직교군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 직교군(直交群, 틀:Llang)은 주어진 체에 대한 직교 행렬의 리 군이다.

정의

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위에 비퇴화 이차 형식

$Q:V\to K$

가 주어졌다고 하자. (만약 $K$의 표수가 2가 아니라면, 이는 $V$ 위의 대칭 비퇴화 쌍선형 형식과 같다.) 그렇다면, 직교군 $\mathrm{O}(V,Q)$는 $V$ 위의 가역 선형 변환들 가운데, $Q$를 보존하는 것들로 구성된 군이다.

$\mathrm{O}(V,Q)=\{M\in \mathrm{GL}(V):Q(u)=Q(Mu)\mathrm{\forall }u\in V\}$

이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체 $K$에 대한 대수군이다. 또한, 만약 $K$가 실수체나 복소수체라면, 직교군은 리 군을 이룬다.

만약 $V$가 $n$차원 벡터 공간이며, $Q$가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 $\mathrm{O}(n;K)$로 쓴다.

실베스터 관성 법칙에 의하여, 실수체 $K=ℝ$ 위의 비퇴화 이차 형식은 계량 부호수 $(p,q)$에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 $\mathrm{O}(p,q;ℝ)$와 같이 쓴다.

특수직교군

직교군에서 2차 순환군으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

$D:\mathrm{O}(n;K)\to \mathbb{Z}/2$

$D:M\mapsto \mathrm{rank}(1-M)(\mathrm{mod}2)$.

이 준동형을 딕슨 불변량(Dickson不變量, 틀:Llang)이라고 한다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면 이는 행렬식 $\det :\mathrm{O}(n;K)\to \{\pm 1\}$과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.)

특수직교군(特殊直交群, 틀:Llang) $\mathrm{SO}(n;K)$는 딕슨 불변량의 핵이다.

$\mathrm{SO}(n;K)=\ker D=\mathrm{O}(n;K)/(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.

즉, 딕슨 불변량이 0인 직교 행렬의 리 군이다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다.

$1\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to \mathrm{O}(n;K)\to \mathrm{SO}(n;K)\to 1$.

스핀 군과 핀 군

특수직교군 $\mathrm{SO}(n;ℝ)$에 대하여, 그렇다면 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군 $\mathrm{Spin}(n)$이 존재한다.

$1\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to \mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n;ℝ)\to 1$.

이 리 군을 스핀 군(틀:Llang)이라고 한다.

$n>2$일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 범피복 공간이다. ($n=2$일 경우는 물론 $\mathrm{SO}(2)=\mathrm{U}(1)$이고, 그 범피복 공간은 $ℝ$이다.)

마찬가지로, 직교군의 두 겹 피복군인 핀 군(틀:Llang)을 정의할 수 있다. 스핀 군과 핀 군은 다음과 같은 가환 그림을 만족시키며, 이 가환 그림에서 모든 행과 열은 짧은 완전열을 이룬다.

$\begin{array}{ccccc}& & 1& & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ & & \mathbb{Z}/2& =& \mathbb{Z}/2\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ 1& \to & \mathrm{Spin}(n)& \to & \mathrm{Pin}(n)& \to & \mathbb{Z}/2& \to & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \Vert \\ 1& \to & \mathrm{SO}(n)& \to & \mathrm{O}(n)& \to & \mathbb{Z}/2& \to & 1\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ & & 1& & 1\end{array}$

직교 리 대수

실수체 또는 복소수체 위의 직교군은 리 군을 이루며, 이에 대응하는 리 대수를 정의할 수 있다. 이는 $𝔰𝔬(n;K)$ 또는 $𝔬(n;K)$와 같이 쓴다 ($K=ℝ,ℂ$).

$𝔰𝔬(n;ℝ)$는 $n\times n$ 정사각 실수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이며, $𝔰𝔬(n;ℂ)$는 정사각 복소수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이다.

$𝔰𝔬(n;K)=\{M\in \mathrm{Mat}(n;K):M^{\mathrm{\top }}=-M\}$

스피너 노름

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$의 직교군 $\mathrm{O}(V,Q)$에 대하여, 스피너 노름(틀:Llang)은 다음과 같은 군 준동형이다.

$N:\mathrm{O}(V,Q)\to K^{\times }/(K^{\times }{)}^2$

$N(R_v)=1(Q(v)\ne 0)$

여기서 $R_v$는 $v\in V$에 대한 반사이며, 다음과 같이 정의된다.

