당김 (미분기하학)

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 미분기하학에서 당김(틀:Llang)이란 한 다양체 위에 정의된 공변(틀:Lang) 텐서를 다른 다양체 위에 옮겨 정의하는 방법이다.

두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 $\varphi :M\to N$이 주어지면, $N$ 위에 존재하는 모든 공변 텐서 (즉, 첨자가 모두 아랫첨자인 경우) $T=T_{\mu \nu \rho \dots }$에 대하여, $M$ 위에 대응하는 텐서 ${\varphi }^{\ast }T$를 정의할 수 있다. 이를 $T$의 당김이라고 한다. 특히, 미분형식이나 (스칼라) 함수는 공변 텐서의 특수한 경우이므로, 이들을 다른 다양체로 당길 수 있다.

정의

$\varphi :M\to N$을 미분가능한 함수라고 하고, $\omega (v_1,\dots ,v_k)$가 $k$차 공변 텐서($k$개의 (반변) 벡터를 받는 함수)라고 하자. 그렇다면 이 데이터로부터 $M$ 위에 정의된 $k$차 텐서 ${\varphi }^{\ast }\omega$를 다음과 같이 정할 수 있다.

$({\varphi }^{\ast }\omega )(v_1,\dots ,v_k)={\omega }_{\varphi (p)}(d{\varphi }_p(v_1),\dots ,d{\varphi }_p(v_k))$.

여기서 $p\in M$, $v_i\in T_{p}M$ (점 $p$에서의 접공간), $d{\varphi }_p:T_{p}M\to T_{\varphi (p)}N$은 점 $p$에서 $\varphi$의 미분 사상이다.

(스칼라) 함수는 0차 공변 텐서이다. 이 경우, 함수 $f$의 당김은 함수의 합성과 같다. 즉,

${\varphi }^{\ast }f=f\circ \varphi$

이다.

성질

f : Rⁿ → R^m, g : R^p → Rⁿ를 미분가능한 함수, α 와 β를 R^m에서의 k-형식, γ : R^m → R를 R^m에서의 0-형식이라 하자. 이 때, 다음이 성립한다.

• $f^{\ast }(\alpha +\beta )=f^{\ast }(\alpha )+f^{\ast }(\beta )$
• $f^{\ast }(\gamma \alpha )=f^{\ast }(\gamma )f^{\ast }(\alpha )$
• $f^{\ast }({\alpha }_1\wedge \cdots \wedge {\alpha }_k)=f^{\ast }({\alpha }_1)\wedge \cdots \wedge f^{\ast }({\alpha }_k)$

여기서 α₁, …, α_k 가 R^m에서의 1-형식이고 ∧ 는 쐐기곱이다.

• $f^{\ast }(\alpha \wedge \beta )=f^{\ast }(\alpha )\wedge f^{\ast }(\beta )$

여기선 α 와 β 가 같은 계수를 가질 필요는 없다.

• $(f\circ g{)}^{\ast }\alpha =g^{\ast }(f^{\ast }\alpha )$

같이 보기

• 미분 사상
• 당김 올다발
• 당김 (범주론)

참고 문헌

• 틀:서적 인용