순환군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 순환군(循環群, 틀:Llang)은 한 원소로 생성될 수 있는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정된 원소의 거듭제곱이다. (군의 연산이 곱셈이 아닌 덧셈일 경우, 모든 원소는 고정 원소의 정수배이다.)

정의

군의 원소 $g \in G$ 가 생성하는 순환군 $⟨ g ⟩$ 은 다음과 같다.

⟨ g ⟩ = {g^{n} : n \in ℤ} = {\dots, g^{- 2}, g^{- 1}, 1, g, g^{2}, \dots} \leq G

차수

군 $G$ 의 차수(次數, 틀:Llang,ord) 또는 위수(位數)는 집합으로서의 크기 $| G |$ 를 뜻한다.

군의 원소 $g \in G$ 의 차수 $ord g$ 는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

ord g = | ⟨ g ⟩ | = {\begin{matrix} \infty & \exists n \in ℤ^{+} : g^{n} = 1 \\ \min {n \in ℤ^{+} : g^{n} = 1} & \exists n \in ℤ^{+} : g^{n} = 1 \end{matrix} \in ℤ^{+} \cup {\infty}

지수

군 $G$ 의 지수(指數, 틀:Llang) $\exp G$ 는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

\exp G = {\begin{matrix} \infty & \exists n \in ℤ^{+} \forall g \in G : g^{n} = 1 \\ {lcm}_{g \in G} ord g = \min {n \in ℤ^{+} : \forall g \in G : g^{n} = 1} & \exists n \in ℤ^{+} \forall g \in G : g^{n} = 1 \end{matrix} \in ℤ^{+} \cup {\infty}

분류

순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.

⟨ g ⟩ ≅ {\begin{matrix} Z & ord g = \infty \\ Z_{ord g} & ord g < \infty \end{matrix}

성질

약수 관계

군의 유한 차수 원소 $g \in G$ 및 정수 $n \in ℤ$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$g^{n} = 1$
$ord g ∣ n$

틀:증명

(⇐) $ord g ∣ n$ 이라면, $n = n^{'} ord g$ 인 $n^{'} \in ℤ$ 가 존재하므로, $g^{n} = (g^{ord g})^{n^{'}} = 1^{n^{'}} = 1$ 이다.
(⇒) $g^{n} = 1$ 이라면, $n$ 과 $ord g$ 의 나머지 있는 나눗셈을 $n = q ord g + r$ 라고 하면, $g^{r} = g^{n} g^{- ord g} = 1$ 이므로, 차수의 정의에 따라 $r = 0$ 이다. 즉, $ord g ∣ n$ 이다.

틀:증명 끝

지수가 유한한 군 $G$ 및 정수 $n \in ℤ$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

임의의 $g \in 𝔾$ 에 대하여, $g^{n} = 1$
$\exp G ∣ n$

틀:증명

(⇐) $\exp G ∣ n$ 이라면, $n = n^{'} \exp G$ 인 $n^{'} \in ℤ$ 가 존재하므로, 임의의 $g \in G$ 에 대하여, $g^{n} = (g^{\exp G})^{n^{'}} = 1^{n^{'}} = 1$ 이다.
(⇒) 임의의 $g \in G$ 에 대하여 $g^{n} = 1$ 이라면, 임의의 $g \in G$ 에 대하여 $ord g ∣ n$ 이므로, 지수의 정의에 따라 $\exp G ∣ n$ 이다.

틀:증명 끝

유한군 $G$ 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

ord g ∣ \exp G ∣ | G |

군의 유한 차수 원소 $g \in G$ 및 정규 부분군 $N ◃ G$ 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

ord (g N) ∣ ord g

틀:증명

(g N)^{ord g} = g^{ord g} N = N

틀:증명 끝

항등식

군의 유한 차수 원소 $g \in G$ 및 정수 $n \in ℤ$ 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

ord g^{n} = \frac{ord g}{\gcd {ord g, n}}

틀:증명 다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

ord⁡gn∣ord⁡ggcd⁡{ord⁡g,n}
- 증명: $(g^{n})^{\frac{ord g}{\gcd {ord g, n}}} = (g^{ord g})^{\frac{n}{\gcd {ord g, n}}} = 1^{\frac{n}{\gcd {ord g, n}}} = 1$
ord⁡ggcd⁡{ord⁡g,n}∣ord⁡gn
- 증명: $1 = (g^{n})^{ord g^{n}} = g^{n ord g^{n}}$ 이므로, $ord g ∣ n ord g^{n}$ 이므로, $\frac{ord g}{\gcd {ord g, n}} ∣ \frac{n}{\gcd {ord g, n}} ord g^{n}$ 이므로, $\frac{ord g}{\gcd {ord g, n}} ∣ ord g^{n}$

틀:증명 끝

군의 원소 $g, h \in G$ 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

$g h = h g$
$\gcd {ord g, ord h} = 1$

그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

ord (g h) = ord g ord h

틀:증명 다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

ord⁡(gh)∣ord⁡gord⁡h
- 증명: $(g h)^{ord (g h)} = (g^{ord g})^{ord h} (h^{ord h})^{ord g} = 1^{ord h} 1^{ord g} = 1$
ord⁡gord⁡h∣ord⁡(gh)
- 증명: $1 = (g h)^{ord g ord (g h)} = h^{ord g ord (g h)}$ 이므로, $ord h ∣ ord g ord (g h)$ 이므로, $ord h ∣ ord (g h)$ 이다. 비슷하게, $ord g ∣ ord h ord (g h)$ 이다. 따라서, $ord g ord h ∣ ord (g h)$ 이다.

