다항식환

틀:위키데이터 속성 추적 대수학에서 다항식환(多項式環, 틀:Llang)은 어떤 주어진 환을 계수로 하는 다항식들로 구성된 환이다.

정의

환 $R$에 대한 다항식환 $R[x]$는 집합으로서

$\{p\in R^{\mathbb{N}}:|\{n\in \mathbb{N}:p_n\ne 0\}|<{\mathrm{\aleph }}_0\}$

이다. 이 집합의 원소를 다항식이라고 한다. 각 원소 $p\in R[x]$를

$p(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n{x}^n=p_0+p_{1}x+p_2{x}^2+\cdots$

으로 쓰자. 이 집합에서 덧셈

$p(x)+q(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(p_n+q_n)x^n$

은 성분에 따른 합이며, 또한 자연스럽게 좌·우 $R$-가군 구조가 존재한다.

$rp(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}r{p}_n{x}^n$

$p(x)r=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_{n}r{x}^n$

또한, $R[x]$에는 다음과 같은 환의 구조가 존재한다.

$p(x)q(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n{p}_k{q}_{n-k}{x}^n$

다변수 다항식환(多變數多項式環, 틀:Llang) $R[x_1,x_2,\dots ,x_n]$은 $R[x_1][x_2]\cdots [x_n]$과 같다. 다변수 다항식환의 각 원소 $p\in R[x_1,\dots ,x_k]$는

$p(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{n_1=0}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{n_k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_{n_1,\dots ,n_k}{x}_1^{n_k}\cdots x_k^{n_k}$

로 표기한다.

성질

차수

틀:참고 다항식 $0\ne p\in R[x]$의 차수(次數, 틀:Llang)는

$\mathrm{deg}p=\max \{n\in \mathbb{N}:p_n\ne 0\}$

이다. 다항식 0의 차수는 정의되지 않는다 (일부 문헌은 $\mathrm{deg}0=-\mathrm{\infty }$ 또는 $\mathrm{deg}0=-1$을 사용한다).

보다 일반적으로, 다변수 다항식 $0\ne p\in R[x_1,\dots ,x_k]$의 차수는

$\mathrm{deg}p=\max \{n_1+\cdots +n_k:p_{n_1,\dots ,n_k}\ne 0\}$

이다.

다항식 $p,q\in R[x]$ (또는 다변수 다항식 $p,q\in R[x_1,\dots ,x_k]$)가 주어졌고, 편의상 $\mathrm{deg}0=-\mathrm{\infty }$라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.

• $\mathrm{deg}(p+q)\le \max \{\mathrm{deg}p,\mathrm{deg}q\}$
• 만약 $\mathrm{deg}p\ne \mathrm{deg}q$라면, $\mathrm{deg}(p+q)=\max \{\mathrm{deg}p,\mathrm{deg}q\}$
• $\mathrm{deg}(pq)\le \mathrm{deg}p+\mathrm{deg}q$
• 만약 $R$가 영역이라면, $\mathrm{deg}(pq)=\mathrm{deg}p+\mathrm{deg}q$

근

다항식 $p\in R[x]$의 근(根, 틀:Llang)은 $p(r)=0$을 만족시키는 환의 원소 $r\in R$를 뜻한다. 이 경우 $(x-r{)}^m\mid p(x)$를 만족시키는 최대의 정수 $m$을 근 $r$의 중복도(重復度, 틀:Llang)라고 한다. 중복도가 1인 근을 단순근(單純根, 틀:Llang)이라고 하고, 중복도가 2 이상인 근을 다중근(多重根, 틀:Llang)이라고 한다.

가환환 $R$를 계수로 하는 다항식 $p\in R[x]$ 및 환의 원소 $r\in R$가 주어졌다고 하자. 인수 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $r$는 $p(x)$의 근이다.
• $x-r\mid p(x)$

가환환 $R$를 계수로 하는 다항식 $p\in R[x]$의 근 $r\in R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $r$는 $p(x)$의 단순근이다.
• $p^{\prime }(r)\ne 0$

표수 $c$의 체 $K$를 계수로 하는 다항식 $p\in K[x]$의 근 $a\in K$의 중복도가 $m$이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• 만약 $c\nmid m$이라면, $p^{\prime }(x)$에 대한 $a$의 중복도는 $m-1$이다.
• 만약 $c\mid m$이라면, $p^{\prime }(x)$에 대한 $a$의 중복도는 $m$ 이상이다.

특히, 만약 $c=0$이거나 $c>m$이라면, $p(x)$에 대한 $a$의 중복도는

$m=\min \{k\in {\mathbb{Z}}^{+}:p^{(k)}(a)\ne 0\}$

이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$를 계수로 하는 다항식 $p\in K[x]$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $p(x)$는 다중근을 가진다.
• $\gcd \{p(x),p^{\prime }(x)\}\ne 1$

체 $K$를 계수로 하는 기약 다항식 $p\in K[x]$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $p(x)$는 분해 가능 다항식이다. (즉, 대수적 폐포 $\overline{K}$에서 다중근을 가진다.)
• $p^{\prime }(x)=0$

특히, 만약 $K$의 표수가 0이거나, $K$가 유한체라면, $p(x)$는 분해 가능 다항식이다.

환론적 성질

환 $R$에 대하여,

• 만약 $R$가 가환환이라면, $R[x]$ 역시 가환환이다.
• 만약 $R$가 영역이라면, $R[x]$ 역시 영역이다.
• 만약 $R$가 정역이라면, $R[x]$ 역시 정역이다.
• 만약 $R$가 유일 인수 분해 정역이라면, $R[x]$ 역시 유일 인수 분해 정역이다.
• (힐베르트 기저 정리) 만약 $R$가 가환 뇌터 환이라면, $R[x]$ 역시 가환 뇌터 환이다.
• 만약 $R$가 체라면, $R[x]$는 유클리드 정역이다.

영역 $R$를 계수로 하는 다항식 $p\in R[x]$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $p(x)$는 $R[x]$의 가역원이다.
• $p\in R$이며, $p$는 $R$의 가역원이다.

보편 성질

다항식환은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 가환환 $R$, $S$ 및 환 준동형 $\varphi :R\to S$ 및 원소 $s\in S$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 환 준동형 $\tilde{\varphi }:R[x]\to S$가 존재한다.

• $\tilde{\varphi }{|}_R=\varphi$
• $\varphi (x)=s$

특히, 다음 그림이 가환한다.

$\begin{array}{ccc}R& \hookrightarrow & R[x]\\ & \varphi \searrow & \downarrow \tilde{\varphi }\\ & & S\end{array}$

구체적으로,

$\tilde{\varphi }:p(x)\mapsto \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\varphi (p_n)s^n$

이다.

같이 보기

• 비가환 다항식환

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드