간

양의 정수의 집합 $ℤ^{+}$ 에, 다음과 같은 기저를 주자.

{(a + ℤ b) \cap ℤ^{+} : \gcd (a, b) = 1}

이는 양의 정수의 서로소 위상(틀:Llang)이라고 한다. 이는 하우스도르프 공간이지만 우리손 공간이 아니다.^[4]