호프 대수

틀:위키데이터 속성 추적 틀:대수 구조 수학에서 호프 대수(틀:Llang)는 곱셈과 쌍대곱셈(틀:Lang)이 정의되고, 두 구조가 앤티포드(틀:Llang)라는 연산을 통해 호환되는 결합 대수이다.

정의

R가 (단위원을 가진) 가환환이라고 하자. R계수를 가진 호프 대수 H는 다음과 같은 구조를 갖춘다.

• (곱셈 틀:Llang) $\mathrm{\nabla }:H\otimes H\to H$
• (단위원 틀:Llang) $\eta :R\to H$
• (쌍대곱셈 틀:Llang) $\mathrm{\Delta }:H\to H\otimes H$
• (쌍대단위원 틀:Llang) $ϵ:H\to R$
• (앤티포드 틀:Llang) $S:H\to H$

이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다. ($a,b,c\in H$, $r\in R$)

• $H$는 $R$에 대한 가군이고, $\mathrm{\nabla },\eta ,\mathrm{\Delta },ϵ,S$ 모두 R-선형 변환이다.
• $(H,\mathrm{\nabla },\eta )$는 결합법칙을 만족시키고, 단위원을 갖춘 대수다. 즉,
  • (결합법칙) $\mathrm{\nabla }\circ (\mathrm{id}\otimes \mathrm{\nabla })=\mathrm{\nabla }\circ (\mathrm{\nabla }\otimes \mathrm{id})$
  • (단위원의 존재) $\mathrm{\nabla }\circ (\mathrm{id}\otimes \eta )=\mathrm{\nabla }\circ (\eta \otimes \mathrm{id})=\mathrm{id}$
• $(H,\mathrm{\Delta },ϵ)$은 쌍대결합법칙을 만족시키고, 쌍대단위원을 갖춘 쌍대대수다. 즉,
  • (쌍대결합법칙) $(\mathrm{id}\otimes \mathrm{\Delta })\circ \mathrm{\Delta }=(\mathrm{\Delta }\otimes \mathrm{id})\circ \mathrm{\Delta }$
  • (쌍대단위원의 존재) $(\mathrm{id}\otimes ϵ)\circ \mathrm{\Delta }=(ϵ\otimes \mathrm{id})\circ \mathrm{\Delta }=\mathrm{id}$
• 대수 구조와 쌍대대수 구조가 서로 호환돼, H는 이중대수(틀:Llang)를 이룬다. 즉,
  • (곱셈과 쌍대곱셈의 호환성) $\mathrm{\Delta }\circ \mathrm{\nabla }=(\mathrm{\nabla }\otimes \mathrm{\nabla })\circ (\mathrm{id}\otimes \tau \otimes \mathrm{id})\circ (\mathrm{\Delta }\otimes \mathrm{\Delta })$. 여기서 $\tau :a\otimes b\to b\otimes a$이다.
  • (곱셈과 쌍대단위원의 호환성) $ϵ\otimes ϵ=ϵ\circ \mathrm{\nabla }$
  • (쌍대곱셈과 단위원의 호환성) $\eta \otimes \eta =\mathrm{\Delta }\circ \eta$
  • (단위원과 쌍대단위원의 호환성) $ϵ\circ \eta =\mathrm{id}$
• (앤티포드) $\mathrm{\nabla }\circ (S\otimes \mathrm{id})\circ \mathrm{\Delta }=\eta \circ ϵ=\mathrm{\nabla }\circ (\mathrm{id}\otimes S)\circ \mathrm{\Delta }$

마지막 공리는 다음과 같은 가환 그림(틀:Llang)으로 나타낼 수 있다.

역사와 어원

하인츠 호프의 이름을 땄다.

예

	조건	쌍대곱	쌍대단위원	앤티포드
군대수 $R[G]$	$G$는 임의의 군	Δ(g) = g ⊗ g	ε(g) = 1	S(g) = g−1
텐서 대수 T(V)	V는 임의의 벡터 공간	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x (x ∈ V)	ε(x) = 0	S(x) = −x (x ∈ V)
보편 포락 대수 $U(𝔤)$	$𝔤$는 리 대수	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x (x ∈ $𝔤$)	ε(x) = 0	S(x) = −x

응용

호프 대수의 개념은 이론물리학에서 특수한 대칭을 묘사하기 위하여 사용된다.

역사

호프 대수의 개념은 하인츠 호프가 1941년에 콤팩트 리 군의 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다.

같이 보기

• 양자군

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드