$R_v:u\mapsto u-v\frac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}$

직교군의 모든 원소는 이와 같은 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.

SO*(2n)

$𝔰𝔬(2n;ℂ)$은 다음과 같은 특수한 실수 형태를 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다.

우선, 체 $K$ 위의 $2n$차원 벡터 공간 $V$ 위에 심플렉틱 구조

$\mathrm{\Omega }:V{\otimes }_{K}V\to V$

가 주어졌다고 하자. 적절한 기저에서 이는

$\mathrm{\Omega }=\left(\begin{array}{cc}{0}_{n\times n}& 1_{n\times n}\\ -1_{n\times n}& 0_{n\times n}\end{array}\right)$

의 꼴이다. 그렇다면,

$\mathrm{GL}(V;K)$

위에 다음과 같은 조건을 가할 수 있다.

${\mathrm{O}}^{*}(V,\mathrm{\Omega })=\{M\in \mathrm{GL}(V;K):\mathrm{\Omega }(M^{\mathrm{\top }}u,v)=\mathrm{\Omega }(u,Mv)\mathrm{\forall }u,v\in V\}$

즉, $\mathrm{\Omega }$를 $2n\times 2n$ 행렬로 간주하였을 때, 다음 조건이다.

$M\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }M$

마찬가지로,

${\mathrm{SO}}^{*}(V,\mathrm{\Omega })=\mathrm{SL}(V)\cap {\mathrm{O}}^{*}(V,\mathrm{\Omega })$

이다.

그렇다면, 실수 리 대수 ${𝔰𝔬}^{*}(2n;ℝ)$는 $𝔰𝔬(2n;ℂ)$의 실수 형태이다.

성질

군론적 성질

체 $K$에 대한 직교군의 중심은 다음과 같다.

$\mathrm{Z}(\mathrm{O}(n;K))=\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}$

만약 $K$의 표수가 2가 아니라면, 중심의 크기는 2이며, 만약 $K$의 표수가 2라면 중심의 크기는 1이다. 체의 표수가 2가 아닐 때, 만약 $n$이 짝수라면 중심의 두 원소 모두 특수직교군에 속하지만, $n$이 홀수라면 그렇지 않다.

$\mathrm{Z}(\mathrm{SO}(n;K))=\{\begin{array}{cc}\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}& 2\mid n\\ \{1_{n\times n}\}& 2\nmid n\end{array}(\mathrm{char}K\ne 2)$

중심에 대하여 몫군을 취하면, 사영 직교군(틀:Llang)

$\mathrm{PO}(n;K)=\mathrm{O}(n;K)/\mathrm{Z}(\mathrm{O}(n;K))$

을 얻는다.

마찬가지로, 스핀 군의 중심은 다음과 같다.

$\mathrm{Z}(\mathrm{Spin}(n;ℂ))=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}/2& n\equiv 1,3(\mathrm{mod}4)\\ \mathbb{Z}/4& n\equiv 2(\mathrm{mod}4)\\ (\mathbb{Z}/2{)}^{\oplus 2}& n\equiv 0(\mathrm{mod}4)\end{array}$

$\mathrm{Z}(\mathrm{Spin}(p,q;ℝ))=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}/2& pq\equiv ̸0(\mathrm{mod}4)\\ \mathbb{Z}/4& pq\equiv 0(\mathrm{mod}4)\end{array}$

리 이론적 성질

복소수 리 군 $\mathrm{SO}(n;ℂ)$는 $n\ne 4$일 경우 단순 리 군이다. 단순 리 군의 분류에서, 이는 만약 $n=2k+1$이라면 $B_k$에, 만약 $n=2k$라면 $D_k$에 해당하며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.

$B_k:\bullet -\bullet -\cdots -\bullet \Rightarrow \bullet$

$D_k:\bullet -\bullet -\cdots -\bullet ⟨\genfrac{}{}{0ex}{}{\bullet }{\bullet }$

$\mathrm{SO}(n;ℝ)$는 $\mathrm{SO}(n;ℂ)$의 콤팩트 실수 형식이다. 분해 실수 형식은 짝수 차수에서는 $\mathrm{SO}(k,k;ℝ)$이며, 홀수 차수에서는 $\mathrm{SO}(k+1,k;ℝ)$이다.

$\mathrm{SO}(2k;ℝ)$의 극대 원환면은 다음과 같다.

