콤팩트 리 군

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 콤팩트 리 군(compact Lie群, 틀:Llang)은 콤팩트 공간인 리 군이다. 이들은 완전히 분류되었으며, 물리학이나 기타 수학 분야에 자주 등장한다. 콤팩트 리 군의 군 표현론 및 대수적 위상수학은 일반적인 리 군의 경우보다 더 간단하며, 잘 알려져 있다.

정의

리 군 $G$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 위상 공간으로서 콤팩트 공간이다.
• 다음 조건들이 모두 성립한다.
  • 유한 개의 연결 성분을 가진다.
  • 그 실수 리 대수 $\mathrm{Lie}(G)$는 아벨 리 대수와 반단순 리 대수의 직합이다.
  • 이러한 분해 $\mathrm{Lie}(G)=𝔞\oplus 𝔰$에서, 반단순 리 대수 $𝔰$의 킬링 형식은 음의 정부호이다.
  • 이러한 분해 $\mathrm{Lie}(G)=𝔞\oplus 𝔰$에서, 아벨 리 대수 $𝔞$의 임의의 원소 $x\in 𝔞$에 대한 리 지수 사상 $\exp (ℝx)\subseteq G$은 닫힌집합이 아니거나 또는 원군과 미분 동형이다.

성질

대수적 성질

복소다양체를 이루는 콤팩트 리 군은 항상 아벨 군이며, 이들은 복소수체 위의 아벨 대수다양체를 이룬다.

단일 연결 반단순 콤팩트 리 군의 기본 표현의 수는 그 계수(극대 아벨 부분 리 군의 차원, 또는 딘킨 도표의 꼭짓점의 수)와 같으며, 그 유한 차원 표현들은 이로부터 분류된다. 단일 연결 조건이 생략되면, 그 범피복군의 표현 가운데 일부는 원래 군의 표현을 이루지 못할 수 있다. (예를 들어, 스피너는 스핀 군의 표현을 이루지만, 직교군의 표현을 이루지 못한다.) 물론, 아벨 성분의 표현론은 자명하다.

해석학적 성질

콤팩트 리 군 위에는 양쪽 하르 측도(즉, 오른쪽 및 왼쪽 군의 작용에 대하여 불변인 확률 측도)가 존재한다. (반면, 일반적 리 군 위에는 왼쪽 또는 오른쪽 하르 측도가 항상 존재하지만 양쪽 하르 측도가 존재하지 못할 수 있다.)

$G$는 왼쪽 곱셈

${𝖫}_g:G\to G(g\in G)$

${𝖫}_g:h\mapsto gh$

을 통하여 $G$ 위의 미분 형식들의 공간 $\mathrm{\Omega }(G)$ 위에 당김으로서 작용하며, 특히 $G$의 작용에 불변인 부분 공간 $\mathrm{\Omega }(G{)}^G$을 정의할 수 있다. 이 경우, $G$-불변 미분 형식들은 쐐기곱과 외미분에 대하여 닫혀 있으며, 그 코호몰로지는 $G$의 드람 코호몰로지와 같다. 또한, $G$-불변 미분 형식들의 공사슬 복합체는 사실 $G$의 리 대수 $\mathrm{Lie}(G)$만으로 재구성될 수 있는데, 이를 리 대수 코호몰로지라고 한다. (실수체 계수의 코호몰로지이므로, $G$의 꼬임 기본군을 무시할 수 있으며, 따라서 이는 $G$의 리 대수만으로 완전히 결정된다.)

사실, 포함 사상 $\mathrm{\Omega }(G{)}^G\hookrightarrow \mathrm{\Omega }(G)$의 왼쪽 역사상인 다음과 같은 공사슬 사상이 존재한다.

${\mathrm{avg}}_G:\mathrm{\Omega }(G)\to \mathrm{\Omega }(G{)}^G$

${\mathrm{avg}}_G:\alpha \mapsto \underset{G}{\int }{𝖫}_g^{*}\alpha \mathrm{d}{\mu }_G(g)$

(여기서 ${\mu }_G$는 물론 $G$의 하르 측도이며, $\underset{G}{\int }\mathrm{d}{\mu }_G=1$이다.) 즉,

${\mathrm{avg}}_G\upharpoonright \mathrm{\Omega }(G{)}^G={\mathrm{id}}_{\mathrm{\Omega }(G{)}^G}$

이며, 이는 또한 외미분을 보존하며, 또한 이는 코호몰로지의 동형을 유도한다.

위상수학적 성질

코호몰로지

연결 콤팩트 리 군 $G$의 드람 코호몰로지 ${\mathrm{H}}^{\bullet }(G;ℝ)$를 생각하자. 실수 등급 대수로서, 이는 유한 개의 홀수 차수의 생성원들로 생성되는 외대수이다. 또한, 생성원의 차수는 $G$의 계수($\mathrm{Lie}(G)$의 극대 아벨 부분 리 대수의 차원)와 같다.