틀:증명 끝

반대로, 군의 원소 $x \in G$ 의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.

ord x = m n (\gcd {m, n} = 1)

그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 $g, h \in G$ 가 존재한다.

$x = g h = h g$
$ord g = m$
$ord h = n$

틀:증명 베주 항등식에 따라, 다음 조건을 만족시키는 $u, v \in ℤ$ 가 존재한다.

1 = m u + n v

조건을 만족시키는 $g, h \in G$ 를 다음과 같이 취할 수 있다.

g = x^{n v}

g = x^{m u}

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

ord⁡g∣m, ord⁡h∣n
- 증명: $g^{m} = (x^{n v})^{m} = (x^{m n})^{v} = 1^{v} = 1$
m∣ord⁡g, n∣ord⁡h
- 증명: $m n = ord (g h) = ord g ord h$

틀:증명 끝

유한 아벨 군 $G$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 $g \in G$ 가 존재한다.

임의의 $h \in G$ 에 대하여, $ord h ∣ ord g$

즉, 다음이 성립한다.

\max_{g \in G} ord g = \exp G

틀:증명 최대 차수 원소 $g \in G$ 를 취하자. 임의의 $h \in G$ 에 대하여,

ord h ∤ ord g

라고 가정하자. 그렇다면,

v_{p} (ord g) < v_{p} (ord h)

를 만족시키는 소인수 $p ∣ ord h$ 가 존재한다. 이 경우,

ord g^{p^{v_{p} (ord g)}} = \frac{ord g}{p^{v_{p} (ord g)}}

ord h^{\frac{ord h}{p^{v_{p} (ord h)}}} = p^{v_{p} (ord h)}

이므로,

ord (g^{p^{v_{p} (ord g)}} h^{\frac{ord h}{p^{v_{p} (ord h)}}}) = p^{v_{p} (ord h) - v_{p} (ord g)} ord g > ord g

이며, 이는 모순이다. 틀:증명 끝

순환군

모든 순환군은 유한 생성 아벨 군이다.

군 $G$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$| G |$ 는 소수이다.
$G$ 는 순환 단순군이다.
$G$ 는 아벨 단순군이다.

틀:증명

소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군: $| G |$ 가 소수라면, 라그랑주 정리에 따라, 그 부분군은 ${1_{G}}, G$ 밖에 없으므로, $G$ 는 단순군이다. $1_{G} \neq g \in G$ 를 취하자. 그렇다면, $| ⟨ g ⟩ | = p$ 이므로, $⟨ g ⟩ = G$ 이다. 즉, $G$ 는 순환군이다.
순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군: 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다.
아벨 단순군 ⇒ 소수 크기의 군: $| G |$ 가 소수가 아니라고 가정하자. $G$ 가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로, $G$ 는 단순군이 아니며, 이는 모순이다. $G$ 가 순환군이 아닌 경우, 임의의 $1_{G} \neq g \in G$ 를 취하자. 그렇다면, $⟨ g ⟩ ◃ G$ 이며, $⟨ g ⟩ \neq 1, G$ 이므로, $G$ 는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.

틀:증명 끝

순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로, $⟨ g ⟩$ 의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

⟨ g^{n} ⟩ {\begin{matrix} n \in ℤ & ord g = \infty \\ n ∣ ord g & ord g < \infty \end{matrix}

순환군의 몫군 역시 순환군이다.

유한군 $G$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$G$ 는 순환군이다.
임의의, $| G |$ 의 양의 약수 $d$ 에 대하여, ${H \leq G : | H | = d} \leq 1$ 이다.
임의의 $m \in ℤ^{+}$ 에 대하여, $| {x \in G : x^{m} = 1} | \leq m$ 이다.

틀:증명

(1) ⇒ (2): 순환군 $⟨ g ⟩$ 의, 크기 $d$ 의 부분군은 $⟨ g^{\frac{ord g}{d}} ⟩$ 가 유일하다.
(1) ⇐ (2): 임의의 0<d∣|G|에 대하여, |{g∈G:ord⁡g=d}|=ϕ(d)>0임을 증명하자. (여기서 ϕ는 오일러 피 함수이다.) 그렇다면, 특히 ord⁡g=|G|인 g∈G가 존재하므로, G는 순환군이다.
- 증명: $ord g = ord h = d$ 인 $g, h \in G$ 를 취하자. 그렇다면, (2)에 의하여 $⟨ g ⟩ = ⟨ h ⟩$ 이므로, $h = g^{n}$ 인 $n \in ℤ$ 가 존재한다. 차수 공식을 사용하면 $\gcd {n, d} = 1$ 를 얻는다. 즉, 구하려는 수는 0이거나 $ϕ (d)$ 이다. 또한, $n = \sum_{d ∣ | G |} ϕ (d)$ 이므로, 구하려는 수는 $ϕ (d)$ 이다.
(1) ⇔ (3):: 쉴로브 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

