강제법

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 강제법(强制法, 틀:Llang)은 특정한 조건을 만족시키는 집합론 모형을 정의하는 방법이다.

강제법은 주어진 집합론의 모형에 새로운 집합을 추가함으로써 새로운 모형을 만드는 과정이다. 가령, 연속체 가설의 부정이 충족되는 모형을 만드려는 경우를 고려하자. $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\ge {\mathrm{\aleph }}_2$이면 연속체 가설이 거짓이므로, 자연수 집합 $\mathbb{N}$의 부분 집합을 충분히 많이 추가해서 새로운 모형을 만듦으로써 연속체 가설이 성립하지 않게 만드는 것을 생각할 수 있다. 강제법은 그러한 모형을 만드는 것을 가능하게 해 준다.

강제법에 대하여 파트리크 드오르누아(틀:Llang)는 다음과 같이 비유하였다. 틀:인용문2

정의

강제법 언어

$M$이 추이적 집합이라고 하자. 또한, 임의의 집합 $P$ 및 그 부분 집합 $G\subseteq P$가 주어졌다고 하자. 그렇다면

$M^P=\{u\in {\mathrm{Name}}_P:{\mathrm{val}}_G(u)\in M\}$

을 정의하자. 이는 $M$에서 $G$-해석할 수 있는 $P$-이름들의 집합이다.

그렇다면 강제법 언어 ${ℒ}_P$는 집합론의 1차 논리 언어 ${ℒ}_{\in }$에 $M^P$의 원소들을 상수(0항 연산)로 추가한 1차 논리 언어이다.

임의의 원소 $x\in M$에 대하여, 이름

$\check{x}=\{(\check{y},p):y\in x,p\in P\}\in M^P$

를 정의하자.틀:Rp 이는 $x\in M$의 이름이라고 한다.

강제법 모형

집합 $P$와 그 부분 집합 $G\subseteq P$ 및 추이적 집합 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${ℒ}_P$의 추이적 모형 $M[G]$를 다음과 같이 정의하자.

• 집합으로서, $M[G]=\{\mathrm{val}(u,G):u\in M^P\}$는 $M$에 속하는 이름들의 해석들이다.
• $\in$의 해석은 외적인 개념과 같다.
• $M[G]$에서, 상수 $u\in M^P$의 해석은 ${\mathrm{val}}_G(u)$이다.

이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

강제성 관계

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 추이적 집합 $M$
• 원순서 집합 $(P,\lesssim )$ 및 그 부분 집합 $G\subseteq P$. 대략, $p\lesssim q$라면 $q$가 $p$보다 "더 많은 정보를 제공한다"고 여긴다.
• 강제법 언어 ${ℒ}_P$의 1차 논리 문장 $\varphi \in \mathrm{Sent}({ℒ}_P)$
• 원소 $p\in P\in M$. 이를 강제 조건(틀:Llang)이라고 한다.

그렇다면, 다음과 같은 관계를 정의하자.

$p{⊩}_{P,M}\varphi ⟺\mathrm{\forall }G\in \mathrm{Generic}(P,M):p\in G⟹M[G]\models \varphi$

여기서 $\mathrm{Generic}(P,M)$는 $M$에 속하는 $P$의 모든 공종 집합들의 족 $\mathrm{Cofin}(P)\cap M$에 대하여 모든 $\mathrm{Cofin}(P)\cap M$-포괄적 순서 아이디얼들의 집합이다.

또한, 다음과 같은 관계

$p{⊩}^{*}\varphi$

를 재귀적으로 정의하자.틀:Rp (여기서 $u,v\in {\mathrm{Name}}_P$는 임의의 두 $P$-이름이다.)

$(p{⊩}^{*}u\in v)⟺\mathrm{\forall }q\gtrsim p\mathrm{\exists }r\gtrsim q\mathrm{\exists }(\tilde{u},s)\in v:r\gtrsim s\wedge (r⊩u=\tilde{u})$

$(p{⊩}^{*}u=v)⟺\mathrm{\forall }q\gtrsim p\mathrm{\forall }w\in M^P:(q{⊩}^{*}w\in u)⟺(q{⊩}^{*}w\in v)$

$\left(p{⊩}^{*}\mathrm{\neg }\varphi \right)⟺\nexists q\gtrsim p:q⊩\varphi$

$(p{⊩}^{*}\varphi \wedge \chi )⟺\left(p{⊩}^{*}\varphi \right)\wedge \left(p{⊩}^{*}\varphi \right)$

$(p{⊩}^{*}\mathrm{\forall }x:\varphi (x))⟺\mathrm{\forall }u\in M^P:(p{⊩}^{*}\varphi [u])$

성질

강제법 모형

집합 $P$와 그 부분 집합 $G\subseteq M$ 및 추이적 집합 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$\{\check{m}:M\in M\}\subseteq M^P$

이다. 만약 $P\ne \varnothing$이라면

$M\to M^P$

$m\mapsto \check{m}$

은 단사 함수이며, 만약 추가로 $G\ne \varnothing$이라면

$\mathrm{\forall }m\in M:{\mathrm{val}}_G(\check{m})=m$

이다. 따라서, $G\ne \varnothing$이라면 $M\subseteq M[G]$이다.

또한, 만약 $\varnothing \ne G\subseteq P\in M$일 때, $P$-이름

$u=\{(\check{p},p):p\in P\}$

을 생각하면

${\mathrm{val}}_G(u)=G$

이다. 따라서, 이 경우 $G\in M[G]$이다.

만약 $M$이 추가로 ZFC의 추이적 모형이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.틀:Rp틀:Rp

임의의 $M^{\prime }\supseteq M$에 대하여, 만약 $M^{\prime }$ 역시 ZFC의 추이적 모형이며 $M^{\prime }\ni G$라면, $M[G]\subseteq M^{\prime }$이다.