$\left(\begin{array}{ccc}{R}_1& & 0\\ & \ddots \\ 0& & R_k\end{array}\right)$

여기서

$R_i=\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_i& -\sin {\theta }_i\\ \sin {\theta }_i& \cos {\theta }_i\end{array}\right)$

는 2×2 회전 행렬이다. $\mathrm{SO}(2k+1;ℝ)$의 극대 원환면은 다음과 같다.

$\left(\begin{array}{cccc}{R}_1& & & 0\\ & \ddots \\ & & R_k\\ 0& & & 1\end{array}\right)$

$\mathrm{SO}(2k+1;ℝ)$의 바일 군은 반직접곱

$\mathrm{Weyl}(\mathrm{SO}(2k+1;ℝ))\cong \{\pm 1{\}}^k⋊\mathrm{Sym}(k)$

이다. 여기서 $ϵ=({ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_k)\in \{\pm 1{\}}^k$는

$ϵ:{\theta }_i\mapsto {ϵ}_i{\theta }_i$

와 같이 작용하며, 순열 $\sigma \in \mathrm{Sym}(k)$는

$\sigma :{\theta }_i\mapsto {\theta }_{\sigma (i)}$

와 같이 작용한다. 구체적으로, 바일 군에서 $({ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_k)\in \{\pm 1{\}}^k$의 원소는 블록 대각 행렬

$\mathrm{diag}(M({ϵ}_1),\dots ,M({ϵ}_k),\prod _{i=1}^k{ϵ}_k)\in \mathrm{SO}(2k+1;ℝ)$

$M(+1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)M(-1)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

이며, $\mathrm{Sym}(k)$의 원소는 2×2 단위 행렬 블록의 $2k\times 2k$ 치환행렬에 $(2k+1,2k+1)$번째 성분 +1을 추가한 행렬이다.

$\mathrm{SO}(2k;ℝ)$의 바일 군은 반직접곱

$\mathrm{Weyl}(\mathrm{SO}(2k;ℝ))\cong \{\pm 1{\}}^{k-1}⋊\mathrm{Sym}(k)$

이다. 포함 관계

$\mathrm{Weyl}(\mathrm{SO}(2k;ℝ))<\mathrm{Weyl}(\mathrm{SO}(2k+1;ℝ))$

아래, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to \mathrm{Weyl}(\mathrm{SO}(2k;ℝ))\to \mathrm{Weyl}(\mathrm{SO}(2k;ℝ))\stackrel{\varphi }{\to }\{\pm 1\}\to 1$

이며, $\varphi$는 다음과 같다.

$\varphi :({ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_k,\sigma )\mapsto \prod _{i=1}^k{ϵ}_k\in \{\pm 1\}$

위상수학적 성질

실수 직교군 $\mathrm{O}(n;ℝ)$은 $n(n-1)/2$차원의 리 군이며, 콤팩트 공간이다. 두 개의 연결 성분을 가지며, 이들은 각각 행렬식 $\det M=\pm 1$인 실수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 연결 공간인 실수 특수직교군 $\mathrm{SO}(n;ℝ)$를 이룬다.

복소수 직교군 $\mathrm{O}(n;ℂ)$은 복소수 $n(n-1)/2$차원(실수 $n(n-1)$차원)의 복소수 리 군이자 대수군이다. $n\ge 2$인 경우, 복소수 직교군은 콤팩트하지 않다. 복소수 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지며, 이는 각각 행렬식이 $\det M=\pm 1$인 복소수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 복소수 특수직교군 $\mathrm{SO}(n;ℂ)$를 이룬다.

실수 또는 복소수 특수직교군의 기본군은 다음과 같다.

${\pi }_1(\mathrm{SO}(n;ℝ))\cong {\pi }_1(\mathrm{SO}(n;ℂ))\cong \{\begin{array}{cc}1& n=1\\ \mathbb{Z}& n=2\\ \mathbb{Z}/2& n>2\end{array}$

이에 따라, 실수 특수직교군의 범피복 리 군을 취하면 $n=2$에서는 $ℝ$를, $n>2$에서는 스핀 군 $\mathrm{Spin}(n)$을 얻는다.

