드람 코호몰로지

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학과 미분위상수학에서 드람 코호몰로지(틀:Llang)는 매끄러운 다양체의 미분 형식에 대하여 존재하는 코호몰로지로서, 외미분의 제곱이 0인 사실에서 기인한다. 미분 형식을 써 매끄러운 다양체의 위상수학적인 성질들을 효과적으로 표현할 수 있고, 계산에도 효율적이어서 매끄러운 다양체를 다루는 기본적 도구 가운데 하나다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 매끄러운 선형 다발 $E\twoheadrightarrow M$

그렇다면, $M$ 위의 $E$ 값의 미분 형식

${\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M;E)=\mathrm{\Gamma }(E\otimes \bigwedge {\mathrm{T}}^{*}M)$

을 정의할 수 있다. $E$ 위의 선형 다발 접속

$\mathrm{\nabla }:\mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(E\otimes {\mathrm{T}}^{*}M)$

을 고르면, 이로부터 $E$ 값의 미분 형식의 외미분

${\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}:{\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M;E)\to {\mathrm{\Omega }}^{\bullet +1}(M;E)$

을 정의할 수 있다. 그렇다면, ${\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}\circ {\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}$는 $\mathrm{\nabla }$의 곡률에 비례하며, 만약 $\mathrm{\nabla }$가 평탄 선형 다발 접속이라면 ${\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}\circ {\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}=0$이다. 즉, 이 경우 공사슬 복합체

$0\to {\mathrm{\Omega }}^0(M;E)\stackrel{{\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}}{\to }{\mathrm{\Omega }}^1(M;E)\stackrel{{\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}}{\to }\cdots \stackrel{{\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}}{\to }{\mathrm{\Omega }}^{\dim M}(M;E)\to 0$

가 존재한다. 이를 드람 공사슬 복합체(de Rham共사슬複合體, 틀:Llang)라고 하며, 그 코호몰로지

${\mathrm{H}}_{\text{dR}}^i(M;E)=\frac{\ker ({\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}\upharpoonright {\mathrm{\Omega }}^i(M;E))}{\mathrm{im}({\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}\upharpoonright {\mathrm{\Omega }}^{i-1}(M;E))}(i\in \mathbb{N})$

를 $E$ 계수의 드람 코호몰로지(틀:Llang)라고 한다.

특히, $E=M\times ℝ$가 자명한 선형 다발 접속을 갖춘 자명한 선형 다발인 경우, $E$ 값의 미분 형식은 단순한 미분 형식이다. 만약 계수 $E$가 명시되지 않았다면, 이 자명한 경우를 뜻한다.

다른 형식의 외미분인 미분 형식을 완전 미분 형식(完全微分形式, 틀:Llang)이라고 부르며, 외미분이 0인 형식을 닫힌 미분 형식(닫힌微分形式, 틀:Llang)이라고 부른다. 따라서 드람 코호몰로지 ${\mathrm{H}}_{\text{dR}}^k(M;E)$는 $E$ 값의 $k$차 닫힌 미분 형식의 공간에서 $E$ 값의 $k$차 완전 미분 형식을 더하는 것에 대한 동치류를 취한 상공간이다.

성질

다른 코호몰로지 이론과의 비교

매끄러운 다양체 $M$ 안의 k-특이 사슬 $C$위에 k-형식 $\omega$를 적분할 수 있다. 즉 $\underset{C}{\int }\omega$가 정의 가능하다. 이는 스토크스 정리에 따라 드람 코호몰로지 ${\mathrm{H}}_{\text{dR}}^k(M)$에서 실수 계수 특이 코호몰로지 ${\mathrm{H}}^k(M;ℝ)$으로 가는 사슬 사상을 정의할 수 있다. 드람 정리에 따라 이는 사실 사슬 동형사상이다. 이는 조르주 드 람이 1931년에 증명하였다.

콤팩트 리만 다양체 위에는 호지 이론에 따라 조화 형식의 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 호지 정리(틀:Lang)에 따라 드람 코호몰로지와 조화 코호몰로지는 동형이다.

