판별식

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 수학에서 판별식(判別式, 틀:Llang)은 다항식이 중복된 근을 갖는지 여부를 나타내는 값이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 $K$ 계수의 0이 아닌 다항식

$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)\in K[x]$

$a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n\in K$

$a_n\ne 0$

$x_1,x_2,\dots ,x_n\in K$

의 판별식은 다음과 같다.틀:Rp

$\begin{array}{cc}\mathrm{disc}(f)& =a_n^{2n-2}\prod _{i<j}(x_i-x_j{)}^2\\ & =(-1{)}^{n(n-1)/2}{a}_n^{2n-2}\prod _{i\ne j}(x_i-x_j)\\ & =(-1{)}^{n(n-1)/2}{a}_n^{-1}\mathrm{res}(f,f^{\prime })\\ & =(-1{)}^{n(n-1)/2}{a}_n^{-1}\left|\begin{array}{ccccc}{a}_n& a_{n-1}& \cdots & a_1& a_0\\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & a_n& a_{n-1}& \cdots & a_1& a_0\\ n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& \cdots & a_1\\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& \cdots & a_1\\ & & & n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& \cdots & a_1\end{array}\right|\end{array}$

여기서

• $(-{)}^{\prime }$는 형식적 미분이다.
• $\mathrm{res}$는 종결식이다.
• $|-|$는 행렬식이다.

성질

대수적으로 닫힌 체 $K$ 및 0이 아닌 $f\in K[x]$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 중복근을 갖는다.
• $\mathrm{disc}(f)=0$

체 $K$ 및 $n$차 분해 가능 기약 다항식 $f\in K[x]$에 대하여, 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(f)$는 근의 집합 위에서 충실하게 작용하며, 이는 단사 군 준동형

$\mathrm{Gal}(f)\hookrightarrow \mathrm{Sym}(n)$

을 정의한다. 만약 $\mathrm{char}K\ne 2$라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\mathrm{Gal}(f)$의 상은 $\mathrm{Alt}(n)$의 부분군이다.
• $\sqrt{\mathrm{disc}(f)}\in K$

예

2차 다항식

복소수 계수 2차 다항식

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

의 판별식은 다음과 같다.

$\mathrm{disc}(f)=b^2-4ac$

실수 계수 다항식의 경우, 판별식은 실수이며, 다음이 성립한다.

• 만약 $b^2-4ac>0$이라면, $f(x)$는 서로 다른 두 실근을 갖는다.
• 만약 $b^2-4ac=0$이라면, $f(x)$는 겹치는 두 실근을 갖는다.
• 만약 $b^2-4ac<0$이라면, $f(x)$는 서로 복소켤레인 (특히 서로 다른) 두 허근을 갖는다.

3차 다항식

복소수 계수 3차 다항식

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

의 판별식은 다음과 같다.

$\mathrm{disc}(f)=b^2{c}^2-4a{c}^3-4b^{3}d-27a^2{d}^2+18abcd$

특히, 다항식

$f(x)=x^3+px+q$

의 판별식은

$\mathrm{disc}(f)=-4p^3-27q^2$

이다.

실수 계수의 경우, 다음이 성립한다.틀:Rp

• 만약 $\mathrm{disc}(f)>0$이라면, 서로 다른 세 실근을 갖는다. 이 경우, 실근들은 허수의 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있으며, 유리수 계수 기약 다항식의 경우 실수의 거듭제곱근만을 통해서는 나타낼 수 없다. 이를 환원 불능의 경우(틀:Llang)라고 한다.
• 만약 $\mathrm{disc}(f)=0$이라면, 둘 이상이 겹치는 세 실근을 갖는다. 이 경우, 실근들은 항상 실수의 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있다.
• 만약 $\mathrm{disc}(f)<0$이라면, 하나의 실근과 서로 복소켤레인 두 허근을 갖는다.

유리수 계수 3차 기약 다항식의 경우, 그 분해체 $K$는 $\mathbb{Q}$의 갈루아 확대를 이루며, 그 갈루아 군은 다음과 같다.

$\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong \{\begin{array}{cc}\mathrm{Sym}(3)& \sqrt{\mathrm{disc}(f)}\in ̸\mathbb{Q}\\ \mathrm{Alt}(3)& \sqrt{\mathrm{disc}(f)}\in \mathbb{Q}\end{array}$

4차 다항식

복소수 계수 4차 다항식

$p(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$

의 판별식은

$\begin{array}{cc}\mathrm{disc}(p)& =256a^3{e}^3-192a^{2}bd{e}^2-128a^2{c}^2{e}^2+144a^{2}c{d}^{2}e\\ & -27a^2{d}^4+144a{b}^{2}c{e}^2-6a{b}^2{d}^{2}e-80ab{c}^{2}de\\ & +18abc{d}^3+16a{c}^{4}e-4a{c}^3{d}^2-27b^4{e}^2\\ & +18b^{3}cde-4b^3{d}^3-4b^2{c}^{3}e+b^2{c}^2{d}^2\end{array}$

이다.

외부 링크

• 틀:매스월드