구체적으로, $G$의 리 대수 $𝔤=\mathrm{Lie}(G)$의 극대 아벨 부분 리 대수 (카르탕 부분 대수)

$𝔱\subseteq 𝔤$

를 고르고, 그 리 지수 사상에 대한 닫힌 아벨 부분군을 $T\le G$라고 하자. 그렇다면, $𝔤$의 (반단순 성분의) 바일 군 $\mathrm{Weyl}(G)$은 $𝔱$ 변수 실수체 계수 다항식환

$ℝ[𝔱]=ℝ\oplus {𝔱}^{*}\oplus {\mathrm{Sym}}^2{𝔱}^{*}\oplus \cdots$

위에 작용하며, 따라서 불변 다항식의 대수

$ℝ[𝔱{]}^{\mathrm{W}(𝔤)}$

를 정의할 수 있다. 이는 항상 자유 가환 결합 대수이며, 그 생성원의 수는 $G$의 계수(즉, ${\dim }_{ℝ}𝔱$)와 같다. $ℝ[𝔱{]}^{\mathrm{W}(𝔤)}$의 생성원의 다항식 차수가

$d_1,d_2,\dots ,d_{{\dim }_{ℝ}𝔱}$

라고 하자.

그렇다면, 다음과 같은 등급 대수의 동형이 존재한다.

${\left(\frac{ℝ[𝔱]}{ℝ[𝔱{]}^{\mathrm{Weyl}(𝔤)}}\right)}_{(2)}\cong \mathrm{H}(G/T;ℝ)$

여기서

• $(-{)}_{(2)}$는 원래 등급 대수에서 각 성분의 등급을 2배로 곱하여 얻는 등급 대수이다. (즉, 홀수 등급의 성분은 모두 0이 된다.)
• $G/T$는 (아벨 군이므로 정규 부분군인) $T$에 대한 몫군이다.

즉, $G/T$의 실수 계수 코호몰로지는 등급 $2d_i$들의 원소들로 생성되는 자유 가환 결합 대수이다.

마찬가지로, $G$의 실수 계수 코호몰로지는 등급 $2d_i-1$의 원소들로 생성되는 자유 가환 결합 대수이다.

호모토피

콤팩트 리 군의 실수 계수 호모토피 군은 그 드람 코호몰로지로부터 유리수 호모토피 이론을 통해 계산될 수 있다. 특히, 모든 단순 리 대수는 킬링 형식을 통해 2차 불변 다항식을 가지므로, 각 단순 리 대수 성분에 대하여 3차 호모토피 군의 생성원이 존재한다.

콤팩트 리 군의 정수 계수 호모토피 군은 보트 주기성으로 계산될 수 있다.

위상 K이론

단일 연결 반단순 콤팩트 리 군 $G$가 주어졌다고 하자. $G$의 각 기본 표현

${\rho }_i:G\hookrightarrow \mathrm{U}(n_i)\subseteq \mathrm{U}(\mathrm{\infty })$

은 −1차 위상 K군 ${\mathrm{K}}^{-1}(G)$의 원소를 정의한다. 이를 편의상 ${\beta }_i$로 표기하자.

$G$의 위상 K군들로 구성된 환

${\mathrm{K}}^{\bullet }(G)$

은 ${\beta }_i$들로 생성되는 외대수이다.

분류

모든 콤팩트 리 군 $G$는 표준적으로 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 갖는다.

$1\to G_0\to G\to {\pi }_0(G)\to 1$

여기서 $G_0$은 $G$의, $1_G\in G$를 포함하는 연결 성분인 리 군이며, ${\pi }_0(G)$는 $G$의 연결 성분들로 구성된 이산군이다.

연결 콤팩트 리 군 $G_0$는 항상 다음과 같은 꼴로 표현된다.

$G_0=\frac{T\times S}{\mathrm{\Gamma }}$

여기서

• $T\cong \mathrm{U}(1{)}^n$은 원환면이다.
• $S$는 음의 정부호 킬링 형식을 갖는 반단순 리 대수에 대응되는 단일 연결 리 군이다.
• $\mathrm{\Gamma }\le T\times \mathrm{Z}(S)$는 $T\times S$의 중심에 속하는 유한군이다. 또한, 이 경우 $T\cap \mathrm{\Gamma }=\{1\}$이 되게 잡을 수 있다.

따라서, 콤팩트 리 군의 분류는 반단순 리 대수의 분류로 귀결되며, 이들은 딘킨 도표로 완전히 분류된다.

초구를 이루는 리 군

특히, 위 분류에 따라, 초구 가운데 리 군의 구조를 갖출 수 있는 것은

${𝕊}^0\cong \mathrm{Cyc}(2)$ (2차 순환군)

${𝕊}^1\cong \mathrm{U}(1)$ (원군)

${𝕊}^3\cong \mathrm{SU}(2)$ (2차 특수 유니터리 군)

밖에 없다. 이들은 각각 실수체 · 복소수체 · 사원수 대수의 절댓값 1의 원소들의 리 군이다.

역사

콤팩트 리 군의 실수 계수 코호몰로지에 대한 정리는 하인츠 호프가 1941년에 증명하였다. 사실, 호프는 호프 대수의 개념을 이 정리를 증명하기 위하여 이 논문에서 도입하였다.

외부 링크

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