범주의 동치

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서, 두 범주 사이의 동치(同値, 틀:Llang)는 두 범주가 사실상 같은 구조를 지니게 하는 함자이다. 범주의 동형보다 더 약한 개념이며, 범주의 동형보다 더 널리 쓰인다.

정의

두 범주 $𝒞$ 와 $𝒟$ 사이의 함자 $F : 𝒞 \to 𝒟$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이며, 이 조건을 만족시키는 $F$ 를 $𝒞$ 와 $𝒟$ 사이의 동치라고 한다.

$F^{- 1} F$ 와 $F F^{- 1}$ 가 항등 함자와 자연 동형인 함자 $F^{- 1} : 𝒟 \to 𝒞$ 가 존재한다 (이러한 함자는 유일하지 않을 수 있다).
충실충만한 함자이며, 본질적 전사 함자(틀:Llang)이다 (즉, $𝒟$ 의 모든 원소는 적어도 하나의 $F$ 의 상의 원소와 동형이다).

서로 동치인 두 범주는 범주론에서 다루는 거의 모든 성질이 같다. 예를 들어, 동치는 모든 극한과 쌍대극한을 보존하며, 또한 전사 사상 및 단사 사상을 보존한다.

범주 $𝒞$ 의 부분 범주 $𝒟$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이며, 이를 만족시키는 $𝒟$ 를 $𝒞$ 의 뼈대(틀:Llang)라고 한다.

모든 작은 범주는 뼈대를 가지며, 이는 범주의 동형 아래 유일하다. 이는 선택 공리와 동치이다. 또한, 두 작은 범주 $𝒞$ 와 $𝒟$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.