부정부호 실수 직교군 $\mathrm{O}(p,q;ℝ)$ ($p,q>0$)는 네 개의 연결 성분을 가지며,

${\pi }_0(\mathrm{O}(p,q;ℝ))=(\mathbb{Z}/2{)}^2$

이다. 여기서 한 $\mathbb{Z}/2$는 $p$차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정되며, 다른 하나는 $q$차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정된다. $\mathrm{SO}(p,q;ℝ)$는 두 개의 연결 성분을 가지며, 이 경우

${\pi }_0(\mathrm{SO}(p,q;ℝ))=\{(1,1),(-1,-1)\}\subset {\pi }_0(\mathrm{O}(p,q;ℝ))$

이다. $\mathrm{SO}(p,q;ℝ)$의 연결 부분군을 ${\mathrm{SO}}^{+}(p,q;ℝ)$라고 한다.

부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다.

${\pi }_1({\mathrm{SO}}^{+}(p,q;ℝ))={\pi }_1(\mathrm{SO}(p;ℝ))\times {\pi }_1(\mathrm{SO}(q;ℝ))$

보트 주기성

호프 올뭉치

$\mathrm{O}(n)\hookrightarrow \mathrm{O}(n+1)\twoheadrightarrow {𝕊}^n$

로 인하여, 만약 $i<n-1$이라면

${\pi }_i(\mathrm{O}(n))\cong {\pi }_i(\mathrm{O}(n+1))$

이다.틀:Rp 즉, 직교군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.틀:Rp

${\pi }_i(\mathrm{O}(n))=\{\begin{array}{cc}0& i\equiv 2,4,5,6(\mathrm{mod}8)\\ \mathbb{Z}/2& i\equiv 0,1(\mathrm{mod}8)\\ \mathbb{Z}& i\equiv 3,7(\mathrm{mod}8)\end{array}(i<n-1)$

이 주기성을 보트 주기성(틀:Llang)이라고 한다. 불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

직교군	π0	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7	π8	π9
O(1)	ℤ/2	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0
O(2)	ℤ/2	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0
O(3)	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ	ℤ/2	ℤ/2	ℤ/12	ℤ/2	ℤ/2	ℤ/3
O(4)	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ2	(ℤ/2)2	(ℤ/2)2	(ℤ/12)2	(ℤ/2)2	(ℤ/2)2	(ℤ/3)2
O(5)	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ	0	0
O(6)	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	ℤ/24	ℤ/2

특수직교군 및 스핀 군의 호모토피 군은 다음과 같이 다르다.

${\pi }_i(\mathrm{SO}(n))\cong \{\begin{array}{cc}0& i=0\\ {\pi }_i(\mathrm{O}(n))& i>0\end{array}$

${\pi }_i(\mathrm{Spin}(n))\cong \{\begin{array}{cc}0& i=0,1\\ {\pi }_i(\mathrm{O}(n))& i>1\end{array}(n>2)$

${\pi }_i(\mathrm{Pin}(n))\cong \{\begin{array}{cc}0& i=1\\ {\pi }_i(\mathrm{O}(n))& i\ne 1\end{array}(n>2)$

다음과 같은 무한 직교군 $\mathrm{O}(\mathrm{\infty })$을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

$\mathrm{O}(\mathrm{\infty })=\underset{n}{\underrightarrow{\lim }}\mathrm{O}(n)$

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

${\pi }_i(\mathrm{O}(\mathrm{\infty }))=\{\begin{array}{cc}0& i\equiv 2,4,5,6(\mathrm{mod}8)\\ \mathbb{Z}/2& i\equiv 0,1(\mathrm{mod}8)\\ \mathbb{Z}& i\equiv 3,7(\mathrm{mod}8)\end{array}$

이에 따라, 무한 직교군은 스스로의 8차 고리 공간과 호모토피 동치이다.틀:Rp

$\mathrm{O}(\mathrm{\infty })\simeq {\mathrm{\Omega }}^8\mathrm{O}(\mathrm{\infty })$

무한 차원 분해 가능 실수 힐베르트 공간 $\mathscr{H}$의 직교군 $\mathrm{O}(\mathscr{H})$는 $\mathrm{O}(\mathrm{\infty })$와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, $\mathrm{O}(\mathscr{H})$는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.