틀:증명 끝

순환군 $Z_{m}, Z_{n}$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$Z_{m} \oplus Z_{n} ≅ Z_{m n}$
$\gcd {m, n} = 1$

틀:증명

(⇐) $ord (1 \oplus 1) = ord (1 \oplus 0) ord (0 \oplus 1) = m n$
(⇒) 만약 $\gcd {m, n} \neq 1$ 이라면, $| {a \oplus b \in Z_{m} \oplus Z_{n} : (a \oplus b)^{\frac{m n}{\gcd {m, n}}} = 1} | = | Z_{m} \oplus Z_{n} | = m n > \frac{m n}{\gcd {m, n}}$ 이므로, $Z_{m} \oplus Z_{n} ≇ Z_{m n}$ 이다.

틀:증명 끝

코시 정리에 따르면, 임의의 소인수 $p ∣ | G |$ 에 대하여, $ord g_{p} = p$ 인 $g_{p} \in G$ 가 존재한다.

응용

유한 아벨 군의 분해

틀:본문 유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. $G$ 가 아벨 유한 p-군, $a \in G$ 가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, $G = ⟨ a ⟩ \times B$ 인 $B \leq G$ 가 존재한다. 틀:증명 귀류법을 사용하여, $G$ 가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, $| G | \geq 2$ 이며, $G \neq ⟨ a ⟩$ 이므로, 최소 차수 원소 $b \in G ∖ ⟨ a ⟩$ 를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.

ord⁡b=p
- 증명: 그렇지 않다면, $ord b = p^{e}$ ( $e \geq 2$ )이며, $ord b^{p} = p^{e - 1}$ 이므로, $b^{p} \in ⟨ a ⟩$ 이다. $b^{p} = a^{n}$ ( $n \in ℤ$ )이라고 하자. 그렇다면, $\frac{ord a}{\gcd {ord a, n}} = ord b^{p} < ord b \leq ord a$ 이므로, $p ∣ n$ 이다. 따라서, $(b a^{- \frac{n}{p}})^{p} = 1_{G}$ 이며, $b a^{- \frac{n}{p}} \in G ∖ ⟨ a ⟩$ 인데, 이는 $b$ 의 선택과 모순이다.
⟨a⟩∩⟨b⟩=1
- 증명: $1_{G} \neq a^{m} = b^{n} \in ⟨ a ⟩ \cap ⟨ b ⟩$ ( $0 \leq n < p$ )라고 하자. 그렇다면, $1 = n u + p v$ 인 $u, v \in ℤ$ 가 존재하며, $b = b^{n u} b^{p v} = a^{m u} \in ⟨ a ⟩$ 이다. 이는 모순이다.
a⟨b⟩∈G/⟨b⟩은 최대 차수 원소이다.
- 증명: 우선 $ord (a ⟨ b ⟩) ∣ ord a$ 이다. $ord (a ⟨ b ⟩) < ord a$ 라고 가정하면, $(a ⟨ b ⟩)^{\frac{ord a}{p}} = 1$ 이므로, $a^{\frac{ord a}{p}} \in ⟨ a ⟩ \cap ⟨ b ⟩ = 1$ 이다. 이는 모순이다. 따라서 $ord (a ⟨ b ⟩) = ord a$ 이며, $a ⟨ b ⟩ \in G / ⟨ b ⟩$ 은 최대 차수 원소이다.
G/⟨b⟩=⟨a⟨b⟩⟩×(B/⟨b⟩)인 ⟨b⟩⊆B≤G/⟨b⟩가 존재한다.
- 증명: $| G / ⟨ b ⟩ | = | G | / p < | G |$
G=⟨a⟩×B
- 증명: 우선, $G / ⟨ b ⟩ = ⟨ a ⟨ b ⟩ ⟩ \times (B / ⟨ b ⟩) = (⟨ a ⟩ / ⟨ b ⟩) \times (B / ⟨ b ⟩) = (⟨ a ⟩ B) / ⟨ b ⟩$ 이므로, $G = ⟨ a ⟩ B$ 이다. 또한, $(⟨ a ⟩ \cap B) / ⟨ b ⟩ \subseteq (⟨ a ⟩ / ⟨ b ⟩) \cap (B / ⟨ b ⟩) = {⟨ b ⟩}$ 이므로, $⟨ a ⟩ \cap B \subseteq ⟨ a ⟩ \cap ⟨ b ⟩ = 1$ 이며, $G = ⟨ a ⟩ \times B$ 이다.

틀:증명 끝

같이 보기

외부 링크

순환군

목차

정의

차수

지수

분류

성질

약수 관계

항등식

순환군

응용

유한 아벨 군의 분해

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