리 지수 사상

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 리 지수 사상(指數寫像, 틀:Llang)은 어떤 리 군을 공역으로 하고, 그 리 대수를 정의역으로 하는 특별한 함수이다. 행렬군의 경우 이는 행렬의 지수 함수와 같다.

정의

(유한 차원) 리 군 $G$의 리 대수 $\mathrm{Lie}(G)={\mathrm{T}}_{1}G=𝔤$를 생각하자. 그렇다면, 임의의 $x\in 𝔤$에 대하여,

${\gamma }_x:ℝ\to G$

${\gamma }_x(0)=1$

${\dot{\gamma }}_x(0)=x\in {\mathrm{T}}_{1}G=𝔤$

가 되는 매끄러운 함수인 군 준동형이 유일하게 존재함을 보일 수 있다. 이에 따라, $G$의 리 지수 사상은 다음과 같은 함수이다.

${\exp }_G:𝔤\to G$

${\exp }_G:x\mapsto {\gamma }_x(1)$

구체적 정의

리 군 $G$가 다음과 같이 행렬군의 부분군이라고 하자.

$G\hookrightarrow \mathrm{GL}(n;ℝ)$

즉, $G$가 충실한 $n$차원 실수 표현을 갖는다고 하자.

그렇다면, $G$의 리 대수 $\mathrm{Lie}(G)=𝔤$ 역시 실수 표현

$𝔤\hookrightarrow 𝔤𝔩(n;ℝ)$

을 갖는다.

이 경우, $G$의 리 지수 사상은 행렬 지수 함수와 같다.

${\exp }_G:𝔤\to G$

${\exp }_G:x\mapsto \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{x}^n=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\cdots$

성질

리 지수 사상은 매끄러운 함수이며, 그 치역은 리 군 $G$의 항등원을 포함하는 연결 성분 $G_1$의 부분 집합이다.

${\exp }_G:𝔤\to G_1$

항등식

리 지수 사상은 다음을 만족시킨다.

$\exp ((s+t)x)=\exp (sx)\exp (tx)(s,t\in ℝ,x\in 𝔤)$

$\exp (-x)=\exp (x{)}^{-1}(x\in 𝔤)$

$\exp (x+y)=\exp (x)\exp (y)(x,y\in 𝔤,[x,y]=0)$

또한, 리 군의 스스로의 리 대수 위의 딸림표현

$\mathrm{Ad}:G\times 𝔤\to 𝔤$

$\mathrm{Ad}:(g,x)\mapsto {\mathrm{Ad}}_g(x)$

에 대하여, 다음이 성립한다.

${\mathrm{Ad}}_{\exp x}(y)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{\mathrm{ad}}_x^k(y)=y+[x,y]+\frac{1}{2}[x,[x,y]]+\frac{1}{6}[x,[x,[x,y]]]+\cdots$

함자성

리 지수 함수는 유한 차원 실수 리 대수의 범주 ${\mathrm{fdLie}}_{ℝ}$에서,

두 리 군 사이의 매끄러운 군 준동형

$f:G\to H$

가 주어졌다고 하자. 이는 리 대수 사이의 준동형

$f_{*}:\mathrm{Lie}(G)\to \mathrm{Lie}(H)$

를 유도한다. 그렇다면, 지수 함수는 다음 그림을 가환 그림으로 만든다. 즉, 리 지수 함수는 함자성을 갖는다.

$\begin{array}{ccc}\mathrm{Lie}(G)& \stackrel{f_{*}}{\to }& \mathrm{Lie}(H)\\ \exp \downarrow \exp & & \exp \downarrow \exp \\ G& \to f& H\end{array}$

전사성

리 군 $G$가 만약 다음 세 조건 가운데 적어도 하나 이상을 만족시킨다면, 그 리 지수 사상은 전사 함수이다.

• $G$는 연결 공간이며 콤팩트 공간이다.
• $G$는 연결 공간이며 멱영군이다.
• $G$는 $\mathrm{GL}(n;ℂ)$의, 이산군에 대한 몫군이다.

예

아벨 리 군

$G={ℝ}^n$이 아벨 리 군이라고 하자. 그렇다면, 그 리 지수 사상은 다음과 같다.

$𝔤={ℝ}^n$

${\exp }_G:𝔤\to G$

${\exp }_G:(x_1,\dots ,x_n)\mapsto (\exp x_1,\dots ,\exp x_n)$

마찬가지로, $G=\mathrm{U}(1)=\{z\in ℂ:|z|=1\}$가 아벨 리 군이라고 하자. 그렇다면, 리 지수 사상은 다음과 같다.

$𝔤=\mathrm{i}ℝ$

${\exp }_G:𝔤\to G$

${\exp }_G:\mathrm{i}\theta \mapsto \exp (\mathrm{i}\theta )$

SU(2)

틀:본문 SU(2)는 절댓값이 1인 사원수의 리 군과 동형이다.

$\mathrm{SU}(2)=\{q\in ℍ:|q|=1\}$

이 경우, 그 리 대수는 순수 허수 성분만을 갖는 사원수의 실수 벡터 공간이다.

$𝔰𝔲(2)=\mathrm{i}ℝ+\mathrm{j}ℝ+\mathrm{k}ℝ=\{a\mathrm{i}+b\mathrm{j}+c\mathrm{k}:a,b,c\in ℝ\}=\{q\in ℍ:\overline{q}=-q\}$

이 경우, 리 지수 함수는 사원수의 지수 함수와 같다.

$\exp (q)=\{\begin{array}{cc}\cos |q|+\frac{q\sin |q|}{|q|}& q\ne 0\\ 1& q=0\end{array}$

SL(2;ℝ)

틀:본문 리 군 $\mathrm{SL}(2;ℝ)$의 리 지수 사상은 전사 함수가 아니다. 그 치역은 다음 조건들 가운데 적어도 하나를 만족시키는 2×2 실수 행렬들로 구성된다.틀:Rp

• 복소수체에서 대각화가 가능하며, 그 고윳값은 모두 실수이다.
• 복소수체에서 대각화가 가능하며, 그 고윳값은 모두 절댓값이 1인 복소수이다.
• 고윳값 1이 중복해서 등장한다.
• $\mathrm{diag}(-1,-1)$이다.

특히, 예를 들어 $\mathrm{diag}(-1,-2)\in \mathrm{SL}(2;ℝ)$는 리 지수 사상의 치역에 포함되지 않는다.

같이 보기

• 행렬 지수 함수

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Nlab