${\pi }_i(\mathrm{O}(\mathscr{H}))=0\mathrm{\forall }i$

포함 관계

모든 $n$에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

• $\mathrm{SO}(n;ℝ)\subset \mathrm{SU}(n)\subset \mathrm{USp}(2n)$
• $\mathrm{SU}(n;ℝ)\subset \mathrm{SO}(2n)$
• $\mathrm{SO}(n-1;ℝ)\subset \mathrm{SO}(n;ℝ)$. 만약 $n$이 짝수인 경우, 이는 $\mathrm{SO}(n)$의 딘킨 도표를 $\mathbb{Z}/2$ 대칭을 따라 접은 것이다. 만약 $n$이 홀수인 경우, 이는 $\mathrm{SO}(n)$의 딘킨 도표에 $\otimes$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, $\circ$로 표시한 꼭짓점을 제거한 것이다.

  $2\mid n:\stackrel{n/2-3}{\overbrace{\bullet -\cdots -\bullet }}-\bullet ⟨\genfrac{}{}{0ex}{}{\bullet }{\bullet }\to \stackrel{n/2-3}{\overbrace{\bullet -\cdots -\bullet }}-\bullet \Rightarrow \bullet$

  $2\nmid n:\bullet -\bullet -\stackrel{\lfloor n/2\rfloor -3}{\overbrace{\bullet -\cdots -\bullet }}\Rightarrow \circ \to \bullet -\stackrel{\genfrac{}{}{0ex}{}{\otimes }{|}}{\bullet }-\stackrel{\lfloor n/2\rfloor -3}{\overbrace{\bullet -\cdots -\bullet }}\Rightarrow \circ \to \bullet -\stackrel{\genfrac{}{}{0ex}{}{\otimes }{|}}{\bullet }-\stackrel{\lfloor n/2\rfloor -3}{\overbrace{\bullet -\cdots -\bullet }}$

• 만약

또한, 예외 단순군에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

$\mathrm{Spin}(3)\subset G_2$

$\mathrm{Spin}(9)\subset F_4$

$\mathrm{Spin}(10)\subset E_6$

$\mathrm{Spin}(12)\subset E_7$

$\mathrm{Spin}(16)\subset E_8$

6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 예외적 동형(틀:Llang)을 보인다.

1차원

$\mathrm{O}(1)\cong \mathrm{Spin}(1)\cong \mathbb{Z}/2$

$\mathrm{SO}(1)\cong \mathrm{PSO}(1)\cong 1$

2차원

$\mathrm{SO}(2;ℝ)\cong \mathrm{Spin}(2)\cong \mathrm{U}(1)\cong {𝕊}^1$

${\mathrm{SO}}^{+}(1,1;ℝ)\cong ℝ$

3차원

$\mathrm{SO}(3;ℝ)\cong \mathrm{PSO}(3;ℝ)\cong \mathrm{PSU}(2)\cong \mathrm{PUSp}(2)\cong {ℝ\mathbb{P}}^2$

$\mathrm{Spin}(3)\cong \mathrm{SU}(2)\cong \mathrm{USp}(2)\cong {𝕊}^3$

$\mathrm{SO}(3;ℂ)\cong \mathrm{PSL}(2;ℂ)\cong \mathrm{PSp}(2;ℂ)$

${\mathrm{SO}}^{+}(2,1;ℝ)\cong \mathrm{PSL}(2;ℝ)$

${\mathrm{Spin}}^{+}(2,1)\cong \mathrm{SL}(2;ℝ)\cong \mathrm{Sp}(2;ℝ)$

4차원

$\mathrm{SO}(4;ℝ)\cong (\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2))/(\mathbb{Z}/2)$

$\mathrm{Spin}(4)\cong \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)\cong {𝕊}^3\times {𝕊}^3$

$\mathrm{PSO}(4;ℝ)\cong \mathrm{PSU}(2)\times \mathrm{PSU}(2)$

$\mathrm{PSO}(4;ℂ)\cong \mathrm{PSL}(2;ℂ)\times \mathrm{PSL}(2;ℂ)$

${\mathrm{SO}}^{+}(3,1;ℝ)\cong \mathrm{SO}(3;ℂ)\cong \mathrm{PGL}(2;ℂ)\cong \mathrm{PSL}(2;ℂ)\cong \mathrm{PSp}(2;ℂ)$

5차원

$\mathrm{SO}(5;ℝ)\cong \mathrm{PSO}(5;ℝ)\cong \mathrm{PUSp}(4)$

$\mathrm{Spin}(5)\cong \mathrm{USp}(4)$

${\mathrm{SO}}^{+}(3,2;ℝ)\cong \mathrm{PSp}(4;ℝ)$

6차원

$\mathrm{SO}(6)\cong \mathrm{SU}(4)/(\mathbb{Z}/2)$

$\mathrm{PSO}(6)\cong \mathrm{PSU}(4)$

$\mathrm{Spin}(6)\cong \mathrm{SU}(4)$

${\mathrm{SO}}^{+}(5,1;ℝ)\cong {\mathrm{PSO}}^{+}(5,1;ℝ)\cong \mathrm{PSL}(2;ℍ)$

${\mathrm{SO}}^{+}(4,2;ℝ)\cong \mathrm{SU}(2,2)/(\mathbb{Z}/2)$

${\mathrm{PSO}}^{+}(4,2;ℝ)\cong \mathrm{PSU}(2,2)$

${\mathrm{SO}}^{+}(3,3;ℝ)\cong {\mathrm{PSO}}^{+}(3,3)\cong \mathrm{PSL}(4;ℝ)$

홀수 표수 유한체 위에서의 직교군

${𝔽}_q$가 표수가 2가 아닌 유한체라고 하자. 이 경우, 주어진 차원의 벡터 공간 ${𝔽}_q^n$ 위의 비퇴화 이차 형식은 정확히 두 개의 동형류가 있다..

홀수 차원에서, 제곱수가 아닌 $\alpha \in {𝔽}_q$에 대하여 이 두 이차 형식은 서로 비례한다. 즉, 이 두 동형류는 $Q_1$과 $a{Q}_1$의 꼴이다 ($a\in {𝔽}_q$는 제곱수가 아닌 임의의 원소). 따라서 이 경우 직교군 $\mathrm{O}(2k+1;{𝔽}_q)$은 유일하다. 반면 짝수 차원에서는 이것이 성립하지 않으며, 플러스형과 마이너스형 두 종류로 분류된다. 비트 지표가 $n/2$인 것을 플러스형, $n/2-1$인 것을 마이너스형이라고 한다. 플러스형과 마이너스형에 대응하는 직교군들은 각각 ${\mathrm{O}}^{\pm }(2k;{𝔽}_q)$라고 쓴다.틀:Rp

표수가 2가 아닌 유한체 ${𝔽}_q$ ($q=p^k$, $p$ 소수)의 직교군의 크기는 다음과 같다.틀:Rp

$|\mathrm{O}(2n+1;{𝔽}_q)|=2q^n\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$

$|{\mathrm{O}}^{+}(2n;{𝔽}_q)|=2(q^n-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$

$|{\mathrm{O}}^{-}(2n;{𝔽}_q)|=2(q^n+(-1{)}^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$

표수 2에서의 직교군

표수가 2인 체 위의 직교군은 다음과 같은 특수한 성질을 보인다.

• 표수가 2인 완전체 위의 홀수 차원 벡터 공간에서의 직교군은 심플렉틱 군과 같다.
• 표수가 2인 체 위의 짝수 차원 벡터 공간에서의 직교군은 심플렉틱 군의 부분군이다.

구체적으로, 표수 2인 체 위의 이차 형식의 연관 대칭 쌍선형 형식은 교대 쌍선형 형식이므로, 이에 대응하는 심플렉틱 군의 부분군이다.

응용

직교군은 물리학에서 널리 응용된다. SO(3) 및 그 피복군 Spin(3)는 3차원 공간의 회전을 나타내며, 그 표현론은 양자역학에 핵심적이다.

특수 상대성 이론에서는 민코프스키 공간의 (중심을 고정시키는) 대칭군인 부정부호 직교군 O(3,1)이 핵심적인 역할을 하며, 이 군을 로런츠 군이라고 한다. 로런츠 군의 표현론은 상대론적 양자장론에서 핵심적이다. 더 시터르 공간 및 반 더 시터르 공간의 대칭군 역시 부정부호 직교군 O(4,1) 및 O(3,2)이다.

등각 장론에서, $(p,q)$-차원 시공간의 등각 대칭군은 $\mathrm{SO}(p+1,q+1)$이다. 이 대칭군이 반 더 시터르 공간의 대칭군과 같다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 핵심적인 역할을 한다.

이 밖에도, SO(10)은 대통일 이론의 게이지 군으로 쓰인다.

각주

• 틀:서적 인용
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외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
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• 틀:매스월드
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같이 보기

• 스핀 군
• 직교행렬
• 스피너
• 원군
• 3차원 직교군