또한, 드람 코호몰로지는 (적절히 정의한) 체흐 코호몰로지나 알렉산더-스패니어 코호몰로지(틀:Lang)와 동형이다.

복소다양체의 경우에는 드람 코호몰로지와 유사한 돌보 코호몰로지를 정의할 수 있다. 돌보 코호몰로지에도 스토크스 정리와 유사한 정리가 성립한다. 켈러 다양체의 경우 돌보 코호몰로지와 드람 코호몰로지는 동형이다.

연산과의 호환

임의의 두 매끄러운 벡터 다발 $E,E^{\prime }\twoheadrightarrow M$이 주어졌을 때, 다음이 성립하며, 이 동형 사상은 표준적이다.

${\mathrm{H}}_{\mathrm{dR}}^{\bullet }(M;E\oplus E^{\prime })\cong {\mathrm{H}}_{\mathrm{dR}}^{\bullet }(M;E)\oplus {\mathrm{H}}_{\mathrm{dR}}^{\bullet }(M;E^{\prime })$

즉, 자명한 벡터 다발과의 텐서곱에 대하여 다음이 성립한다.

${\mathrm{H}}_{\mathrm{dR}}^{\bullet }(M;E\otimes {ℝ}^n)\cong {\mathrm{H}}_{\mathrm{dR}}^{\bullet }(M;E)\otimes {ℝ}^n$

특히, 0차원 벡터 다발 계수의 드람 코호몰로지는 자명군이다.

${\mathrm{H}}_{\mathrm{dR}}^{\bullet }(M;0)\cong 0$

예

항상 그런 것은 아니지만, 경우에 따라서는 어떤 다양체의 드람 코호몰로지 군을, 몇가지 기본적인 다양체의 드람 코호몰로지 군에 대하 정보와 몇가지 기초적인 정리들, 예를 들면 마이어-피토리스 열 등을 사용하여 계산할 수 있을 때도 있다. 또 한 가지 드람 코호몰로지 군에 대해서 유용한 사실 한 가지는 이것이 호모토피 불변량이라는 사실이다. 몇 가지 기본적인 공간들의 드람 코호몰로지 군의 예를 보자.

초구

$n$차원 초구의 코호몰로지 군은 ${\mathrm{H}}_{dR}^k({𝕊}^n)\simeq \{\begin{array}{cc}ℝ& \text{if }k=0,n\\ 0& \text{if }k\ne 0,n\end{array}$ 이다. 한편, 드람 코호몰로지 군은 호모토피 불변량이므로, 따라서 사실은 $𝕀$가 임의의 선분일 때에, ${\mathrm{H}}_{\text{dR}}^k({𝕊}^n\times {𝕀}^m)\simeq \{\begin{array}{cc}ℝ& \text{if }k=0,n\\ 0& \text{if }k\ne 0,n\end{array}$ 도 성립한다.

원환면

$n$차원 원환면의 드람 코호몰로지는 다음과 같다.

${\mathrm{H}}_{\text{dR}}^k({𝕋}^n)\simeq {ℝ}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$

구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간

구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간은 ${ℝ}^n\setminus \{0\}$를 말한다. 이때에,

$H_{dR}^k({ℝ}^n-\{0\})$	$\simeq \{\begin{array}{cc}ℝ& \text{if }k=0,n-1\\ 0& \text{if }k\ne 0,n-1\end{array}$
	$\simeq H_{dR}^k(S^{n-1})$

뫼비우스의 띠

뫼비우스의 띠 $M$는 원과 호모토피 동치이므로 그 드람 코호몰로지는 다음과 같다.

${\mathrm{H}}_{\text{dR}}^k(M)\simeq H_{dR}^k(S^1)$

0차 성분

간단한 예로, 매끄러운 다양체 $M$이 $n$개의 연결 성분을 지니면, 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\mathrm{H}}_{\text{dR}}^0(M)={ℝ}^n$

즉, 매끄러운 다양체 $M$ 위에서 정의된 매끄러운 함수의 기울기가 0이면, 그 함수는 각각의 연결 성분에서 상수 함수다.

같이 보기

• 호지 이론
• 올적분
• 층 (수학)

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab