격자 (순서론)

틀:위키데이터 속성 추적 틀:대수 구조 순서론에서 격자(格子, 틀:Llang)는 두 원소의 상한(이음, 틀:Llang)과 하한(만남, 틀:Llang)이 항상 존재하는 부분 순서 집합이다.

정의

(유계) 격자의 개념은 추상대수학적으로, 순서론적으로, 또는 범주론적으로 정의할 수 있으며, 이 세 정의는 서로 동치이다.

대수학적 정의

유계 격자(有界格子, 틀:Llang) $(L,\vee ,\wedge ,\mathrm{\perp },\mathrm{\top })$는 두 개의 이항 연산 $\wedge ,\vee :L^2\to L$ 및 두 상수 $\mathrm{\perp },\mathrm{\top }\in L$가 주어지고, 다음 공리들을 만족시키는 대수 구조이다.

• $(L,\wedge ,\mathrm{\top })$는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 임의의 $a,b,c\in L$에 대하여 $(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$이며 $a\wedge b=b\wedge a$이며 $a\wedge \mathrm{\top }=a$이다.
• $(L,\vee ,\mathrm{\perp })$는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 임의의 $a,b,c\in L$에 대하여 $(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$이며 $a\vee b=b\vee a$이며 $a\vee \mathrm{\perp }=a$이다.
• (흡수성) 임의의 $a,b\in L$에 대하여, $a\vee (a\wedge b)=a\wedge (a\vee b)=a$

이로부터 다음 성질을 증명할 수 있다.

• (흡수성) $a\vee \mathrm{\top }=\mathrm{\top }$이며 $a\wedge \mathrm{\perp }=\mathrm{\perp }$
• (멱등성) $a\wedge a=a\vee a=a$

틀:숨김 시작 흡수성:

$a\vee \mathrm{\top }=(a\wedge \mathrm{\top })\vee \mathrm{\top }=\mathrm{\top }$

$a\wedge \mathrm{\perp }=(a\vee \mathrm{\perp })\wedge \mathrm{\perp }=\mathrm{\perp }$

멱등성:

$a\wedge a=a\wedge (a\vee (a\wedge a))=a$

$a\vee a=a\vee (a\wedge (a\vee a))=a$

틀:숨김 끝 여기서 이항 연산 $\vee$를 이음, $\wedge$를 만남이라고 하며, $\mathrm{\top }$은 최대 원소, $\mathrm{\perp }$은 최소 원소라고 한다.

유계 격자의 정의에서 모노이드를 반군으로 약화시킨다면 (즉, 항등원의 존재를 생략한다면) 격자의 개념을 얻는다. 즉, 격자 $(L,\vee ,\wedge )$는 다음 세 공리들을 만족시키는 이항 연산 $\vee ,\wedge :L\times L\to L$이 주어진 대수 구조이다. 모든 $a,b,c\in L$에 대하여, 다음이 성립한다.

• $(L,\wedge )$는 가환 반군을 이룬다. 즉, 임의의 $a,b,c\in L$에 대하여 $(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$이며 $a\wedge b=b\wedge a$이다.
• $(L,\vee )$는 가환 반군을 이룬다. 즉, 임의의 $a,b,c\in L$에 대하여 $(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$이며 $a\vee b=b\vee a$이다.
• (흡수성) 임의의 $a,b\in L$에 대하여, $a\vee (a\wedge b)=a\wedge (a\vee b)=a$

이로부터 다음을 증명할 수 있다.

격자 $(L,\vee ,\wedge )$에 다음과 같은 부분 순서 $\le$를 줄 수 있다.

$a\le b⟺a=a\wedge b⟺b=a\vee b$

(이 두 성질은 흡수 법칙에 따라 동등하다.)

순서론적 정의

원순서 집합 $(L,\lesssim )$이 다음 조건을 만족시킨다면, 유계 원격자(有界原格子, 틀:Llang)라고 한다.

• 모든 유한 집합은 상한을 갖는다. (특히, 공집합의 경우, $L$은 최대 원소를 갖는다.)
• 모든 유한 집합은 하한을 갖는다. (특히, 공집합의 경우, $L$은 최소 원소를 갖는다.)

원순서 집합 $(L,\lesssim )$이 다음 조건을 만족시킨다면, 원격자(原格子, 틀:Llang)라고 한다.

• 공집합이 아닌 모든 유한 집합은 상한을 갖는다.
• 공집합이 아닌 모든 유한 집합은 하한을 갖는다.

(유계) 원격자에서 상한·하한은 일반적으로 유일하지 않지만, 만약 여럿이 존재한다면 이들은 서로 동치이다. 즉, 그 동치류를 취할 수 있다. 이 개념을 대수적으로 정의하려면 연산이 유일하게 정의되어야 하므로, 원순서 집합 대신 부분 순서 집합을 사용하면 (유계) 격자(틀:Llang)의 개념을 얻는다. 즉, (유계) 원격자인 부분 순서 집합을 (유계) 격자라고 한다.

범주론적 정의

원순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있으며, 따라서 격자의 순서론적 정의를 범주론의 언어로 재해석할 수 있다.

원순서 집합(작은 얇은 범주) $(L,\lesssim )$가 다음 두 조건을 만족시키면, 원격자(原格子, 틀:Llang)라고 한다.

• 시작 대상을 제외한 모든 유한 곱을 갖는다.
• 끝 대상을 제외한 모든 유한 쌍대곱을 갖는다.

원순서 집합(작은 얇은 범주) $(L,\lesssim )$가 다음 두 조건을 만족시키면, 유계 원격자(有界原格子, 틀:Llang)라고 한다.

• 모든 유한 곱을 갖는다.
• 모든 유한 쌍대곱을 갖는다.

(유계) 원격자 $(L,\lesssim )$ 속에서, 만약 서로 동형인 두 대상이 항상 같다면, 이를 (유계) 격자라고 한다.

이 경우, 세 정의들은 각각 다음과 같이 대응한다.

대수적 정의	순서론적 정의	범주론적 정의
원소	원소	대상
두 원소의 이음 $a\vee b$	두 원소의 상한 $\sup \{a,b\}$	두 대상의 쌍대곱 $a\bigsqcup b$
두 원소의 만남 $a\wedge b$	두 원소의 하한 $\inf \{a,b\}$	두 대상의 곱 $a\times b$
$a=a\wedge b$ 또는 $b=a\vee b$	부분 순서 $a\le b$	사상 $a\to b$의 존재
이음의 항등원 $\mathrm{\perp }$	최소 원소 $\min L$	시작 대상 $0$
만남의 항등원 $\mathrm{\top }$	최대 원소 $\max L$	끝 대상 $1$

격자 준동형

격자 준동형이 아닌 증가 함수. $u\vee v=1$이지만, $u^{\prime }\vee u^{\prime }=u^{\prime }\ne 1^{\prime }$이다.

두 유계 격자 $L,L^{\prime }$ 사이의 유계 격자 준동형(틀:Llang)은 유한 이음과 만남을 보존하는 함수 $\varphi :L\to L^{\prime }$이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 함수이다. 임의의 유한 부분 집합 $S\in L$에 대하여,

$\bigvee \varphi (S)=\varphi (\bigvee S)$

$\bigwedge \varphi (S)=\varphi (\bigwedge S)$

이 경우, 만약 $a\le b$라면 마찬가지로 $\varphi (a)\le \varphi (b)$임을 쉽게 보일 수 있다. 따라서, 유계 격자 준동형은 증가 함수이다. 반면, 증가 함수이지만 격자 준동형이 아닌 함수도 존재한다.

두 격자 $L,L^{\prime }$ 사이의 격자 준동형(틀:Llang)은 공집합이 아닌 유한 이음과 만남을 보존하는 함수 $\varphi :L\to L^{\prime }$이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 함수이다. 임의의 유한 부분 집합 $S\in L$에 대하여, 만약 $S$가 공집합이 아니라면,

$\bigvee \varphi (S)=\varphi (\bigvee S)$

$\bigwedge \varphi (S)=\varphi (\bigwedge S)$

모든 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

반대 격자

주어진 격자 $(L,{\le }_L,{\wedge }_L,{\vee }_L)$에 대하여, 그 반대 격자(틀:Llang) $L^{\mathrm{op}}$는 집합 $L$에 다음과 같은 격자 연산을 부여한 격자이다. 모든 $a,b\in L$에 대하여,

$a{\vee }_{L^{\mathrm{op}}}b=a{\wedge }_{L}b$

$a{\wedge }_{L^{\mathrm{op}}}b=a{\vee }_{L}b$

$a{\le }_{L^{\mathrm{op}}}b=a{\ge }_{L}b$

즉, 부분 순서가 반대 방향이 되고, 만남과 이음이 서로 치환된다.

예

전순서

전순서 집합 $(T,\le )$은 격자를 이룬다. 이 경우

$a\vee b=\max \{a,b\}$

$a\wedge b=\min \{a,b\}$

이다.

부분 집합 격자

세 원소를 가진 집합의 부분 집합의 격자

집합 $S$의 멱집합 $𝒫(S)=\{A\subset S\}$은 부분 집합 관계 $\subset$을 통해 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합은 격자를 이루며, 이 경우 집합 $S$의 어떤 두 부분 집합의 이음과 만남은 각각 두 부분 집합의 합집합과 교집합이다.

$A\subset B⟺A\le B$

$A\cup B=A\vee B$

$A\cap B=A\wedge B$

마찬가지로, $S$의 유한 부분 집합들의 집합 $\{A\subset S:|A|<{\mathrm{\aleph }}_0\}$ 또한 격자를 이룬다.

약수의 격자

60의 약수들의 격자

양의 정수 $n$에 대하여, $n$의 (양의 정수인) 약수들은 격자를 이룬다. 마찬가지로, 모든 양의 정수의 격자 ${\mathbb{Z}}^{+}$ 역시 격자를 이룬다. 이 경우, 격자 연산은 다음과 같다.

정수론	격자
$a\mid b$ (약수 관계)	$a\le b$
$\mathrm{lcm}(a,b)$ (최소공배수)	$a\vee b$
$\gcd (a,b)$ (최대공약수)	$a\wedge b$

이는 환 $\mathbb{Z}/n$ 또는 $\mathbb{Z}$의 아이디얼들의 격자의 특수한 경우이다.

분할 격자

집합 $S$의 분할 $P\subset 𝒫(S)$들의 집합은 격자를 이룬다.

분할	격자
분할의 세분 $\mathrm{\forall }p\in P:\mathrm{\exists }q\in Q:p\subset q$	$P\le Q$
공통 세분 $\{p\cap q|p\in P,q\in Q\}$	$P\wedge Q$
공통 역세분 $\min \{R|R\ge P,Q\}$	$P\vee Q$

열린집합의 격자

위상 공간 $X$의 열린집합들은 포함 관계에 대하여 격자를 이룬다. 이 격자는 완비 헤이팅 대수이다.

대수학에서의 격자

대칭군 $S_4$의 부분군의 격자

군 $G$의 부분군들의 집합은 유계 완비 격자를 이룬다.

부분군	격자
$H\subset H^{\prime }$	$H\le H^{\prime }$
$H\cap H^{\prime }$	$H\wedge H^{\prime }$
$⟨H\cup H^{\prime }⟩$ ($H\cup H^{\prime }$으로 생성되는 부분군)	$H\vee H^{\prime }$
1 (자명군)	$\mathrm{\perp }$
$G$	$\mathrm{\top }$

마찬가지로, 주어진 군의 정규 부분군들 역시 완비 모듈러 격자를 이룬다.

유사환 $R$의 아이디얼들의 집합 $\mathrm{Ideal}(R)$은 유계 완비 격자를 이룬다.

아이디얼	격자
$𝔞\subset 𝔟$	$𝔞\le 𝔟$
$𝔞\cap 𝔟$	$𝔞\wedge 𝔟$
$𝔞+𝔟$	$𝔞\vee 𝔟$
$\{0\}$	$\mathrm{\perp }$
$R$	$\mathrm{\top }$

벡터 공간 $V$의 부분 벡터 공간들의 집합은 완비 격자를 이룬다. 이 격자는 양자 논리의 기반을 이룬다.

벡터 공간	격자
$A\subset B$	$A\le B$
$A\cap B$	$A\wedge B$
$\mathrm{span}(A,B)$	$A\vee B$
$\{0\}$	$\mathrm{\perp }$
$V$	$\mathrm{\top }$

역사

19세기에 조지 불은 명제 논리의 분석을 위하여 1848년에 유계 격자의 일종인 불 대수를 도입하였다.틀:Rp 이와 독자적으로, 리하르트 데데킨트는 19세기 말에 대수적 수론에서 "쌍대군"(틀:Llang)의 개념을 도입하였으며, 이는 오늘날의 격자의 개념과 유사하다. 그러나 데데킨트의 이 개념은 당시에 주목받지 못했다.틀:Rp

이후 1920년대에 격자 이론은 다시 연구되기 시작하였다. 프리츠 클라인바르멘(틀:Llang, 1892~1961)은 이 개념을 틀:Llang(조직, 기구, 군 부대)라고 명명하였고,틀:Rp틀:Rp 이 용어는 오늘날 독일어에서 사용되고 있다.틀:Rp 개릿 버코프(1911~1996)는 이를 추상대수학에 응용하였고, 틀:Llang)(격자)라는 용어를 도입하였다.틀:Rp틀:Rp 프랑스어 용어 틀:Llang(창살, 전투복)는 1945년에 마르셀폴 쉬첸베르제(틀:Llang, 1920~1996)가 도입하였다.틀:Rp

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:위키공용분류-줄
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용