시그마 대수

틀:위키데이터 속성 추적 측도론에서 시그마 대수(σ代數, 틀:Llang)는 가산 상한과 하한을 갖는 불 대수이다. 시그마 대수의 원소 위에 측도를 정의할 수 있다.

정의

시그마 대수

불 대수 $\mathrm{\Sigma }$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 불 대수를 (추상적) 시그마 대수(틀:Llang)라고 한다.틀:Rp틀:Rp

• (가산 상완비성) $\mathrm{\Sigma }$의 임의의 가산 부분 집합은 상한을 갖는다.
• (가산 하완비성) $\mathrm{\Sigma }$의 임의의 가산 부분 집합은 하한을 갖는다.

시그마 대수 준동형

두 시그마 대수 $\mathrm{\Sigma }$, ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ 사이의 시그마 대수 준동형(틀:Llang) $f:\mathrm{\Sigma }\to {\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

• 임의의 가산 부분 집합 $A\subseteq \mathrm{\Sigma }$에 대하여, $f(\bigvee A)=\bigvee f(A)$이다. (특히, $A=\varnothing$일 경우, $f({\mathrm{\perp }}_{\mathrm{\Sigma }})={\mathrm{\perp }}_{{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }}$이다.)
• 임의의 가산 부분 집합 $A\subseteq \mathrm{\Sigma }$에 대하여, $f(\bigwedge A)=\bigwedge f(A)$이다. (특히, $A=\varnothing$일 경우, $f({\mathrm{\top }}_{\mathrm{\Sigma }})={\mathrm{\top }}_{{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }}$이다.)
• 임의의 원소 $s\in \mathrm{\Sigma }$에 대하여, $f(\mathrm{\neg }s)=\bigvee f(\mathrm{\neg }s)$이다.

여기서 $\mathrm{\top }$과 $\mathrm{\perp }$은 각각 최대 원소와 최소 원소를 뜻한다.

시그마 대수와 시그마 대수 준동형은 구체적 범주 $\mathrm{\sigma }\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}$를 이룬다.

시그마 아이디얼

시그마 대수 $\mathrm{\Sigma }$의 시그마 아이디얼(틀:Llang)은 다음 조건들을 만족시키는 순서 아이디얼 $I\subseteq \mathrm{\Sigma }$이다.틀:Rp

• 가산 상한에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 가산 부분 집합 $I^{\prime }\subseteq I$에 대하여, $\underset{\mathrm{\Sigma }}{\sup }{I}^{\prime }\in I$이다.

불 대수는 가환환을 이루며, 불 대수의 순서 아이디얼은 아이디얼을 이룬다. 따라서 몫 불 대수 $\mathrm{\Sigma }/I$를 정의할 수 있으며, $I$가 시그마 아이디얼이라면 이는 시그마 대수를 이룬다. 이를 몫 시그마 대수 $\mathrm{\Sigma }/I$라고 한다.틀:Rp

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

				완비 격자	⇐	완비 헤이팅 대수	⇐	완비 불 대수
								⇓
				⇓		⇓		시그마 대수
								⇓
원순서 집합	⇐	부분 순서 집합	⇐	유계 격자	⇐	헤이팅 대수	⇐	불 대수

분배 법칙

시그마 대수 $\mathrm{\Sigma }$의 원소 $a,b_0,b_1,\dots \in \mathrm{\Sigma }$에 대하여, 다음이 성립한다.틀:Rp

$a\wedge \underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\bigvee }}{b}_i=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\bigvee }}(a\wedge b_i)$

$a\vee \underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\bigwedge }}{b}_i=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\bigwedge }}(a\vee b_i)$

크기

기수 $\kappa$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $|B|=\kappa$인 완비 불 대수 $B$가 존재한다.
• $|B|=\kappa$인 시그마 대수 $B$가 존재한다.
• 만약 $\kappa$가 무한 기수라면, ${\kappa }^{{\mathrm{\aleph }}_0}=\kappa$이다. 만약 $\kappa$가 유한 기수라면, $\kappa =2^n$인 기수 $n$이 존재한다.

특히, 무한 시그마 대수의 크기는 항상 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ 이상이며, 가산 무한 시그마 대수는 존재하지 않는다. (직접적으로, 이는 모든 무한 불 대수는 가산 무한 반사슬을 갖는데, 가산 완비성에 따라 이 반사슬의 부분 집합들의 상한(또는 하한)들의 수는 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$이기 때문이다.)

특히, 모든 유한 시그마 대수는 (유한 불 대수이므로) 그 크기가 2의 거듭제곱이며, 어떤 유한 집합 $S$의 멱집합 $𝒫(S)$와 동형이다.

루미스-시코르스키 표현 정리

루미스-시코르스키 표현 정리(Loomis-Sikorski表現定理, 틀:Llang)에 따르면, 임의의 (추상적) 시그마 대수 $\mathrm{\Sigma }$에 대하여,

$\mathrm{\Sigma }\cong {\mathrm{\Sigma }}^{\prime }/I$

가 되는

• 집합 $X$
• 시그마 대수 ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }\subseteq 𝒫(X)$
• ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$의 시그마 아이디얼 $I\subseteq {\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$

가 존재한다.틀:Rp틀:Rp틀:Rp 그러나 일반적으로 $I=\varnothing$이 아닐 수 있다. 즉, 멱집합의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없는 시그마 대수가 존재한다.

범주론적 성질

시그마 대수의 범주는 (가산 무한 개의 항을 가진 연산을 갖는) 대수 구조 다양체 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 또한 자유 시그마 대수가 존재한다.

예

집합 $X$의 멱집합은 완비 불 대수이므로 시그마 대수이다.

측도 공간

가측 공간 $(X,\mathrm{\Sigma })$에서, $\mathrm{\Sigma }\subseteq 𝒫(X)$는 정의에 따라 $𝒫(X)$의 부분 시그마 대수이다.

측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$에서, $\mu$-영집합들의 족

$\mathrm{Null}(X,\mathrm{\Sigma },\mu )=\{S\in \mathrm{\Sigma }:\mu (S)=0\}$

은 $\mathrm{\Sigma }$의 시그마 아이디얼을 이루며, $\mathrm{\Sigma }/\mathrm{Null}(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$는 시그마 대수를 이룬다.

구체적이지 않은 시그마 대수

폐구간의 보렐 시그마 대수 $\mathrm{Borel}([0,1])$에서, 르베그 측도가 0인 보렐 집합들의 족은 시그마 아이디얼 $\mathrm{Null}([0,1])\subseteq \mathrm{Borel}([0,1])$을 이룬다. 그 몫 시그마 대수 $\mathrm{Borel}([0,1])/\mathrm{Null}([0,1])$는 멱집합 시그마 대수의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없다.틀:Rp

역사와 어원

"시그마 대수"라는 이름에서, 시그마(σ)는 "가산 무한"을 뜻한다.틀:Rp 즉, 임의의 불 대수에서 유한 집합의 상한·하한이 존재하는 조건을 가산 집합으로 강화한 것이다.

루미스-시코르스키 표현 정리는 린 해럴드 루미스(틀:Llang, 1915~1994)와 로만 시코르스키(틀:Llang, 1925~1983)틀:Rp가 증명하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
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