즉, $M[G]$는 $G$와 $M$을 포함하는 최소의 ZFC 추이적 모형이다.

이에 대하여 티머시 이청 차우(틀:Llang)는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

강제성 관계의 성질

$M$이 ZFC의 추이적 모형이며, $P\in M$이며, $G$가 $P$ 위의 포괄적 순서 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 다음을 보일 수 있다. ${ℒ}_P$의 (자유 변수가 없는) 명제 $\varphi$에 대하여,

• $M[G]\models \varphi ⟺M\models (\mathrm{\exists }p\in G:p{⊩}^{*}\varphi )$.틀:Rp 즉, $M[G]$에서 어떤 명제가 참이려면, 그러할 이유(즉, 명제를 강제하는 $p\in P$)가 존재해야 한다.
• (내적 정의 가능성) 임의의 문장 $\varphi \in \mathrm{Sent}({ℒ}_P)$에 대하여, $p⊩\varphi ⟺M\models \left(p{⊩}^{*}\varphi \right)$틀:Rp
• (일관성) $p\mapsto \{\varphi \in {ℒ}_P:p⊩\varphi \}$는 순서 보존 함수 $P\to (𝒫({ℒ}_P),\subseteq )$를 정의한다.틀:Rp 즉, $p⊩\varphi$이며 $p\lesssim q$라면 $q⊩\varphi$이다.

이 핵심적인 성질들을 사용하여 각종 성질을 만족시키는 강제법 모형을 구성할 수 있다.

이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 설명하였다. 틀:인용문2

기수의 보존

순서수의 개념은 절대적이다. 즉, 모형 속의 순서수의 개념은 모형 밖의 순서수의 개념과 일치한다. 그러나 기수의 개념(즉, 어떤 순서수가 기수인지 여부)은 절대적이지 않으며, 모형 $M$의 기수가 $M[G]$에서는 기수가 아닌 순서수일 수 있다.

ZFC의 추이적 모형 $M$ 및 $P\in M$ 및 $P$ 위의 원순서 $\lesssim$가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, $P$가 $M$의 기수를 보존한다(틀:Llang)고 한다.틀:Rp

• 임의의 포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq P$ 및 순서수 $\alpha \in \mathrm{Ord}\cap M$에 대하여, $M\models (\alpha \in \mathrm{Card})⟺M[G]\models (\alpha \in \mathrm{Card})$이다.

만약 다음 조건이 성립한다면, $P$가 $M$의 공종도를 보존한다(틀:Llang)고 한다.틀:Rp

• 임의의 포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq P$ 및 두 순서수 $\alpha ,\beta \in \mathrm{Ord}\cap M$에 대하여, $M\models (\mathrm{cf}\alpha =\beta )⟺M[G]\models (\mathrm{cf}\alpha =\beta )$이다. (여기서 $\mathrm{cf}$는 순서수의 공종도를 뜻한다.)

그렇다면, 임의의 $P\in M$에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.틀:Rp

($M\models$($P$는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다)) ⇒ $P$는 $M$의 공종도를 보존한다 ⇒ $P$는 $M$의 기수를 보존한다

예

무작위 강제법

$(P,\le )=(\mathrm{Bor}([0,1]),\supseteq )$라고 하자. 여기서 $\mathrm{Bor}([0,1])$은 단위 구간 $[0,1]$ 위의, 르베그 측도가 양수인 보렐 집합들의 집합족이다. $(P,\le )$는 최소 원소 $[0,1]$을 갖는 부분 순서 집합이다.

이 경우, 포괄적 필터 $G$는 $𝒫([0,1])$ 속의 필터 기저로서 어떤 실수 $r$로 수렴하게 된다.

$\lim G=r\in [0,1]\setminus V$

이 경우, $V[r]$는 무작위 강제법(틀:Llang)이라고 한다.

코언 강제법

틀:본문 기수 $\kappa$에 대하여, $\mathrm{Pfn}(X,Y;\kappa )$가 정의역의 크기가 $\kappa$ 미만인 부분 정의 함수 $X\to Y$들의 부분 순서 집합이라고 하자. 그렇다면, 이 부분 순서 집합에 대한 강제법을 코언 강제법(틀:Llang)이라고 하며, 이를 사용하여 연속체 가설의 독립성을 보일 수 있다.

응용

강제법을 사용하여, 집합론의 여러 명제들이 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이라는 것을 보일 수 있다. 연속체 가설이나 구성 가능성 공리가 그 대표적인 예이다. 또한 강제법과 내부 모형을 이용하면 선택 공리의 독립성 또한 보일 수 있다.

계산 가능성 이론에서도 강제법이 응용된다.

역사

폴 코언이 ZFC에서 연속체 가설의 독립성을 증명하기 위해 1963년에 도입하였다. 코언이 사용한 기법은 구성 가능 위계를 핵심적으로 사용하였고, 오늘날 분기 강제법(分岐強制法, 틀:Llang)이라고 불린다.

이후 데이나 스콧과 로버트 솔로베이가 완비 불 대수를 사용하여 구성 가능 위계를 사용하지 않는 기법을 개발하였으나, 출판하지 않았다.틀:Rp 이 기법은 조지프 로버트 숀필드가 정리하여 비분기 강제법(非分岐強制法, 틀:Llang)이라는 이름으로 1971년에 출판하였다. 비분기 강제법이 더 간편하므로, 오늘날 "강제법"이라는 용어는 통상적으로 후자를 일컫게 되었다.

1971년에 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움은 수슬린 가설의 독립성을 보이기 위하여 반복 강제법을 도입하였다.

같이 보기

• 이름 (강제법)

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
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